ОТУ_Поляков_Часть2_2009. Теория автоматического управления для чайников Часть ii. Управление при случайных

• Название: Теория автоматического управления для чайников Часть ii. Управление при случайных
• Дата: 15.03.2023
• Размер: 1.41 Mb.
• Имя файла: ОТУ_Поляков_Часть2_2009.pdf
• Тип: Задача; #992747
• страница: 9 из 9

dcgain). Таким образом, в качестве эталонного сигнала управления можно выбрать любой сигнал
)
(
0
t
u
, у которого предельное значение при
∞
→
t
равно
P
k
r
u
∞
∞
=
, на- пример, ступенчатый сигнал
)
0
(
)
(
0
>
=
∞
t
u
t
u
, изображение которого равно
s
u
s
U
∞
=
)
(
0
Теперь построим стандартную систему, соответствующую задаче оптимизации. Уравне- ния в изображениях имеют вид:
Rw
r
y
u
k
w
U
k
k
Pu
Rw
u
u
u
=
=
−
=
−
=
u
0
ε
ε
Учитывая, что первые два уравнения определяют ошибки по выходу и по управлению, имеем
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
0 11
)
(
U
k
R
s
G
u
,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
u
k
P
s
G
)
(
12
,
R
s
G
=
)
(
21
и
0
)
(
22
=
s
G
6.5. Замкнутые системы
Теперь рассмотрим аналогичную задачу для замкнутой системы.
Что изменилось с появлением замкнутого контура? Во-первых, уже не требуется, чтобы пере- даточные функции регулятора
)
(
s
C
и объекта
)
(
s
P
были устойчивыми. Во-вторых, требуется обеспечить устойчивость замкнутой системы. В-третьих, поскольку
)
(
s
P
может содержать множитель
s
в знаменателе (соответствующий интегрирующему звену), статический коэффи- циент усиления
)
(
lim
0
s
P
k
s
P
→
=
может оказаться равным бесконечности. Поэтому нужно скоррек- тировать процедуру выбора эталонного управляющего сигнала.
z
)
(
s
P
r
ε
u
)
(
s
C
)
(
s
R
)
(
t
w
δ
=
y

© К.Ю. Поляков, 2009
57
Передаточная функция от входа
w
к ошибке
ε
равна
R
P
C
R
P
CP
C
s
W
)

1
(
1 1
)
(
−
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
−
=
, где
CP
C
s
C
+
=
1
)
(

, поэтому подынтегральное выражение в критерии качества будет зависеть от
)
(

s
C
, а не от
)
(
s
C
Чтобы обеспечить устойчивость получаемой оптимальной системы в общем случае нужно ис- пользовать параметризацию стабилизирующих регуляторов (см. аналогичную задачу при слу- чайных возмущениях).
При определении эталонного сигнала управления вроде бы все осталось по-прежнему: по теореме о предельном значении
P
P
s
k
r
u
u
k
r
s
U
s
P
s
z
r
∞
∞
∞
∞
→
∞
∞
=
⇒
⋅
=
⇒
=
=
)
(
)
(
lim
0 0
Однако, проблема в том, что объект может содержать интегрирующие звенья, поэтому статиче- ский коэффициент усиления
)
(
lim
0
s
P
k
s
P
→
=
обращается в бесконечность. В этом случае эталон- ный сигнал управления должен стремиться к нулю при
∞
→
t
. Например, можно принять
0
)
(
0
=
t
u
при всех t .
Построим стандартную систему в задаче оптимизации по критерию
[
]
min
)
(
)
(
0 2
2 2
→
+
=
∫
∞
dt
t
k
t
I
u
u
ε
ε
Уравнения системы имеют вид
Pu
Rw
y
u
k
w
U
k
k
Pu
Rw
u
u
u
u
−
=
−
=
−
=
0
ε
ε
Учитывая, что первые два уравнения определяют ошибки по выходу и по управлению, имеем
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
0 11
)
(
U
k
R
s
G
u
,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
u
k
P
s
G
)
(
12
,
R
s
G
=
)
(
21
и
P
s
G
−
=
)
(
22
. Как видим, все отличие от разомкну- той системы состоит в функции
)
(
22
s
G
, которая в данном случае не равна нулю и представляет собой передаточную функцию контура (без регулятора).
Можно показать, что устойчивые полюса передаточной функции объекта
)
(s
P
(и неус- тойчивые полюса, «отраженные» от мнимой оси) становятся корнями характеристического уравнения оптимальной замкнутой системы. Вроде бы получается, что для объекта, включаю- щего интегрирующее звено, задача не имеет решения. Однако из этого правила есть исключе- ние: если модель входного сигнала
)
(s
R
также содержит интегрирующее звено (например, для единичного ступенчатого сигнала
s
s
R
/
1
)
(
=
), в ходе синтеза происходит сокращение двух множителей и оптимальная система оказывается устойчивой.
Если учитывать динамику привода и датчиков, схема немного усложняется:
В этом случае стандартная система описывается матрицами
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
0 11
)
(
U
k
R
s
G
u
,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
u
k
PH
s
G
)
(
12
,
R
s
G
=
)
(
21
и
FPH
s
G
−
=
)
(
22
z
)
(s
P
r
ε
u
)
(s
C
)
(s
R
)
(t
w
δ
=
y
)
(s
H
)
(s
F

© К.Ю. Поляков, 2009
58
Заключение
Шаг за шагом, мы кратко рассмотрели основные понятия теории случайных процессов, а также принципы проектирования оптимальных линейных систем при случайных и детермини- рованных возмущениях.
Нужно понимать, что вы прочитали не учебник, а небольшое введение, призванное позна-
комить с основными идеями и дать общее представление о рассматриваемых вопросах. Тот, кто серьезно собирается изучать современные методы теории управления и использовать их в своей работе, должен продолжить изучение, взяв «нормальные» учебники (см. список литера- туры), в которых материал изложен значительно более строго и научно.
За рамками пособия остались многие родственные темы, с которыми должен быть знаком современный специалист по автоматическому управлению. Достаточно сказать, что мы рас- смотрели только линейные непрерывные системы, тогда как практически все реальные системы содержат нелинейности и управляются цифровыми регуляторами, то есть являются непрерыв- но-дискретными. Ничего не было сказано о современных методах исследования многомерных систем (со многими входами и выходами) на основе моделей в пространстве состояний.
Автор будет считать свою задачу выполненной, если читатель почувствует в себе силы не остановиться на достигнутом и продолжить самообразование.

© К.Ю. Поляков, 2009
59
Литература для последующего чтения
(в порядке увеличения количества страниц)
1. Купер Дж., Макгиллем К. Вероятностные методы анализа сигналов и систем. М.: Мир,
1989.
2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения.
М.: Наука, 1991.
3. Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы
– СПб.: Питер, 2003.
4. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных – М.: Мир, 1989.
5. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления – М.: Наука, 1986.
6. Квакернак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления / Пер с англ. – М.: Мир,
1977.
7. Гудвин Г.К., Гребе С.Ф., Сальгадо М.Э.Проектирование систем управления. М.: Бином, Ла- боратория базовых знаний, 2004.