Явление резонанса. 14.Явления переноса. Теплопроводности
 Скачать 0.5 Mb.
|
1 Явления переноса в газах Мы знаем, что молекулы в газах движутся со скоростью пули. Однако, в противоположном конце комнаты, запах пахучей жидкости мы чувствуем не через тысячные доли секунды, а через сравнительно большой промежуток времени. Молекулы сталкиваются, их траектории – ломаная линия. Распространение молекул примеси в газе от источника называется диффузи- ей Если какое-либо тело движется в газе, то оно сталкивается с молекулами газа и сообщает им импульс. С другой стороны, тело тоже будет испытывать соударения со стороны молекул, и получать соответствующий импульсно направленный в другую сторону. Газ ускоряется, тело тормозиться, те. на тело действует сила трения. Такая же сила трения будет действовать между двумя соседними слоями газа, движущимися с различными скоростями. Это явление носит название внутреннего трения или вязкости газа. Если в соседних слоях газа создана и поддерживается разность температур, то между ними будет происходить обмен тепла. Благодаря хаотическому движению, молекулы в соседних слоях будут перемешиваться и их средние энергии, будут выравниваться. Происходит перенос энергии более нагретых молекул к более холодным. Этот процесс носит название теплопроводно- сти В процессе диффузии происходит перенос вещества, при внутреннем трении – перенос импульса, при теплопроводности – перенос энергии (тепла. В основе лежит один и тот же механизм – хаотическое движение молекул. Общность механизма, обуславливающего все эти явления переноса, приводит к тому, что их закономерности должны быть похожи друг на друга. Число столкновений и длина свободного пробега молекул в газе Молекулы газа при своём движении сталкиваются друг с другом. Под столкновением молекул подразумевается процесс их взаимодействия, в результате которого изменяются направление движения и модуль скорости молекул. Взаимодействие между молекулами характеризуется их взаимной потенциальной энергией E P . На рисунке приведена кривая зависимости E P от расстояния между центрами молекул. Эту кривую можно также трактовать как график зависимости потенциальной энергии второй молекулы в силовом поле неподвижной молекулы, помещённой вначале координат. Из механики известно, что сила действует в направлении убывания потенциальной энергии. Следовательно, на участке от r 0 до бесконечности между молекулами действует сила притяжения, которая при r r 0 сменяется быстро возрастающей силой отталкивания. 2 Пусть вторая молекула начинает движение к первой из бесконечности, имея запас кинетической энергии E 1 (на бесконечности E P = 0, в скобках проставлена температура T , соответствующая начальной скорости молекулы. По мере приближения к первой молекуле кинетическая энергия второй молекулы возрастает (одновременно уменьшается потенциальная энергия E P , так как полная механическая энергия второй молекулы остаётся постоянной, достигает максимума при r = r 0 , после чего начинает быстро убывать. Когда потенциальная энергия молекулы становится равной начальной энергии E 1 , молекула останавливается. Затем молекула поделывает тот же путь в обратном направлении. Расстояние d , на которое сближаются при столкновении центры молекул, называется эффективным диаметром молекулы. На рисунке видно, что чем больше начальная кинетическая энергия молекулы (чем выше температура, тем меньше d . Следовательно, эффективный диаметр молекулы уменьшается с повышением температуры. 2 d (1) Эта величина называется эффективным сечением молекулы Силы притяжения на участке от r 0 до бесконечности малы, а силы отталкивания при r r 0 , напротив, очень велики. Это даёт основание рассматривать соударение молекул как столкновение невзаимодействующих на расстоянии твёрдых упругих шаров диаметра d . Такая модель процесса соударения молекул значительно упрощает рассмотрение ряда вопросов, а вносимые при этом погрешности оказываются не очень существенными. Воспользуемся d d r E 1 ( T 1 ) E 2 ( T 2 ) E K E 1 -E P r 0 0 d 2 d 1 E P 3 моделью шаров для нахождения средней длины свободного пробега молекул, те. среднего расстояния , проходимого молекулой между двумя последовательными соударениями с другими молекулами. Определим среднее число столкновений, которые претерпевает в единицу времени данная молекула с другими молекулами. Вначале будем считать, что движется только выделенная нами молекула, все остальные застыли неподвижно