финансы. Документ Microsoft Word (2). Теоретикомножественный смысл произведения
![]()
|
. Теоретико-множественный смысл произведения Определение умножения натуральных чисел в аксиоматической теории основывается на понятии отношения «непосредственно следовать за» и сложении. В школьном курсе математики используется другое определение умножения, оно связано со сложением одинаковых слагаемых. Покажем, что оно вытекает из первого. Теорема 4. Если b > 1, то произведение чисел а и b равно сумме b слагаемых, каждое из которых равно а. Доказательство. Обозначим сумму b слагаемых, каждое из которых равно а, через а b. И, кроме того, положим, что а 1 = а. Тогда выражение а (b + 1) будет означать, что рассматривается сумма b + 1 слагаемого, каждое из которых равно а, т.е. а (b+ 1) = ![]() ![]() Итак, если а и b - натуральные числа и b > 1, то произведение а b можно рассматривать как сумму b слагаемых, каждое из которых равно а. Умножение на 1 определяется так: а 1 = а. Если умножение рассматривается на множестве целых неотрицательных чисел, то к этим двум случаем надо добавить третий - определение умножения на нуль: а 0 = 0. Таким образом, получаем следующее определение умножения целых неотрицательных чисел. Определение.Если а, b - целые неотрицательные числа, то произведением а b называется число, удовлетворяющее следующим условиям: 1) а b = ![]() 2) а b = а, если b = 1; 3) а b = 0, если b = 0. Случаю 1) этого определения можно дать теоретико-множественную трактовку. Если множества А1, А2, ..., Аb, имеют по а элементов каждое, причем никакие два из них не пересекаются, то их объединение А1 А2 ... Аb , содержит а b элементов. Таким образом, с теоретико-множественных позиций а b (b > 1) представляет собой число элементов в объединении b множеств, каждое из которых содержит по а элементов и никакие два из них не пересекаются. а b = п (А1 А2 ... Аb) , если п (А1) = п (А2) = ... = п (Аb ) = а и А1, А2, ..., Аb попарно не пересекаются. Взаимосвязь умножения натуральных чисел с объединением равночисленных попарно непересекающихся подмножеств позволяет обосновывать выбор действия умножения при решении текстовых задач. Рассмотрим, например, такую задачу: «На одно пальто пришивают 4 пуговицы. Сколько пуговиц надо пришить на 3 таких пальто?» Выясним, почему она решается при помощи умножения. В задаче речь идет о трех множествах, в каждом из которых 4 элемента. Требуется узнать число элементов в объединении этих трех множеств. Если n(А1) = n(А2) = n(А3) = 4, то n(А1 А2 А3) = n(А1) + n (А2) + n(А3) = 4 + 4 + 4 = 4 3. Произведение 43 является математической моделью данной задачи. Так как 4 3 = 12, то получаем ответ на вопрос: на 3 пальто надо пришить 12 пуговиц. Можно дать другое теоретико-множественное истолкование произведения целых неотрицательных чисел. Оно связано с понятием декартова произведения множеств. Теорема 5. Пусть А и В - конечные множества. Тогда их декартово произведение также является конечным множеством, причем выполняется равенство: п(АВ) = п(А) п(В). Доказательство. Пусть даны множества А = (а1, а2, ..., ап), В = (b1, b2, …, bk), 741 ,причем k > 1. Тогда множество А В состоит из пар вида (аi, bj), где 1 i n, 1 j k. Разобьем множество А В на такие подмножества А1, А2, ..., Аk, что подмножество Аj, состоит из пар вида (а1, bj), (а2, bj),…, (аn, bj).Число таких подмножеств равно k, т.е. числу элементов в множестве В. Каждое множество Аj состоит из n пар, и никакие два из этих множеств не содержат одну и ту же пару. Отсюда следует, что число элементов в декартовом произведении А В равно сумме k слагаемых, каждое из которых равно n, т.е. произведению чисел n и k. Таким образом, равенство n(А В) = n(А) n(В) доказано при k > 1. При k = 1 оно тоже верно, так как в этом случае В содержит один элемент, например, В = {b}, а тогда А В состоит из пар вида (а1, b), (а2,, b),…, (аn, b),число которых равно п. Поскольку n(А) = n, n(В) = 1, то и в этом случае имеем: n(А В) = n(А)n(В)= n1=n. При k = 0 данное равенство также верно, поскольку В = и n(А)=n(А)n()=а0=0. Из рассмотренной теоремы следует, что с теоретико-множественной точки зрения произведение а b целых неотрицательных чисел есть число элементов в декартовом произведении множеств А и В, таких, что п(А) = а, п(В) = b. а b = п(А) п(В) = п(А В ). Этот подход к определению умножения позволяет раскрыть теоретико-множественный смысл свойств умножения. Например, смысл равенства аb = bа состоит в том, что хотя множества А В и В А различны, они являются равномощными: каждой паре (а, b) из множества А В можно поставить в соответствие единственную пару (b, а) из множества В А, и каждая пара из множества В А сопоставляется только одной паре из множества А В. Значит, n(А В) = n(В А) и поэтому а b = b а. Аналогично можно раскрыть теоретико-множественный смысл ассоциативного свойства умножения. Множества А (В С) и (А В) С различны, но они являются равномощными: каждой паре (а, (b, с)) из множества А (В С) можно поставить в соответствие единственную пару ((а, b), с) из множества (А В) С, и каждая пара из множества А (В С) сопоставляется единственной паре из множества (А В) С. Поэтому n(А(ВС)) = n((А В)С) и, следовательно, а(bс) = (а b)с. Дистрибутивность умножения относительно сложения выводится из равенства А (В С) = (А В) (А С), а дистрибутивность умножения относительно вычитания - из равенства А(В \ С)= (АВ) \ (АС). В начальных курсах математики произведение целых неотрицательных чисел чаще всего определяют через сумму. Случаи а 1 = а и а 0 = 0 принимаются по определению. |