ОТУ_Поляков_Часть2_2009. Теория автоматического управления для чайников Часть ii. Управление при случайных
 Скачать 1.41 Mb.
|
|
5. Оптимизация систем при случайных возмущениях 5.1. Что такое оптимальная система? Слово «оптимальный» означает «наилучший в некотором отношении». Для того, чтобы этот термин имел смысл, нужно определить, как именно (по какому критерию) мы будем оце- нивать систему управления. Критерий ) (x I – это оценка качества системы в виде числа, зави- сящая от выбора некоторых изменяемых параметров x . Эти параметры нужно выбрать так, чтобы обеспечить минимум или максимум критерия: min ) ( → x I или max ) ( → x I В первом случае критерий выражает потери (расходы, убыток), в этом случае функция ) (x I часто называется функцией потерь. Во втором случае ) (x I – это доходы (прибыль и т.п.). Если критерий ) (x I зависит от выбора некоторой функции (например, от неизвестной передаточной функции регулятора), величину ) (x I называют функционалом. В теории управления чаще всего рассматривается задача на минимум какого-то критерия (определяющего ошибку). Решение называется оптимальным, если выбранное x обеспечивает минимальное значение ) (x I среди всех допустимых решений. При этом нельзя сказать, что та- кая система «самая лучшая». Она является лучшей только по выбранному критерию, а по дру- гим показателям она может вести себя неудовлетворительно. На практике к системе обычно предъявляется много разных требований, то есть в идеале хочется сделать минимальными несколько величин (например, уменьшить рыскание судна и одновременно снизить активность руля). Такие задачи называются задачами многокритериаль- ной или многоцелевой оптимизации. Как правило, отдельные требования противоречивы (чтобы уменьшить рыскание, нужно увеличивать мощность управления). В этом случае задача не име- ет единственного решения; оптимальным (или Парето-оптимальным 12 ) называют любое реше- ние, для которого улучшение по любому показателю невозможно без ухудшения какого-либо другого. Обычно стараются составить один общий критерий, который отражает все наиболее важ- ные требования к системе. Однако это тоже «палка о двух концах» – любое усложнение крите- рия затрудняет поиск оптимального решения, особенно аналитическими методами. Часто такой единый критерий представляет собой взвешенную сумму отдельных показате- лей качества ) ( , ), ( ), ( 2 1 x I x I x I N K , которые складываются после умножения на весовые коэф- фициенты N k k k , , , 2 1 K (в большинстве случаев все они неотрицательны): min ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 → + + = x I k x I k x I k x I N N K Любое решение этой задачи при некоторых коэффициентах является Парето-оптимальным, по- скольку для него невозможно одновременно улучшить все показатели. Коэффициенты выбира- ются методом проб и ошибок так, чтобы полученное компромиссное решение удовлетворяло техническому заданию. 5.2. Оптимальная фильтрация 5.2.1. Постановка задачи Задача любой системы управления – поддерживать заданный режим. В идеале ошибка – отклонение от этого режима – должна быть нулевой. Если на систему действуют случайные возмущения, даже в установившемся режиме нельзя обеспечить нулевую ошибку, поскольку 12 В честь итальянского экономиста В. Парето, предложившего такой подход. © К.Ю. Поляков, 2009 40 эти возмущения все время будут выводить систему из состояния равновесия. Таким образом, ошибка тоже будет случайным процессом. В этом случае часто требуется выбрать регулятор так, чтобы сделать ошибку минималь- ной в статистическом смысле: уменьшить, насколько возможно, ее дисперсию (или, эквива- лентно, среднеквадратическое отклонение). Заметим, что в этой задаче могут быть выбраны и другие критерии качества. Например, можно потребовать, чтобы дисперсия ошибки не превы- шала заданное значение при всех возможных возмущениях (задача гарантирующего управле- ния ). В минимаксной задаче нужно обеспечить минимум ошибки в самом худшем случае. Рассмотрим простейшую задачу оптимизации линейной системы при случайных возму- щениях – задачу оптимальной фильтрации. При измерениях полезный сигнал ) (t x искажается помехой ) (t n , причем и полезный сигнал, и помеха – стационарные центрированные случайные процессы. Предполагается, что помеха и полезный сигнал статистически независимы, то есть, никак не связаны, порождаются разными источниками. Задача состоит в том, чтобы с помощью некоторого фильтра выделить сигнал из его смеси с помехой наилучшим образом – построить его наилучшую оценку ) ( ˆ t x . Наилучшей оценкой бу- дем считать такую, при которой дисперсия ε D ошибки x x − = ˆ ε минимальна. Предполагается, что известны только спектральные плотности полезного сигнала ) ( ω X S и помехи ) ( ω N S . Если фильтр ) (s C – линейный, этих данных достаточно для того, чтобы 1) найти дисперсию ошибки при известном фильтре; 2) построить оптимальный линейный фильтр. При этом результат не зависит от плотностей распределения вероятности входных сигналов. Если фильтр нелинейный, для решения обеих задач требуется знать плотности вероятности. Тем не менее, оптимальный фильтр все равно будет линейным, если сигнал и помеха имеют нормальное (гауссово) распределение. Таким образом, при заданных спектральных плотностях ) ( ω X S и ) ( ω N S требуется найти передаточную функцию линейного фильтра ) (s C , который обеспечивает минимальную диспер- сию ε D ошибки ε . Эту задачу впервые решил американский математик Норберт Винер в 1940-х годах, поэтому она называется задачей Винера, а соответствующий оптимальный фильтр – фильтром Винера. 5.2.2. Фильтр Винера Вспомним, что знание спектральной плотности ) ( ω ε S ошибки позволяет найти ее средний квадрат, равный дисперсии для центрированных процессов: ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − = = j j ds s S j d S D ) ( 2 1 ) ( 2 1 ε ε ε π ω ω π . (11) В последнем равенстве от угловой частоты ω мы перешли к комплексной переменной ω j s = Если помехи нет, спектральная плотность ошибки вычисляется по передаточной функции от входа x к выходу ε , которая равна 1 ) ( − s C : xˆ n x n x + ) (s C ε © К.Ю. Поляков, 2009 41 X X S C C s S ) 1 )( 1 ( ) ( * − − = ε Здесь и далее для сокращения записи у функций переменной s опущен аргумент, а звездочка (верхний индекс) обозначает замену s на s − . Если же нет полезного сигнала, спектральная плотность ошибки вычисляется по формуле N N S C C s S * ) ( = ε Когда действуют оба сигнала, но они статистически независимы, спектральная плотность ошибки равна сумме приведенных выше «отдельных» спектров: N X N X S CC S C C S S s S * * ) 1 )( 1 ( ) ( + − − = + = ε ε ε . (12) Можно сгруппировать слагаемые немного по-другому X X X N X S S C CS S S CC s S + − − + = * * ) ( ) ( ε Выражение N X XN S S s S + = ) ( – это спектральная плотность смеси сигнала и шума. Поэтому можно построить соответствующий формирующий фильтр ) (s Ψ , все нули и полюса которого находятся в левой полуплоскости: ) ( ) ( s s S S N X − Ψ Ψ = + . (13) Эта операция называется спектральной факторизацией. Тогда выражение для спектра ошибки можно записать в виде 0 * * * * * * ) ( S S С S С S S C CS CC s S X X X X X + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ψ − Ψ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ψ − Ψ = + − − ΨΨ = ε , (14) где N X N X N X X X X X X X S S S S S S S S S S S S s S + = + − = ΨΨ − = * 0 ) ( . Заметим, что 1) ) ( 0 s S не зависит от выбора фильтра; 2) ) ( 0 s S можно рассматривать как некоторую спектральную плотность, поэтому она всегда неотрицательна на мнимой оси, где проводится интегрирование (при ω j s = ); 3) выражение ) ( ) ( s Z s Z − тоже всегда неотрицательно на мнимой оси, поскольку при подста- новке ω j s = представляет собой квадрат амплитудной частотной характеристики; в на- шем случае * ) ( Ψ − Ψ = X S C s Z Таким образом, спектральная плотность ошибки (14) – это сумма двух неотрицательных вели- чин, одна из которых не зависит от выбора фильтра. Поэтому лучшее возможное решение – вы- брать фильтр из условия 0 ) ( = s Z , то есть N X X X S S S S s C + = ΨΨ = * ) ( . (15) Обычно полезный сигнал – низкочастотный, а помеха – высокочастотная. Их этой формулы следует, что на тех частотах, где ) ( ) ( ω ω N X S S >> (сигнал значительно мощнее помехи), усиле- ние фильтра близко к единице (помеху можно не учитывать). В то же время частоты, где ) ( ) ( ω ω X N S S >> (помеха мощнее сигнала) подавляются, так как коэффициент усиления фильтра (15) стремится к нулю. Заметим, что передаточная функция фильтра (15) содержит полюса как слева, так и справа от мнимой оси. Импульсная характеристика такого фильтра не будет равна нулю при 0 < t , то есть, фильтр должен использовать будущие значения входного сигнала. Поэтому при обработке © К.