на своих местах. Ударившись об одну из неподвижных молекул, выделенная молекула будет лететь прямолинейно и равномерно до тех пор, пока не столк- нётся с другой неподвижной молекулой. Это произойдёт в том случае, если центр неподвижной молекулы окажется от прямой, вдоль которой летит молекула, на расстоянии, меньше эффективного диаметра молекулы d . В результате соударения молекула изменит направление своего движения, после чего она опять будет двигаться равномерно и прямолинейно, пока на её пути снова не встретится молекула, центр которой находится внутри коленчатого цилиндра радиуса В единицу времени молекула проходит ломаный путь, равный в среднем Число происходящих при этом столкновений с неподвижными молекулами равно количеству молекул, центры которых находятся внутри коленчатого цилиндра радиуса d и длины v . В дальнейшем выяснится, что средняя длина свободного пробега много больше, чем эффективный диаметр молекул. Поэтому при подсчёте объёма изломами цилиндра можно пренебречь и считать, что объём цилиндра равен Умножив объём на число n молекул в единице объёма, найдём число столкновений в единицу времени движущейся молекулы с неподвижными. 2 n d (2) На самом деле все молекулы движутся, вследствие чего число столкновений определяется не средней скоростью v движения молекул относительно стенок сосуда, а средней v отн скоростью движения молекул относительно друг друга. Относительная скорость двух произвольно взятых молекул будет равна. 1 2 отн d 4 Возведём это равенство в квадрат и избавимся от векторов. cos 2 2 1 2 1 2 2 2 отн Угол это угол между векторами v 1 и v 2 . Среднее значение суммы равно сумме средних значений слагаемых. Следовательно, можно записать. cos 2 2 1 2 1 2 2 2 отн (3) Усреднение производится по всем возможным парам молекул. Угол между скоростями с равной вероятностью принимает все значения от 0 до . Поэтому третье слагаемое в (3) при усреднении обращается в нуль. Среднее значение квадрата скорости у всех молекул одинаково, так что v 1 2 = v 2 2 = v 2 . С учётом этого можно написать, что , 2 2 2 отн откуда 2 кв ср кв ср отн Средние квадратичные скорости пропорциональны средним арифметическим. Отсюда следует. 2 отн Заменив в (2) v на v отн , получим выражение для среднего числа соударений в единицу времени. 2 2 n d (4) Наконец, разделив средний путь, проходимый молекулой за секунду, те. v , на число столкновений , получим среднюю длину свободного пробега молекул) Из (1) выразим через эффективное сечение молекулы. 2 1 n (6) Свободный пробег молекул тем меньше, чем больше концентрация молекул чем больше давление газа) и чем больше перекрываемая молекулой площадь те. чем больше ). При постоянной температуре плотность молекул пропорциональна давлению газа. Следовательно, длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению. 1 P (7) 5 Из-за уменьшения эффективного диаметра молекул длина свободного пробега при повышении температуры слабо растёт. Оценим значение и при атмосферном давлении и комнатной температуре 5 м kT P n Примем эффективный диаметр молекулы равным 0,2 нм. Подставим значения ив) и получим. 200 10 2 10 5 , 2 10 2 14 , 3 2 1 7 25 2 10 нм Т.е. >> d / d 10 При давлении 0,1 Па (10 -6 атм) составляет примерно 20 см, те. в сосуде меньших размеров молекулы движутся от стенки к стенке практически без столкновений. Оценим число столкновений в единицу времени для молекул азота. 1 10 5 , 2 10 2 470 Таким образом, при атмосферном давлении и комнатной температуре число столкновений каждой молекулы с другими молекулами составляет несколько миллиардов в секунду. Диффузия газов Пусть в газе присутствует посторонняя примесь с концентрацией n . Концентрация зависит от координаты x . Приращение концентрации может быть как больше, таки меньше нуля. Это градиент концентрации. Знак градиента показывает направление возрастания концентрации, те. направление вектора в пространстве. При наличии градиента хаотическое движение будет стремиться выровнять концентрации и возникает поток молекул примеси, направленный от мест с большей концентрацией к местам с меньшей концентрацией. Этот диффузионный поток будет тем больше, чем больше градиент концентрации. Вычислим диффузионный поток. 6 Пусть в плоскости с координатой x есть площадка dS , перпендикулярная коси. Подсчитаем число молекул, проходящих через эту площадку слева направо и справа налево за время Число частиц слева направо. 