ОТУ_Поляков_Часть2_2009. Теория автоматического управления для чайников Часть ii. Управление при случайных

• Название: Теория автоматического управления для чайников Часть ii. Управление при случайных
• Дата: 15.03.2023
• Размер: 1.41 Mb.
• Имя файла: ОТУ_Поляков_Часть2_2009.pdf
• Тип: Задача; #992747
• страница: 7 из 9

5.3. Оптимальное управление в замкнутых системах
Расчет оптимального регулятора для замкнутых систем (систем управления с обратной связью) выполняется почти так же, как и синтез оптимальных фильтров. Однако нужно учиты- вать две особенности:
1) регулятор должен обеспечивать устойчивость замкнутой системы (в задаче фильтрации обычно требуется устойчивость самого фильтра);
2) уменьшение дисперсии ошибки, как правило, достигается за счет увеличения мощности управления, которая ограничена в реальных задачах; например, угол перекладки руля судна не может быть больше 30-35
°.
Рассмотрим систему стабилизации судна на курсе в условиях морского волнения.
Модель судна (обведена штриховой линией) состоит из двух блоков с передаточными функ- циями
)
(
1
s
P
и
s
s
P
/
1
)
(
2
=
(интегрирующее звено). Истинный курс
ϕ
измеряется датчиком с пе- редаточной функцией
)
(s
G
. Для компенсации измеренной ошибки
ϕ
ϕ
ˆ
0
−
=
y
регулятор
)
(s
C
выдает на привод (с передаточной функцией
)
(s
H
) управляющий сигнал
u
, который преобра- зуется в угол поворота руля
δ
. Заметим, что сама ошибка не измеряется, вместо нее регулятор получает сигнал y , который можно назвать оценкой ошибки.
На систему действуют два случайных сигнала: возмущение
w
, вызванное морским волне- нием и имеющее спектральную плотность
)
(
ω
w
S
, и шум измерений
m
. Для моделирования возмущения используется формирующий фильтр
)
(s
F
w
(такой, что
)
(
)
(
)
(
s
F
s
F
S
w
w
w
−
=
ω
), на вход которого поступает единичный белый шум
ξ
. Далее мы будем считать, что
0 0
=
ϕ
и все случайные сигналы – центрированные.
w
δ
z
ω
)
(
1
s
P
s
1
u
+
–
y
0
ϕ
заданный курс
)
(s
F
w
ξ
)
(s
H
)
(s
G
)
(s
C
регулятор привод датчик
ϕ
m
ϕ
ˆ

© К.Ю. Поляков, 2009
45
Какова же цель управления? Очевидно, что нужно сделать минимальной дисперсию
ε
D
ошибки
ϕ
ϕ
ϕ
ε
=
−
=
0
(при
0 0
=
ϕ
). Это может быть обеспечено только с помощью управления, то есть, за счет увеличения активности руля. В то же время, постоянные «дергания» руля край- не нежелательны, поэтому нужно ограничить дисперсию
u
D
(мощность) сигнала управления
u
Обычно в таких случаях для решения задачи оптимизации составляют единый критерий min
2
→
+
=
u
u
D
k
D
I
ε
. (21) где
2
u
k
– неотрицательный весовой коэффициент. Задача состоит в том, чтобы выбрать переда- точную функцию регулятора
)
(s
C
, обеспечивающую минимум критерия (21).
Величина
2
u
k позволяет ограничить сигнал управления. Если этого не делать, то есть при- нять
0 2
=
u
k
, мощность управления в оптимальной системе практически всегда будет неограни- ченно расти, что неприемлемо.
Вычисление дисперсий ошибки и управления выполним через их спектральные плотно- сти. Чтобы упростить выводы, пока не будем учитывать шум измерений. Тогда
(
)
∫
∞
∞
−
+
=
j
j
u
u
u
ds
W
W
k
W
W
j
I
*
2
*
2 1
ϕ
ϕ
π
, где
)
(s
W
ϕ
и
)
(s
W
u
– передаточные функции от входа
ξ
(белого шума) к углу рыскания
ϕ
и сигналу управления
u
. Используя правила преобразования структурных схем, находим
w
w
F
PHGP
CHPG
C
F
P
s
W
2 2
1
)
(
+
−
=
ϕ
,
w
u
F
GP
CHPG
C
s
W
2 1
)
(
+
−
=
где
)
(
)
(
)
(
2 1
s
P
s
P
s
P
=
. Здесь от выбора регулятора
)
(s
C
зависит только функция
CHPG
C
s
C
+
=
1
)
(

, (22) поэтому спектральные плотности угла рыскания и управления можно вычислить как
(
)(
)
*
*
2 2
*
*
*
*

