история развития теории вероятности». Теории статистических решений
 Скачать 18.54 Kb.
|
|
Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях науки и техники: в теории надёжности, теории массового обслуживания, теоретической физике, геодезии, астрономии, теории ошибок, теории управления, теории связи и во многих других теоретических и прикладных науках. Теория вероятностей служит для обоснования математической статистики. Математическая статистика – раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей. Методы математической статистики используются при планировании организации производства, анализе технологических процессов, для контроля качества продукции и многих других целей. Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, появились в XVI-XVII веках. Они принадлежали Д. Кардано, Б.Паскалю, П.Ферма, Х.Гюйгенс и др. и представляли попытки создания теории азартных игр с целью дать рекомендации игрокам. Широкому внедрению статистических методов исследования способствовало появление во второй половине XX века электронных вычислительных машин и, в частности, персональных компьютеров. Статистические программные пакеты сделали эти методы более доступными и наглядными, так как трудоёмкую работу по расчёту статистик, параметров, характеристик, построению таблиц и графиков в основном стал выполнять компьютер, а исследователю осталась главным образом творческая работа: постановка задачи, выбор методов решения и интерпретация результатов. Развитие методов последовательного анализа привело, с одной стороны, к изучению управляемых случайных процессов, с другой - к появлению теории статистических решений. Эта теория исходит из того, что результаты последовательно проводимых наблюдений служат основой принятия некоторых решений (промежуточных - продолжать испытания или нет, и окончательных - в случае прекращения испытаний). В задачах оценки параметров окончательные решения суть числа (значение оценок), в задачах проверки гипотез - принимаемые гипотезы. Цель теории - указать правила принятия решений, минимизирующих средний риск или убыток (риск зависит и от вероятностных распределений результатов наблюдений, и от принимаемого окончательного решения, и от расходов на проведение испытаний и т. д.). Вопросы целесообразного распределения усилий при проведении статистического анализа явлений рассматриваются в теории планирования эксперимента, ставшей важной частью современной математической статистики. Наряду с развитием и уточнением общих понятий математической статистики, развиваются и её отдельные разделы, такие, как дисперсионный анализ, статистический анализ случайных процессов, многомерный статистический анализ. Появились новые оценки в регрессионном анализе (см. также Стохастическая аппроксимация). Большую роль в задачах математической статистики играет т. н. бейесовский подход к решению статистических задач. Связь математической статистики с теорией вероятностей имеет в разных случаях различный характер. Теория вероятностей изучает не любые массовые явления, а явления случайные и именно «вероятностно случайные», т. е. такие, для которых имеет смысл говорить о соответствующих им распределениях вероятностей. Тем не менее теория вероятностей играет определенную роль и при статистическом изучении массовых явлений любой природы, которые могут не относиться к категории вероятностно случайных. Это осуществляется через основанные на теории вероятностей теорию выборочного метода и теорию ошибок. В этих случаях вероятностным закономерностям подчинены не сами изучаемые явления, а приемы их исследования. Более важную роль играет теория вероятностей при статистическом исследовании вероятностно случайных явлений. Здесь в полной мере находят применение такие основанные на теории вероятностей разделы математической статистики, как проверка статистических гипотез, статистическое оценивание распределений вероятностей и входящих в них параметров и т. д. Область же применения этих более глубоких статистических методов значительно уже, т. к. здесь требуется, чтобы сами изучаемые явления были подчинены достаточно определенным вероятностным закономерностям. Однако применение той же теории к анализу экономических временных рядов может привести к грубым ошибкам в виду того, что входящее в определение стационарного процесса допущение наличия сохраняющихся в течении длительного времени неизменных распределений вероятностей в этом случае, как правило, совершенно неприемлемо. Математическая статистика – раздел прикладной математики, наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятности, позволяющую оценить надежность и точность выводов. Этот раздел прикладной математики посвящен изучению случайных величин по результатам наблюдений. Методы математической статистики нашли широкое применение в различных областях науки (физике, биологии, медицине, экономике, социологии, информатике и др.) и могут применяться для решения различных задач. При этом можно сформулировать три основные (типичные) задачи математической статистики, наиболее часто встречающиеся на практике. 