6 1 1 dSdt n dN 1/6 – потому что по одной координате идёт 1/3 всех молекула в выбранном направлении половина этого количества. n 1 – концентрация молекул слева от площадки dS . Для упрощения примем, что все молекулы, проходящие через площадку, испытали столкновение на одном и том же расстоянии, равном средней длине свободного пробега. Считаем, что на расстоянии концентрация не успевает измениться. Тогда поток справа налево будет равен. 6 В этих выражениях RT 8 средняя арифметическая скорость. Суммарный (результирующий) диффундирующий поток через площадку. Тогда поток молекул через единичную площадку в единицу времени. 2 3 1 | | 6 1 1 2 2 Обозначим. 3 1 ; 2 ; 2 ; 1 2 1 2 U D dx dn n n dx dn n n D – коэффициент диффузии. N – N + dx x x- x+ x dn n 2 n 1 n dS 7 Тогда окончательно запишем. Это уравнение называется уравнением Фика. Поток молекул примеси диффундирующих через единичную площадку в единицу времени пропорционален градиенту концентрации. Коэффициент диффузии D численно равен потоку молекул через единичную площадку в единицу времени при градиенте равно единице. 1 ; 1 dx dn точнее n grad При нормальных условиях в газах D 10 -5 10 -4 мс. Размерность n = м J = м -2 с -1 Вязкость газа Пусть в покоящемся газе вверх, перпендикулярно оси x , движется пластинка со скоростью v 0 << v . Пластинка увлекает прилегающий к ней слой газа, этот слой – соседний и т.д. Весь газ как бы делится на тончайшие слои, скользящие вверх тем медленнее, чем дальше они отстоят от пластинки. Раз слои движутся с разными скоростями, то между ними возникает трение. Разберёмся, какова природа сил трения в газе, так как силы притяжения молекул в газе малы. Каждая молекула в газе принимает участие в двух движениях тепловом и направленном. Т.к. направление теплового движения хаотически меняется, тов среднем вектор тепловой скорости v = 0. При направленном движении вся совокупность молекул в целом будет дрейфовать с постоянной скоростью v . Таким образом, средний импульс отдельной молекулы в слое определяется только дрейфовой скоростью v . Импульс равен Но так как молекулы участвуют в тепловом движении, то они будут переходить из слоя в слой. При этом они будут переносить с собой добавочный импульс. Этот добавочный импульс будет передаваться молекулам того слоя, куда перешла данная молекула. Перемешивание молекул разных слоёв приводит к выравниванию дрейфовых скоростей разных слов, что макроскопически проявляется как действие сил трения между слоями. Рассмотрим элементарную площадку dS , перпендикулярную оси x . Через эту площадку за время вправо и влево переходят следующие потоки молекул Так как давление и температура во всём газе одинаковы, то n и v одинаковы во всём объёме и dN + = dN – . Но эти потоки переносят разный импульс Тут v 1 – скорость дрейфа в плоскости x – , а v 2 – скорость дрейфа в плоскости. Разность импульсов будет равна импульсу силы. 6 1 2 1 2 Тормозить будут молекулы переходящие из слоя два в слой один со скоростью Сила трения, действующая на единицу площади границы соприкосновения соседних слоёв равна. dx N – N + x x+ x x- dS v 2 v 1 v 0 v 9 2 3 1 1 2 m n dS dF f тр тр Введём обозначения. 2 , 1 Тогда получим. 3 1 dx d m n f тр dx d это градиент скорости. Обозначим. 3 1 m n Это коэффициент трения или коэффициент вязкости. Окончательно имеем. ; grad f dx d f тр тр Это закон Ньютона для внутреннего трения. Сила внутреннего трения, возникающая при макроскопическом движении в газе, прямо пропорциональна градиенту скорости. Минус в выражении показывает на то, что сила трения направлена против движения стенки. Размерности. = Пас f = Па. Теплопроводность газов Рассмотрим газ, заключённый между двумя параллельными стенками с разными температурами T a и T b . Ось x перпендикулярна стенкам. Температура слоёв является функцией координаты x ( T = T(x) ). При наличии градиента температуры ( dT/dx 0 ) через газ в направлении оси x будет идти поток тепла. Молекулы газа, хаотически двигаясь, будут переходить из одного слоя в другой, и переносить с собой энергию. Хаотическое движение молекул приводит к перемешиванию молекул, имеющих различные кинетические энергии. Средняя кинетическая энергия молекул определяется температурой. 10 2 2 2 kT i m W кв K При подсчёте потока тепла введём следующие упрощения. 