1

1
)
(
w
w
F
F
P
P
C
G
H
P
C
PHG
s
S
−
−
=
ϕ
,
*
*
2 2
*
*


)
(
w
w
u
F
F
P
P
GG
C
C
s
S
=
После простых преобразований, критерий качества (21) можно записать в виде (19), где
E
C
B
C
B
C
C
A
s
X
+
−
−
=
*
*
*




)
(
. (23)
Это значит, что подынтегральное выражение имеет вид (18), где вместо
)
(s
C
фигурирует
)
(

s
C
, а функции
)
(s
A
,
)
(s
B
и
)
(s
E
известны (конечно, они отличаются от тех, что были в задаче фильтрации). При этом сразу возникает вопрос: нельзя ли использовать здесь тот же способ оп- тимизации, который применяется для построения фильтра Винера?
Несложно показать, что
)
(

s
C
– это в самом деле передаточная функция замкнутой систе- мы от y к
u
, то есть, для устойчивости системы она должна быть устойчива, как и фильтр Ви- нера. Тогда можно было бы сначала найти оптимальную устойчивую функцию
)
(

s
C
как опти- мальный фильтр Винера, а затем выразить передаточную функцию регулятора
)
(s
C
из (22).
Однако такой метод «проходит» только тогда, когда сам объект устойчив. В общем случае (ес- ли объект может быть неустойчивым) приходится использовать различные «хитрости», чтобы свести задачу оптимизации замкнутой системы к задаче Винера и при этом гарантировать ус- тойчивость системы. По существу, сначала строится вспомогательный регулятор, который ста- билизирует объект, а затем используется методика синтеза оптимального фильтра Винера.

© К.Ю. Поляков, 2009
46
Современный подход к решению этой задачи основан на использовании параметризации
всех стабилизирующих регуляторов
. Так называется выражение для передаточной функции ре- гулятора, которое зависит от неизвестной устойчивой функции. Изменяя эту функции произ- вольным образом (но сохраняя ее устойчивость), мы можем получить любой регулятор, кото- рый стабилизирует систему. С другой стороны, в такой форме можно представить любой регу- лятор, который стабилизирует систему.
Для построения параметризации передаточную функцию разомкнутого контура (без ре- гулятора) представляют в виде отношения полиномов,
)
(s
n
и
)
(s
d
:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
s
d
s
n
s
H
s
G
s
P
=
. (24)
Если полиномы
)
(s
n
и
)
(s
d
не имеют общих корней, то существуют полиномы
)
(
0
s
a
и
)
(
0
s
b
, удовлетворяющие уравнению
1
)
(
)
(
)
(
)
(
0 0
=
+
s
d
s
b
s
n
s
a
. (25)
Это полиномиальное уравнение, то есть уравнение, в котором неизвестными являются полино- мы (многочлены). Степени полиномов
)
(
0
s
a
и
)
(
0
s
b
на единицу меньше, чем степени
)
(s
d
и
)
(s
n
соответственно. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
s
в левой и пра- вой частях уравнения, получаем линейную систему уравнений, которая легко решается совре- менными программными средствами.
Параметризация всех стабилизирующих регуляторов имеет вид
Φ
−
Φ
+
=
n
b
d
a
s
C
0 0
)
(
, (26) где
)
(s
Φ
произвольная устойчивая дробно-рациональная функция (то есть, все корни ее знаме- нателя имеют отрицательные вещественные части). Любой регулятор, построенный по этой формуле – стабилизирующий, в то же время любой стабилизирующий регулятор может быть представлен в таком виде для некоторой функции
)
(s
Φ
Подставляя выражение (26) для
)
(s
C
в (22), находим, учитывая (24) и (25):
)
(
)
(

0
Φ
+
=
d
a
d
s
C
В свою очередь, подставляя это выражение в (23), получаем
E
B
B
A
s
X




)
(
*
*
*
+
Φ
−
Φ
−
ΦΦ
=
, где
)
(

s
A
, )
(

s
B
и
)
(

s
E
– известные функции. Поскольку любая устойчивая функция
)
(s
Φ
дает стабилизирующий регулятор (26), мы свели исходную задачу к задаче Винера, которую можно решать известными средствами (применяя факторизацию и сепарацию).
5.4. Стандартная система
Чтобы не «привязываться» к конкретной структурной схеме, программы для проектиро- вания оптимальных регуляторов обычно используют так называемую стандартную систему, где выделяют 4 типа сигналов и связанных с ними передаточных функций:
ε
– сигнал ошибки, его нужно сделать «минимальным» в некотором смысле;
y
– измеренный сигнал обратной связи, поступающий на вход регулятора;
w
– внешнее возмущение;
u
– управляющий сигнал на выходе регулятора.
Уравнения системы (в изображениях по Лапласу) можно записать так:

