Теория игр. Поиск выигрышной стратегии

• Название: Теория игр. Поиск выигрышной стратегии
• Дата: 01.04.2022
• Размер: 0.73 Mb.
• Имя файла: ege1921.doc
• Тип: Документы; #434706
• страница: 7 из 7

Задание 19.

Найдите максимальное значение S, когда Петя мог выиграть первым ходом, но ошибся, и Ваня выиграл.

Задание 20.

Найдите минимальное и максимальное значение S, при котором Петя выигрывает вторым ходом при любом ходе Вани.

Задание 21

Найдите минимальное значение S, при котором Петя может выбрать, каким ходом выиграет Ваня.

86. 
    (Е. Джобс) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. У игроков есть табличка, на которой записана пара неотрицательных целых чисел. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может заменить любое число на сумму обоих чисел. Так, например, если перед ходом игрока была позиция (3, 5), то после его хода будет позиция (8, 5) или (3, 8). Игра завершается в тот момент, когда сумма чисел пары становится не менее 45, побеждает игрок, сделавший последний ход.
    

Задание 19.

Известно, что игра началась в позиции (7, S), при этом Ваня одержал победу после неудачного хода Пети. Укажите минимальное значение S, при котором это возможно.

Задание 20.

Найдите значения S, при которых Петя при правильной игре гарантированно выигрывает своим вторым ходом из позиции (6, S). В качестве ответа укажите сначала минимальное, затем максимальное значение.

Задание 21

Известно, что при игре из позиции (S, S) Ваня гарантированно выигрывает своим вторым ходом при любой игре Пети. Найдите минимальное значение S, при котором это возможно.

87. 
    (А. Богданов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит три кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч 3, 13 или 23 камня. Игра завершается в тот момент, когда в сумме в кучах будет не менее 73 камней. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в кучах было (2, S, 2S) камней, 1 ≤ S ≤ 23.
    

Задание 19.

При некотором значении S Ваня одержал победу свои первым ходом после неудачного хода Пети. Укажите минимальное значение S, при котором это возможно.

Задание 20.

Найдите минимальное и максимальное значения S, при которых Петя выигрывает вторым ходом при любом ходе Вани.

Задание 21

Найдите два значения S, при которых выигрышная стратегия есть у Вани, но Петя может выбрать, каким ходом выиграет Ваня – первым или вторым.

88. 
    (А. Богданов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч 1 или 2 камня. Игра завершается в тот момент, когда в сумме в кучах будет 13 камней. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в первой куче было 3 камня, во второй – S камней, 1 ≤ S ≤ 9.
    

Задание 19.

Петя мог выиграть первым ходом, но сделал неудачный ход и Ваня выиграл. При каком минимальном значении S это возможно?

Задание 20.

Найдите минимальное и максимальное значения S, при которых Петя выигрывает вторым ходом при любом ходе Вани.

Задание 21

Найдите значение S, при котором Ваня выигрывает вторым ходом при любых ходах Пети.

89. 
    (И. Осипов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат три кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) три камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в первой куче 10 камней, во второй 7, а в третьей 4 камня; такую позицию в игре будем обозначать (10, 7, 4). Тогда за один ход можно получить любую из шести позиций: (13, 7, 4), (20, 7, 4), (10, 10, 4), (10, 14, 4), (10, 7, 7), (10, 7, 8). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 71. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, что в кучах всего будет 71 или больше камней. В начальный момент в первой куче было семь камней, во второй куче пять камней, в третьей куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 58.
    

Задание 19.

При некотором значении S Ваня одержал победу свои первым ходом после неудачного хода Пети. Укажите минимальное значение S, при котором это возможно.
Задание 20.

Найдите минимальное и максимальное значение S, при которых Петя выигрывает вторым ходом при любом ходе Вани.
Задание 21

Найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

90. 
    (А. Рогов) Два игрока, Паша и Витя, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Паша. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в три раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций:
    

(11, 5), (30, 5), (10, 6), (10, 15). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 60. Если при этом в куче оказалось не более 79 камней, то победителем считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае победителем становится его противник, при этом считается, что противник сделал ход.

В начальный момент в первой куче было восемь камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 51.

Задание 19.

Укажите минимальное значение S, при котором Паша не может победить своим первых ходом, но Витя побеждает своим первым ходом при любой игре Паши.
Задание 20.