1.Определение закона распределения случайной величины. По результатам независимых наблюдений случайной величины требуется оценить неизвестную функцию распределения или плотность вероятности этой случайной величины. 2.Задача проверки правдоподобия гипотез. Из обширного круга задач, связанных с проверкой статистических гипотез, наиболее типичными являются две задачи. Первая: как согласуются результаты эксперимента с гипотезой о том, что исследуемая случайная величина имеет плотность распределения ? Вторая: не противоречит ли полученная оценка неизвестного параметра выдвинутой гипотезе о значении данного параметра? Статистическое наблюдение представляет собой научно организованный по единой программе учет фактов, характеризующих явления и процессы общественной жизни, и сбор полученных на основе этого учета массовых данных. К статистическому наблюдению предъявляются следующие требования: полнота статистических данных (полнота охвата единиц изучаемой совокупности, сторон того или иного явления, а также полнота охвата во времени); достоверность и точность данных; их единообразие и сопоставимость. Однако не всякий сбор сведений является статистическим наблюдением. О статистическом наблюдении можно говорить лишь тогда, когда изучаются статистические закономерности, т.е. такие, которые проявляются только в массовом процессе, в большом числе единиц какой – то совокупности. Поэтому статистическое наблюдение должно быть планомерным, массовым и систематическим. На втором этапе совокупность делится по признакам различия и объединяется по признакам сходства, подсчитываются суммарные показатели по группам и в целом. С помощью различных методов изучаемые явления делятся на важнейшие типы, характерные группы и подгруппы оп существенным признакам. С помощью группировок ограничивают качественно однородные в существенном отношении совокупности, что является предпосылкой для определения и применения обобщающих показателей. На заключительном этапе анализа с помощью обобщающих показателей рассчитываются относительные и средние величины, дается сводная оценка вариации признаков, характеризуется динамика явлений, применяются индексы, балансовые построения, рассчитываются показатели, характеризующие тесноту связей в изменении признаков. С целью наиболее рационального и наглядного изложения цифрового материала он представляется в виде таблиц и графиков. Статистическая совокупность – это множество явлений, имеющих один или несколько общих признаков и отличающихся между собой по значениям других признаков. Единица совокупности – каждое отдельное явление, подлежащее учету, наделенное признаками сходства. Учетные признаки – это свойства, характерная черта явления, подлежащая статистическому изучению. Делятся на: 1)качественные (атрибутивные) – выражают существенное неотъемлемое свойство предмета. Противоположные качественные признаки называют альтернативными (мужчина – женщина, отличник – не отличник т.д.); 2)количественные – отдельные значения различаются по величине (возраст, рост, вес). Статистические данные – сведения о числе объектов какой – либо обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками. Являются исходным материалом для любого статистического исследования. На основании статистических данных можно сделать научно обоснованные выводы. Для этого статистические данные должны быть предварительно определенным образом систематизированы и обработаны. Одним из основных методов обработки статистических данных является выборочный метод. При выборочном исследовании из всей совокупности отбирают некоторым образом определенное число объектов и только их подвергают исследованию. Генеральная совокупность – совокупность всех исследуемых объектов. Генеральную совокупность образуют, например, все больные с данным диагнозом, все новорожденные и дети т.д. Общую сумму членов генеральной совокупности называют ее объемом и обозначают буквой N. Теоретически объем генеральной совокупности ничем не ограничен. Поэтому обычно изучается какая – то часть объектов генеральной совокупности – выборка. Выборочная совокупность (выборка) – набор случайно отобранных объектов из генеральной совокупности. Возникновение и развитие математической статистики, как и других математических дисциплин, определялось потребностями практики; в настоящее время ее методы широко используются в различных технических дисциплинах. Они играют важную роль в экономических исследованиях, сельском хозяйстве, биологии, психологии, медицине, физических науках, геологии, социологических исследованиях и других, считавшихся долго далекими от математики, науках. |