Теория вероятностей. Помощь в теории вероятностей (1). Теория вероятностей Основные термины
 Скачать 0.68 Mb.
|
|
Теория вероятностей Основные термины 1) Вероятность - это степень наступления какого-либо события. Вероятность никогда не может быть больше единицы и не может быть отрицательной! 2) Событие - всякий факт, который в результате некоторого опыта может произойти или не произойти. 3) Противоположное событие – событие, которое не происходит тогда, когда происходит другое событие. Например: событие А – стрелок попал в мишень. Тогда противоположное событию А будет являться событие A ̅ – стрелок не попал (промахнулся) в мишень. 4) Несовместные события – такие события, когда отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно одному и второму событию. 5) Независимые события – такие события, когда вероятность каждого из этих событий не зависит от появления или непоявления другого события. Основные формулы: 1) Вероятность любого случайного события: P(A) = 𝐦 𝐧 где Р(А) – вероятность события А; m – количество событий, благоприятствующих событию А; n – общее количество событий. 2) Вероятность противоположного события: P(А) + P(𝐀 ̅) = 1 где Р(А) – вероятность события А; P(A ̅) – вероятность противоположного события событию А. 3) Вероятность несовместных событий: P(C) = P(A)+ P(B) где А и В – несовместные события 4) Вероятность независимых событий P(C) = P(A)*P(B) где А и В – независимые события Примеры задач: Задача 1. На тарелке 12 пирожков: 5 с мясом, 4 с капустой и 3 с вишней. Наташа наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней. Решение: по условию с вишней 3 пирожка, а всего их 12. Тогда по формуле вероятности случайного события найдем вероятность события А, что выбранный наугад пирожок окажется с вишней. P(A) = m n Для нашего случая количество событий m, благоприятствующих событию, что пирожок окажется с вишней будет равно 3, а общее количество событий n, то есть общее количество пирожков равно 12 ТогдаP(A) = m n = 3 12 = 1 4 = 0,25 Ответ: 0,25 Задача 2. На экзамене 25 билетов, Сергей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет. Решение (1 способ): для начала найдем, сколько Сергей выучил билетов. Всего было 25 билетов, 3 из них он не выучил, значит: 25-3 = 22 билета он выучил. Тогда по формуле вероятности случайного события найдем вероятность события А, что попадется выученный билет. P(A) = m n Для нашего случая количество событий m, благоприятствующих событию, что выученный билет, будет равно 22, а общее количество событий n, то есть общее количество билетов равно 25. ТогдаP(A) = m n = 22 25 = 0,88 Ответ: 0,88 Решение (2 способ): найдем вероятность противоположного события, то есть вероятность того, что ему попадется невыученный билет. Всего билетов 25, 3 из них он не выучил, значит, вероятность того, что ему попадется невыученный билет равна: P(A) = m n = 3 25 = 0,12 Используя формулу вероятности противоположенного события найдем вероятнсть того, что Сергею попадется выученные билет: P(А) + P( A ̅) = 1 P( A ̅) = 1 - P(А) = 1 – 0,12 = 0,88 Ответ: 0,88 Задача 3. На экзамене по геометрии школьнику достаётся одна задача из сборника. Вероятность того, что эта задача по теме «Углы», равна 0,1. Вероятность того, что это окажется задача по теме «Параллелограмм», равна 0,6. В сборнике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем. Решение: пусть событие А – школьнику достанется задача по теме “Углы”, а событие B – школьнику достанется задача по теме “Параллелограмм”. Так как по условию говорится, что в сборнике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам, то это значит, что события А и В являются несовместными (так как обе задачи не могут попасться вместе). Поэтому применим формулу для вероятности несовместных событий и найдем вероятность, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем: P(C) = P(A)+ P(B) = 0,1 + 0,6 = 0,7 Ответ: 0,7 Задача 4. Стрелок 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,5. Найдите вероятность того, что стрелок первые 3 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Решение: при выстреле стрелка может быть два исхода: попадание и промах. Два данных исхода являются противоположными, поэтому зная вероятность попадания при выстреле, мы можем найти вероятность промаха по формуле вероятности противоположенного события. Пусть А – стрелок попал в мишень, тогда: P(А) + P(A ̅) = 1 P(A ̅) = 1 - P(А) = 1 – 0,5 = 0,5 – вероятность промаха Найдем вероятность трех попаданий и одного промаха. Попадания и промах являются независимыми событиями (так как на попадание или промах стрелка ничего не влияет), поэтому воспользовавшись формулой вероятности независимых событий найдем вероятность события B – три раза попал и один раз промахнулся: P(B) = 0,5*0,5*0,5*0,5 = 0,0625 Ответ: 0,0625 Задача 5. Известно, что в некотором регионе вероятность того, что родившийся младенец окажется мальчиком, равна 0,512. В 2010 г. в этом регионе на 1000 родившихся младенцев в среднем пришлось 477 девочек. На сколько частота рождения девочек в 2010 г. в этом регионе отличалась от вероятности этого события? Решение: сначала найдем частоту рождения девочек. Частота - отношение числа испытаний, в которых появилось данное событие к общему числу испытаний. То есть частота рождения девочек будет равна: 477 1000 = 0,477 Рождение мальчика и рождение девочки