© К.Ю. Поляков, 2009
47
u
s
G
w
s
G
y
u
s
G
w
s
G
)
(
)
(
)
(
)
(
22 21 12 11
+
=
+
=
ε
Справа показано общепринятое обозначение стандартной системы. Обратите внимание, что в ней (формально) используется положительная обратная связь. При построении передаточных функций
)
2
,
1
,
(
)
(
=
j
i
s
G
ij
предполагается, что регулятора в контуре нет (цепь разорвана).
Каждый из четырех сигналов может быть векторным, то есть, содержать несколько ком- понент. Например, в рассмотренной выше задаче стабилизации судна на курсе требовалось ог- раничить сумму дисперсий
u
u
D
k
D
2
+
ϕ
. Ее можно представить как дисперсию векторного сигна- ла
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
u
k
u
ϕ
ε
, которая по определению равна:
[
]
u
u
u
u
u
T
D
k
D
u
k
E
u
k
u
k
E
E
D
2 2
2 2
}
{
}
{
+
=
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
=
ϕ
ε
ϕ
ϕ
ϕ
ε
ε
Здесь
}
{
⋅
E
обозначает математическое ожидание выражения в фигурных скобках, верхний ин- декс
T
– операцию транспонирования. Также учитывается, что сигналы центрированные, по- этому математическое ожидание квадрата сигнала равно его дисперсии.
Построим стандартную систему для задачи оптимальной стабилизации судна на курсе, ко- торая рассматривалась выше. Здесь добавлен фильтр
)
(s
F
m
, который формирует спектр помехи измерений. Его входной сигнал
µ
описывается как единичный белый шум, независимый от
ξ
Вектор внешних воздействий в задаче оптимизации при случайных возмущениях должен опи- сываться моделью единичного белого шума. В данном случае он состоит из двух компонент, независимых сигналов
ξ
и
µ
. Уравнения системы выглядят так:
GPHu
F
F
GP
y
u
k
PHu
F
P
m
w
u
w
−
−
−
=
=
+
=
=
µ
ξ
ε
ξ
ϕ
ε
2 2
2 1
Поэтому
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
0 0
0
)
(
2 11
w
F
P
s
G
,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
u
k
PH
s
G
)
(
12
,
[
]
m
w
F
F
GP
s
G
−
−
=
2 21
)
(
,
GPH
s
G
−
=
)
(
22
δ
z
ω
)
(
1
s
P
s
1
u
+
–
y
0
ϕ
заданный курс
)
(s
F
w
ξ
)
(s
H
)
(s
G
)
(s
C
регулятор привод датчик
ϕ
m
ϕ
ˆ
)
(s
F
m
µ
ε
u
w
y
)
(
)
(
)
(
)
(
22 21 12 11
s
G
s
G
s
G
s
G
)
(s
C

© К.Ю. Поляков, 2009
48
Обратите внимание, что отрицательная обратная связь здесь выражается в том, что в записи
)
(
22
s
G
появляется знак «минус». Можно показать, что
)
(
22
s
G
– это передаточная функция ра- зомкнутого контура (без регулятора).
5.5. Особенности задачи оптимизации
5.5.1. Идеальные датчики
Что будет, если в задаче оптимизации предположить, что датчик идеально измеряет сиг- нал (то есть, принять
0
)
(
=
s
F
m
)? Если выполнить синтез, передаточная функция оптимального регулятора может получиться, например, такая:
4
,
0 1
,
0 5
,
0
)
(
2
+
+
+
=
s
s
s
s
C
В ней степень числителя выше, чем степень знаменателя. Разделив числитель на знамена- тель, можно выделить дифференцирующее звено с передаточной функцией
s
5
,
0
. Вроде бы здесь нет ничего плохого. Однако при построении частотной характеристики такого регулятора
(см. ЛАФЧХ на рисунке справа, красная линия) становится видно, что он усиливает высокочастотные сигналы. Во- первых, это приводит к тому, что сигнал управления будет очень большим и в реальной системе будет превышено его максимально допустимое значение. Во-вторых, любой высо- кочастотный шум измерения (который всегда присутствует) будет усиливаться регулятором, который начнет «раскачи- вать» систему. Таким образом, с точки зрения практического использования получилось плохое решение, хотя и «оптимальное».
Чтобы избежать подобных проблем и сделать регулятор нечувствительным к высокочас- тотным помехам измерительной системы, в задаче оптимизации учитывают сигнал помехи типа
«белого шума». Если принять
1
,
0
)
(
=
s
F
m
при тех же условиях мы получаем регулятор
40 100 14 10 100 50
)
(
2 3
2
+
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
s
C
Поскольку эта функция строго правильная (степень ее числителя меньше степени знаменателя), амплитудная частотная характеристика (синяя линия на рисунке) «скатывается» вниз на высо- ких частотах. Поэтому регулятор будет нечувствителен к помехам измерений. Для обеспечения
«ската» частотной характеристики регулятора на высоких частотах (англ. roll-off), передаточная функция фильтра
)
(s
F
m
должна иметь равные степени числителя и знаменателя, то есть, модель помехи должна содержать составляющую типа «белого шума». Если в системе несколько изме- ряемых сигналов, это относится к каждому из них.
5.5.2. Фиксированные полюса
Анализ оптимальных систем показывает, что все устойчивые полюса
)
(s
H
, )
(s
G
и
)
(
1
s
P
автоматически становятся корнями характеристического уравнения оптимальной замкнутой системы. Это – так называемые фиксированные полюса, они определяются особенностями структуры системы. Если эти передаточные функции имеют неустойчивые полюса (с положи- тельной вещественной частью), корнями характеристического уравнения становятся их (устой-
)
(
ω
m
L
ω
1
,
0
)
(
0
)
(
=
=
s
F
s
F
m
m