1) v = const в пределах двух длин свободного пробега ( 2 ); 2) Примем, что концентрация молекул в соседних слоях одинакова, хотя при разных температурах и одинаковом давлении она должна быть различной согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории P = nkT ). Эти упрощения дают ошибку расчёта порядка, что для нашего рас- чёта является допустимым. Через площадку dS за время dt слева направо проходят молекулы. 6 Средняя энергия этих молекул соответствует значению энергии в том месте, где они испытали последнее столкновение, те. на расстоянии (координата x – , что соответствует температуре T 1 ). Для одной молекулы газа энергия будет равна. 2 Соответственно, для потока молекул справа налево. 6 Каждая молекула переносит энергию. 2 Результирующий поток тепла (энергии) через площадку dS равен разности потоков dQ + и dQ – dQ dQ dQ dx dS x+ x- x x N – N + T b T 2 T 1 T T a 11 | | 2 6 1 2 1 T T k i dSdt n dQ Учтём. 2 Результирующий поток через единичную площадку в единицу времени в сторону противоположную градиенту температуры равен. 2 3 1 dx dT k i n dt dS dQ q dx dT q Это уравнение теплопроводности Фурье. Коэффициент теплопроводности будет равен. 2 3 1 2 3 1 2 3 1 Ri i mN kN nm mN mN k i n A A A A ; ; A A mN kN R nm Учтём, что при постоянном объёме удельная теплоёмкость будет равна. у И окончательно коэффициент теплопроводности равен. 3 1 Vу C Размерность коэффициента теплопроводности = (кгм)/(с3К). Зависимость коэффициентов переноса от давления Сопоставим полученные ранее выражения. dx dn D J Это уравнение Фика. 12 dx dU f тр Это уравнение Ньютона. dx dT q Это уравнение Фурье. Все эти законы были установлены опытно, задолго до их обоснования с помощью молекулярно-кинетической теории. Эта теория позволила установить, что внешнее сходство уравнений обусловлено общностью лежащего в их основе перемешивания молекул в процессе их теплового хаотического движения. Коэффициенты диффузии, вязкости и теплопроводности связаны между собой 1 Vу Vу C D C D nm D В этих выражениях m – масса одной молекулы n – концентрация молекул v – средняя арифметическая скорость молекул n m = – плотность газа. ; Vу C D D Все эти параметры можно измерить на опыте. Из анализа этих формул вытекает целый ряд важных теоретических и практических выводов. Рассмотрим зависимость коэффициентов переноса от давления. Средняя арифметическая скорость теплового движения молекул не зависит от давления. Коэффициент диффузии D пропорционален длине свободного пробега , следовательно, зависимость D от давления должна быть подобна зависимости. Т.к. n P ( P = nkT ), то 1/n . При обычных давлениях 13 D 1/P. Тес ростом давления уменьшается длина свободного пробега и диффузия затрудняется. При постоянной температуре ( T = const ) плотность газа P . Отсюда, при обычных давлениях коэффициент диффузии D 1/P и коэффициент вязкости = const . С увеличением давления газа (и его плотности) повышается число молекул переносящих импульс из слоя в слой, но зато уменьшается расстояние, на которое он переносится (уменьшается длина свободного пробега ). Поэтому вязкость газа не должна зависеть от давления. Этот вывод показался Максвеллу сомнительным. Но эксперимент подтвердил, что даже при изменении давления враз В вакууме D = const , P , P . Те. в вакууме расстояние, на которое переносится импульс ( ), остаётся неизменными равным расстоянию между стенками сосуда. В вакууме концентрация молекул очень мала и молекулы практически не сталкиваются друг с другом. В вакууме вязкость пропорциональна числу молекул и с уменьшением давления уменьшается пропорционально давлению. Так как C Vуд – величина постоянная, то теплопроводность газа будет вести себя также, как и вязкость. При обычных давлениях = const , в вакууме На рисунке изображены зависимости коэффициентов переноса от давления. Здесь же показана зависимость = Зависимость коэффициента теплопроводности от давления в вакууме используется для измерения малых давлений. Манометр Пирани (в нашей стране термометрические лампы ЛТ-2, ПМТ-2 и т.п.). В вакууме молекулы газа при ударе о более нагретую поверхность приобретают энергию, соответствующую температуре этой поверхности. Отразившись от не, молекулы, не сталкиваясь между собой, достигают более холодной поверхности. Количество, перенос энергии (тепла, пропорционален числу молекул. Поэтому в термосах и сосудах Дюара, предназначенных для хранения сжиженных газов, делают двойные стенки и между ними создают высокий вакуум. При этом теплопроводность газа уменьшается, атак как стенки сосуда тонкие, то и тепло (холод) сохраняется длительное время. Вакуум является отличным теплоизолятором. D Вакуум P |