являются противоположными событиями. Поэтому зная вероятность рождения мальчика можно найти вероятность рождения девочки по формуле противоположного события: P(A ̅) = 1 - P(А) = 1 – 0,512 = 0,488 – вероятность рождения девочки Тогда разность между вероятностью и частотой рождения девочки будет равна: 0,488 – 0,477 = 0,011 Ответ: 0,011 Задача 6. Фирма «Вспышка» изготавливает фонарики. Вероятность того, что случайно выбранный фонарик из партии бракованный, равна 0,02. Какова вероятность того, что два случайно выбранных из одной партии фонарика окажутся небракованными? Решение: сначала найдем вероятность того, что выбранный фонарик будет небракованным. Воспользуемся формулой вероятности противоположного события: пусть событие А – фонарик оказался бракованный, тогда P(A ̅) = 1 - P(А) = 1 – 0,02 = 0,98 – вероятность того, что фонарик небракованный. Так как два фонарика мы выбираем случайно, то этот выбор является независимым (то есть выбор фонарика ни от чего не зависит) Тогда вероятность того, что два случайно выбранных из одной партии фонарика окажутся небракованными можем найти по формуле вероятности независимых событий: P(B) = P(A ̅)* P(A̅) = 0,98*0,98 = 0,9604 Ответ: 0,9604 Задача 7. Записан рост (в сантиметрах) пяти учащихся: 158, 166, 134, 130, 132. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы? Решение: среднее арифметическое – сумма всех чисел, деленное на их количество Медиана – число (или половина суммы двух чисел если они останутся посередине ряда) которые находятся ровно посередине ряда Среднее арифметическое: 158+166+134+130+132 5 = 144 Медиана: 158, 166, 134, 130, 132, то есть медиана равна 134 Тогда разность между средним арифметическим и медианой будет равна: 144 – 134 = 10 Ответ: 10 Задача 8. Средний рост жителя города, в котором живет Даша, равен 170 см. Рост Даши 173 см. Какое из следующих утверждений верно? 1) Даша — самая высокая девушка в городе. 2) Обязательно найдется девушка ниже 170 см. 3) Обязательно найдется человек ростом менее 171 см. 4) Обязательно найдется человек ростом 167 см. Решение: рассмотрим каждое утверждение по отдельности. 1) Даша — самая высокая девушка в городе. По условию рост Даши 173 см, а средний рост всех жителей равен 170 см. Подберем ситуацию, когда в городе живет несколько человек и придумаем для них рост, чтобы среднее арифметическое было 170 см. Представим, что в городе живет три человека: Даша с ростом 173 см, Витя с ростом 190 см и Катя с ростом 147 см. Если найти средний рост у этих трех ребят (то есть среднее арифметическое), то получим 170+173+147 3 = 170 То есть мы подобрали как минимум один вариант, когда Даша не самая высокая девушка в городе, а значит первое утверждение неверно. Рассмотрим второе утверждение: 2) Обязательно найдется девушка ниже 170 см. Можно предположить, что в городе живет только одна девушка – Даша, а все остальные жители мужчины. И привести пример: в городе живет три человека: Даша с ростом 173 см, Витя с ростом 190 см и Леша с ростом 147 см. Соответственно все условия соблюдены и мы видим, что мы привели пример, когда девушки ниже 170 см не нашлось, а значит второе утверждение неверно. Рассмотрим третье утверждение: 3) Обязательно найдется человек ростом менее 171 см. Так как по условию задачи средний рост всех жителей 170 см, то это значит, что как минимум у одного человека рост будет ниже 171. Потому что если все жители будут не ниже 171 см, то средний рост будет не меньше 171 см. Рассмотрим четвертое утверждение: 4) Обязательно найдется человек ростом 167 см. Нет, необязательно. Мы вновь можем привести свой пример: Даша с ростом 173 см, Витя с ростом 190 см и Леша с ростом 147 см. В данном примере человека с ростом 167 см нет, а значит четвертное утверждение неверно. В результате верное утверждение – 3 Вот так, придумав всего лишь один пример, соответствующий условию задачи, мы его смогли применить к каждому утверждению и проверить является ли оно верным или нет. Ответ: 3 Задача 9. Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 5 Решение: сначала найдем, сколько трехзначных чисел делится на 5. Трехзначные числа – числа от 100 до 999. Значит всего их 900 штук (чтобы найти количество чисел в каком либо промежутке, надо вычесть из большего числа меньшее и прибавить 1, то есть: 999-100+1 = 900) На пять делится каждое пятое число, начиная со 100, то есть таких чисел 900 5 = 180 Тогда вероятность события А – трехзначное число, которое делится на 5 будет равна: P(A) = 180 900 = 0,2 Ответ: 0,2 Задача 10. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, большее 3. Решение: для начала поймем, какие у нас могут быть варианты, когда при броске кости выпадает число, большее трех. Кость представляет собой кубик, на каждой грани которого стоит количество точек (очков) от 1 до 6. Следовательно, больше 3 очков могло выпасть только 4,5,6 очков. Найдем количество благоприятных нам моментов, когда оба раза выпало число, большее 3. Это могут быть варианты: 4 4; 5 5; 6 6; 4 5; 4 6; 5 4; 6 4; 5 6; 6 5. То есть благоприятных нам вариантов 9 штук. Всего таких вариантов 36 ( не поленюсь, выпишу все их): 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 4 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6 Тогда вероятность события А – оба раза выпало число, большее 3 будет равна: P(A) = 9 36 = 0,25 Ответ: 0,25 |