© К.Ю. Поляков, 2009
49
чивые) отражения от мнимой оси. Если же в
)
(s
H
, )
(s
G
или
)
(
1
s
P
есть интегрирующее звено, задача не имеет практически ценного решения – характеристическое уравнение «оптимальной» системы будет иметь нулевой корень, система находится на границе области устойчивости.
Полюса функций
)
(
2
s
P
, )
(s
F
w
и
)
(s
F
m
в явном виде не входят в характеристическое урав- нение. Это объясняется (на интуитивном уровне) тем, что блоки с передаточными функциями находятся
)
(s
F
w
и
)
(s
F
m
вне контура управления. Особенность блока
)
(
2
s
P
состоит в том, что входной сигнал
ξ
проходит через него на выход
ϕ
. Путем достаточно сложных выкладок мож- но доказать, что при этом его полюса не будут корнями характеристического уравнения. Из этого правила есть одно исключение: формирующий фильтр возмущения не должен содержать дифференцирующее звено, то есть передаточная функция
)
(s
F
w
не должна иметь сомножителя
s
в числителе.
Вспомним, что для моделирования воздействия морского волнения чаще всего использу- ют формирующий фильтр с передаточной функцией
0 0
2 2
)
(
ω
λω
+
+
=
s
s
s
K
s
F
w
w
, где
0
ω
– доминирующая частота волн,
λ
– коэффициент демпфирования (
1 0
<
<
λ
),
w
w
K
σ
λω
0 2
=
и
w
σ
– коэффициент, определяющий интенсивность волнения. При этом
0 0
2 0
0 2
2 2
1 2
)
(
)
(
ω
λω
ω
λω
+
+
=
⋅
+
+
=
s
s
K
s
s
s
s
K
s
P
s
F
w
w
w
, то есть, полюс
)
(
2
s
P
в точке
0
=
s
сократился нулем передаточной функции
)
(s
F
w
. Это значит, что входной сигнал
ξ
уже не действует на интегратор, и полюс в точке
0
=
s
в модели судна должен быть (с формально-математической точки зрения) отнесен к блоку
)
(
1
s
P
. Так как все полюса
)
(
1
s
P
(в исходном или «отраженном» виде) становятся корнями характеристического уравнения, в этом случае оптимального стабилизирующего регулятора не существует.
5.5.3. Регуляризация
Что же делать? Нужно построить «квазиоптимальный» (лат. как бы оптимальный, похо-
жий на оптимальный
) регулятор, который будет стабилизировать систему, хотя и будет не- сколько хуже, чем «оптимальный» (но нестабилизирующий!) по выбранному критерию качест- ва. Для этого обычно выполняют регуляризацию задачи, то есть, немного меняют условие так, чтобы она стала решаемой. В данном случае возможно два приема:
1) вместо
)
(s
F
w
использовать измененную передаточную функцию фильтра
0 0
2 2
)
(

ω
λω
θ
+
+
+
=
s
s
s
K
s
F
w
w
, которая не имеет нуля в точке
0
=
s
при любом малом
θ
;
2) воспользоваться другой моделью спектра морского волнения, которая дает ненулевое зна- чение на частоте
0
=
ω
, например, дробно-рациональными спектрами типов 1 и 2, которым соответствуют формирующие фильтры
0 1
2 0
)
(

δ
δ
γ
+
+
=
s
s
s
F
w
и
0 1
2 0
1
)
(

δ
δ
γ
γ
+
+
+
=
s
s
s
s
F
w

© К.Ю. Поляков, 2009
50
5.5.4. Все не может быть оптимальным
Отметим еще одну особенность рассматриваемой задачи. Мы стремились к тому, чтобы система была устойчива и обеспечивался минимум функции потерь
u
u
D
k
D
I
2
+
=
ε
. Одновре- менно все остальные требования к системе, например, скорость и качество переходных процес- сов, не учитывались. Поэтому «оптимальный» регулятор может приводить к затянутому или колебательному переходному процессу.