Ю. Поляков, 2009 42 в реальном времени его невозможно реализовать практически. Такой фильтр называют опти- мальным физически нереализуемым фильтром . Он имеет «право на жизнь» только тогда, когда обрабатывается предварительно записанный сигнал, и для каждого момента времени известны все его прошлые и будущие значения. В прикладных задачах чаще всего требуется построить оптимальный физически реализуе- мый фильтр , передаточная функция которого содержит полюса только в левой полуплоскости. При этом мы сужаем множество допустимых решений, поэтому такой фильтр заведомо будет работать не лучше, чем фильтр (15). Доказано 13 , что оптимальным будет фильтр, при котором произведение Ψ C равно устой- чивой части * Ψ X S , обозначаемой как + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ Ψ * X S . Это значит, что нужно выполнить сепарацию (рас- щепление) этой функции на два слагаемых, устойчивое (с полюсами только в левой полуплос- кости) и неустойчивое (все полюса – в правой полуплоскости): − + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ Ψ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ Ψ = Ψ * * * X X X S S S . (16) Неустойчивая часть − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ Ψ * X S должна быть строго правильной функцией (степень ее числителя меньше степени знаменателя). Условие + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ Ψ = Ψ * X S C дает + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ Ψ ⋅ Ψ = * 1 ) ( X S s C . (17) Эта формула определяет оптимальный физически реализуемый фильтр Винера. Для вычисления дисперсии ошибки нужно для полученной функции ) (s C найти спек- тральную плотность (12) и вычислить интеграл (11). В среде M ATLAB существует и другой спо- соб: факторизовать полученную спектральную плотность ошибки ) ( ) ( ) ( s F s F s S − = ε ε ε , а затем вычислить (с помощью функции norm) норму устойчивой передаточной функции ) (s F ε . Эта норма представляет собой СКВО выхода системы при действии на ее вход единич- ного белого шума, то есть, ε D Пусть, например, спектральная плотность полезного сигнала имеет вид 1 1 ) ( 2 + = ω ω X S , а помеха – белый шум с интенсивностью 1, то есть, 1 ) ( = ω N S . Переходя к переменной ω j s = , находим оптимальный физически нереализуемый фильтр (15): 2 1 2 1 1 1 ) ( 2 2 2 2 + − = + − + − ⋅ + − = + = s s s s S S S s C N X X Соответствующая ему дисперсия ошибки равна 354 , 0 2 1 1 1 0 2 0 0 = + = + = ∫ ∫ ∞ ∞ ω ω π ω π d d S S S S D N X N X Теперь построим физически реализуемый фильтр. Выполняем факторизацию (13) 13 Это решение предложили Х. Боде и К. Шеннон. © К.Ю. Поляков, 2009 43 1 2 ) ( 1 2 * 2 2 + + = Ψ ⇒ ΨΨ = + − + − = + s s s s s S S N X , а затем сепарацию (16) 2 1 ) 2 )( 1 ( 1 2 1 1 1 2 * + − + + = + − + = + − + − ⋅ + − = Ψ s k s k s s s s s S X , где 1 2 − = k . По формуле (17) находим оптимальный фильтр: 2 1 2 1 1 ) ( * + = + ⋅ + + = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ Ψ Ψ = + s k s k s s S s C X Подставляя эту функцию в формулу для спектра ошибки (12), после сокращений получаем ) 2 )( 2 ( ) 2 2 ( 2 ) ( + − + − = s s s S ε Вычисление дисперсии ошибки дает 0 414 , 0 D D > = ε . Видим, что в данном случае проигрыш по сравнению с оптимальным физически нереализуемым фильтром небольшой. Это связано с тем, что мощность помехи значительна в сравнении с мощностью сигнала, поэтому эффективность того и другого фильтров невысока. При очень больших помехах усиление оптимального фильтра будет уменьшаться (вплоть до нуля). Это значит, что сигнал выделить практически невозможно и фильтр просто «давит» помеху. 5.2.3. Функционал общего вида В этом пункте мы рассмотри задачу оптимизации в более общей форме для того, чтобы далее использовать полученные результаты для других аналогичных по сути задач. В выражении (12) можно выделить неизвестную передаточную функцию ) (s C и «все ос- тальное», записав его в общем виде: E C B BC ACC s X + − − = * * * ) ( , (18) где, ) (s B и ) (s E – некоторые функции, причем ) ( ) ( s A s A − = и ) ( ) ( s E s E − = . Требуется найти устойчивую передаточную функцию ) (s C , которая обеспечивает минимум функционала ∫ ∞ ∞ − = j j ds s X j I ) ( 2 1 π . (19) Функция ) (s A представляет собой некоторый спектр, для которого можно выполнить спектральную факторизацию, аналогичную (13): * ) ( ΨΨ = s A , (20) где у функции ) (s Ψ все нули (корни числителя) и полюса (корни знаменателя) имеют отрица- тельные вещественные части. Тогда выражение для спектра ошибки можно представить в виде 0 * * * * * ) ( E ZZ E C B BC CC s X + = + − − ΨΨ = , где * * ) ( Ψ − Ψ = B C s Z и A BB E s E − = ) ( 0 . Заметим, что 0 E не зависит от выбора фильтра, а выра- жение * ZZ неотрицательно на мнимой оси (квадрат амплитудной частотной характеристики). Поэтому лучшее, что можно сделать – обеспечить 0 ) ( = s Z , что дает оптимальный физически нереализуемый фильтр © К.Ю. Поляков, 2009 44 A B B s C * * * ) ( = ΨΨ = Для построения оптимального физически реализуемого фильтра выполним сепарацию − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Ψ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Ψ = Ψ * * * * * * B B B , где первое слагаемое соответствует всем устойчивым полюсам, а второе – строго правильная функция – всем неустойчивым. Оптимальный фильтр вычисляется по формуле + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Ψ Ψ = * * 1 ) ( B s C |