Укажите, сколько существует значений S, при которых у Паши есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

– Паша не может выиграть за один ход;

– Паша может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Витя.
Задание 21

Укажите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вити есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Паши;

– у Вити нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

91. 
    (А. Рогов) Два игрока, Паша и Витя, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Паша. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций:
    

(11, 5), (20, 5), (10, 6), (10, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 40. Если при этом в куче оказалось не более 49 камней, то победителем считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае победителем становится его противник, при этом считается, что противник сделал ход.

В начальный момент в первой куче было четырнадцать камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 25.

Задание 19.

Укажите значение S, при котором Паша не может победить своим первых ходом, но Витя побеждает своим первым ходом при любой игре Паши.
Задание 20.

Укажите, сколько существует значений S, при которых у Паши есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

– Паша не может выиграть за один ход;

– Паша может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Витя.
Задание 21

Укажите минимальное и максимальное значения S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вити есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Паши;

– у Вити нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

92. 
    (А. Рогов) Два игрока, Паша и Витя, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Паша. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций:
    

(11, 5), (20, 5), (10, 6), (10, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 91. Если при этом в куче оказалось не более 110 камней, то победителем считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае победителем становится его противник, при этом считается, что противник сделал ход.

В начальный момент в первой куче было сорок камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 50.

Задание 19.

Укажите минимальное значение S, при котором Паша не может победить своим первых ходом, но Витя побеждает своим первым ходом при любой игре Паши.
Задание 20.

Укажите, сколько существует значений S, при которых у Паши есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

– Паша не может выиграть за один ход;

– Паша может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Витя.
Задание 21

Укажите минимальное и максимальное значения S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вити есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Паши;

– у Вити нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

93. 
    (А. Рогов) Два игрока, Паша и Витя, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Паша. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) два камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций:
    

(12, 5), (30, 5), (10, 7), (10, 15). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 47. Если при этом в куче оказалось не более 59 камней, то победителем считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае победителем становится его противник, при этом считается, что противник сделал ход.

В начальный момент в первой куче было пять камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 41.

Задание 19.

Укажите количество значений S, при котором Паша не может победить своим первых ходом, но Витя побеждает своим первым ходом при любой игре Паши.
Задание 20.

Укажите минимальное и максимальное значения S, при которых у Паши есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

– Паша не может выиграть за один ход;

– Паша может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Витя.
Задание 21

Укажите количество значений S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вити есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Паши;

– у Вити нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

94. 
    (А. Рогов) Два игрока, Паша и Витя, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Паша. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций:
    

(12, 5), (20, 5), (10, 7), (10, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 63. Если при этом в двух кучах оказалось не более 74 камней, то победителем считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае победителем становится его противник, при этом считается, что противник сделал ход.

В начальный момент в первой куче было пятнадцать камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 47.

Задание 19.

Известно, что Витя победил после первого неудачного хода Паши. Назовите минимальное S, при котором это возможно.
Задание 20.

Укажите минимальное и максимальное значения S, при которых у Паши есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

– Паша не может выиграть за один ход;

– Паша может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Витя.
Задание 21

Укажите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вити есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Паши;

– у Вити нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Вопросы 19-21 к следующим задачам:

Задание 19.

Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20.

Определите, наименьшее и наибольшее значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Задание 21

Найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

95. 
    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. При этом нельзя повторять ход, который только что сделал второй игрок. Например, если в начале игры в куче 3 камня, Петя может первым ходом получить кучу из 4, 5 или 6 камней. Если Петя добавил 1 камень и получил кучу из 4 камней, то следующим ходом Ваня может либо добавить 2 камня (и получить 6 камней), либо удвоить количество камней в куче (их станет 8). Получить 6 камней Ваня не может, так как для этого нужно добавить 2 камня, а такой ход только что сделал Петя.
    

Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 43. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 43 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 42.

96. 
    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. При этом нельзя повторять ход, который только что сделал второй игрок. Например, если в начале игры в куче 3 камня, Петя может первым ходом получить кучу из 4, 5 или 6 камней. Если Петя добавил 1 камень и получил кучу из 4 камней, то следующим ходом Ваня может либо добавить 2 камня (и получить 6 камней), либо удвоить количество камней в куче (их станет 8). Получить 6 камней Ваня не может, так как для этого нужно добавить 2 камня, а такой ход только что сделал Петя.
    

Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 68. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 68 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 67.

97. 
    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить три камня или увеличить количество камней в куче в два раза. При этом нельзя повторять ход, который только что сделал второй игрок. Например, если в начале игры в куче 4 камня, Петя может первым ходом получить кучу из 5, 7 или 8 камней. Если Петя добавил 1 камень и получил кучу из 5 камней, то следующим ходом Ваня может либо добавить 3 камня (и получить 8 камней), либо удвоить количество камней в куче (их станет 10). Получить 6 камней Ваня не может, так как для этого нужно добавить 1 камень, а такой ход только что сделал Петя.
    

Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 55. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 55 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 54.

98. 
    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить три камня или увеличить количество камней в куче в три раза. При этом нельзя повторять ход, который только что сделал второй игрок. Например, если в начале игры в куче 4 камня, Петя может первым ходом получить кучу из 5, 7 или 12 камней. Если Петя добавил 1 камень и получил кучу из 5 камней, то следующим ходом Ваня может либо добавить 3 камня (и получить 8 камней), либо утроить количество камней в куче (их станет 15). Получить 6 камней Ваня не может, так как для этого нужно добавить 1 камень, а такой ход только что сделал Петя.
    

Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 76. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 76 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 75.

99. 
    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить три камня или увеличить количество камней в куче в три раза. При этом нельзя повторять ход, который только что сделал второй игрок. Например, если в начале игры в куче 4 камня, Петя может первым ходом получить кучу из 5, 7 или 12 камней. Если Петя добавил 1 камень и получил кучу из 5 камней, то следующим ходом Ваня может либо добавить 3 камня (и получить 8 камней), либо утроить количество камней в куче (их станет 15). Получить 6 камней Ваня не может, так как для этого нужно добавить 1 камень, а такой ход только что сделал Петя.
    

Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 100. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 100 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 99.

100. 
     Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить два камня или увеличить количество камней в куче в три раза. При этом нельзя повторять ход, который только что сделал второй игрок. Например, если в начале игры в куче 4 камня, Петя может первым ходом получить кучу из 5, 6 или 12 камней. Если Петя добавил 1 камень и получил кучу из 5 камней, то следующим ходом Ваня может либо добавить 2 камня (и получить 7 камней), либо утроить количество камней в куче (их станет 15). Получить 6 камней Ваня не может, так как для этого нужно добавить 1 камень, а такой ход только что сделал Петя.
     

Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 62. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 62 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 61.

101. 
     Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить два камня или увеличить количество камней в куче в три раза. При этом нельзя повторять ход, который только что сделал второй игрок. Например, если в начале игры в куче 4 камня, Петя может первым ходом получить кучу из 5, 6 или 12 камней. Если Петя добавил 1 камень и получил кучу из 5 камней, то следующим ходом Ваня может либо добавить 2 камня (и получить 7 камней), либо утроить количество камней в куче (их станет 15). Получить 6 камней Ваня не может, так как для этого нужно добавить 1 камень, а такой ход только что сделал Петя.
     

Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 140. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 140 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 139.

102. 
     (А. Кабанов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит набор карт. За один ход игрок берёт одну из карт и кладёт её в стопку поверх предыдущей. Игроки ходят по очереди, первую карту кладёт Петя. Первая карта может быть любой из доступных. В следующие ходы игроки могут положить только карты того же достоинства или на единицу старше. Игра завершается в тот момент, когда положить новую карту в стопку становится невозможно. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть положивший последнюю карту в стопку.
     

Задание 19.

Перед игроками лежат 1 семёрка, 3 восьмёрки и 2 девятки. С какой карты Петя должен начать игру, чтобы гарантированно выиграть? В качестве ответа запишите числовое значение этой карты.
Задание 20.

Перед игроками лежат 1 пятёрка, 2 шестёрки, 3 семёрки, 1 восьмёрка, 3 девятки, 2 десятки. С каких карт Петя должен начать игру, чтобы гарантированно выиграть? В качестве ответа запишите наименьшее и наибольшее числовые значения этих карт.
Задание 21

Известно, что в начальном наборе были четвёрки, пятёрки, шестёрки и семёрки, но не более четырёх каждого вида. Сколько существует вариантов наборов таких карт, что Ваня сможет победить при любой игре Пети?

103. 
     (PRO100 ЕГЭ) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может увеличить количество камней в куче в два раза или добавить в кучу два камня. Так же за всю игру можно только один раз сделать суперход – ход, после которого количество камней в куче не изменится, а очередь хода перейдёт к сопернику. То есть суперход может сделать один раз либо Ваня, либо Петя. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Выигрывает тот игрок, после хода которого количество камней в куче становится не менее 20.
     

В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 19. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задание 19.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Назовите минимальное значение S, при котором это возможно.
Задание 20.

Найдите два значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём Петя не может выиграть первым ходом, но может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Задание 21

Найдите наибольшее и наименьшее значения S, при которых у Вани есть выигрышная стратегия.

http://kpolyakov.spb.ru