Тиманюк, Животова. Биофизика. Учебник для студентов фармацевтических и медицинских вузов удк 577. 3(075. 8) Ббк 28. 901я73 т 41

• Название: Учебник для студентов фармацевтических и медицинских вузов удк 577. 3(075. 8) Ббк 28. 901я73 т 41
• Дата: 01.03.2020
• Размер: 4.28 Mb.
• Имя файла: Тиманюк, Животова. Биофизика.pdf
• Тип: Учебник; #110412
• страница: 37 из 42

? = ? = ?
1
Однородное линейное уравнение первого порядка
( )
0
y
P x y
? +
=
является уравнением с разделяющимися переменными, и его общее решение вычисляется по формуле
0
( )
exp
( ) d x
x y x
C
P x x
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
, где C — произвольная постоянная.
Краткие сведения по высшей математике

В этом случаев выражении для общего решения уравнения (141) помимо решения
1 2
e a
x
?
присутствует линейно независимое решение
1 2
e
,
a то есть общее решение имеет вид 2
1 2
e
;
a x
y
C
C x
?
=
+
(146)
3) дискриминант уравнения (143) отрицателен
2 1
2 4
0
a a
?
< . Тогда характеристическое уравнение имеет комплексные корни 1,2 2
a i
?
= ?
± ? где
2 1
2 4
a a
? =
?
. Применив формулу Эйлера (17), получаем линейно независимые решения уравнения (142):
1 1
2 2
1 2
e cos
;
e sin a
a x
x y
x y
x
?
?
=
?
=
? при этом общее решение имеет вид 2
1 2
e cos sin a
x y
C
x
C
x
?
=
? +
? После тригонометрических преобразований уравнение (148) может быть сведено к виду 2
3 4
e sin a
x y
C
C
x
?
=
+ ? где
3 4
1
sin
C
C
C
=
;
3 4
2
cos
C
C
C
=
, или 2
5 6
e cos a
x y
C
C
x
?
=
+ ? где
5 6
1
cos
C
C
C
=
;
5 Для решения задачи Коши нужно подставить выражение для общего решения в начальные условия и определить значения постоянных
1
C и
2
C которые являются решениями системы линейных алгебраических уравнений Общее решение линейного неоднородного уравнения )
1 2
y a y a y f Приложение 1

есть сумма какого-либо частного его решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.
Частное решение линейного неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольных постоянных, который заключается в сле- дующем.
Пусть общее решение соответствующего однородного уравнения 2
0
y a y a y
??
?
+
+
= есть )
( )
( )
1 1 2 2
y x
C y x
C y где y
1
(x) и y
2
(x) — его линейно независимые решения.
Заменяем произвольные постоянные C
1
и C
2
неизвестными функциями) и C
2
(x):
( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1
2 2
y x
C
x y x
C
x y Вычисляем первую и вторую производные
( )
y x
?
и
( )
y x
??
:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
1 1
2 2
1 1
2 2
y x
C
x y x
C
x y x
C
x y x
C
x y предположим, что ) ( )
( ) ( )
1 1
2 2
0
C
x y x
C
x y тогда )
( )
( )
( )
( )
1 1
2 2
y x
C
x y x
C
x y x
?
?
?
=
+
;
(156)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1
1 1
2 2
2 2
y x
C
x y x
C
x y x
C
x y x
C
x y x
??
?
?
??
?
?
??
=
+
+
+
. (Подставим уравнения (154), (156) ив формулу (152). После приведения подобных слагаемых получаем )
( )
( )
( )
( )
1 1
2 2
C
x y x
C
x y x
f Неизвестные функции
( )
1
C x
?
и
( )
2
C x
?
являются решениями системы линейных дифференциальных уравнений (155) и (158):
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 1
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
f x y x
C
x y
x y x
y x y x
f x y x
C
x y
x y x
y x y x
? ?
=
?
?
?
+
?
?
? Путем интегрирования находим
( )
1
C x и
( )
2
C x , подставляем в формулу) и получаем таким образом общее решение линейного неоднородного уравнения.
Краткие сведения по высшей математике

652 14. Ряды
Рядом называется выражение, имеющее вид бесконечного числа слагаемых+ +Иногда для упрощения расчетов бывает удобно разложить функцию в ряд.
Ряд Тейлора функция f(x), бесконечно дифференцируемая в окрестности точки а, может быть разложена в степенной ряд по степеням (x – a):
( )
2
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
1!
2 !
!
n n
f a f a f
a f x f a x
a x
a x
a n
?
??
=
+
?
+
?
+
+
?
+ . (Разложения в степенные ряды некоторых функций 3
e
1 1!
2 !
3 !
x x
x x
= +
+
+
+ ;
(162)
2 3
e
1 1!
2 !
3 !
x x
x x
?
= ?
+
?
+ ;
(163)
2 3
ln 10
ln 10
(
ln 10)
(
ln 10)
10
e
1 1!
2 !
3 !
x x
x x
x
?
? ?
?
?
?
=
= ?
+
?
+ ;
(164)
3 5
7
sin
1!
3 !
5 !
7 !
x x
x x
x
=
?
+
?
+ ;
(165)
2 4
6
cos
1 2 !
4 !
6 !
x x
x x
= ?
+
?
+ ;
(166)
3 5
7 9
1 2
17 62
tg
3 15 315 2835
x x
x x
x x
= +
+
+
+
+ Функция ctg x не разлагается по степеням х 3
4
ln (1
)
1 2
3 4
x x
x x
x
+
=
?
+
?
+ ;
(168)
2 3
4
ln (1
)
1 2
3 4
x x
x x
x
?
= ? ?
?
?
? ;
(169)
3 5
7 1
ln
2 1
3 5
7
x x
x x
x x
?
?
+ Приложение 1

653 2
3
(
1)
(
1)(
2)
(1
)
1 1 2 1 2 3
m m m m m m
x mx x
x
?
?
?
+
= +
+
+
+
?
? ?
;
(171)
3 5
7 1
1 3 1 3 5
arcsin
2 3
2 4 5
2 4 6 7
x x
x x
x
?
? ?
= + ?
+
?
+
?
+
?
? ?
;
(172)
3 5
7 1
1 3 1 3 5
arccos arcsin
2 2
2 3
2 4 5
2 4 6 7
x x
x x
x x
?
?
?
? ?
=
?
=
? ? ?
?
?
?
?
?
?
? ?
; (173)
3 5
7 9
arctg
3 5
7 9
x x
x x
x x
= ?
+
?
+
?
;
(174)
3 5
7 9
arcctg arctg
2 2
3 5
7 9
x x
x x
x x
x
?
?
=
?
=
? +
?
+
?
+
(175)
15. Скалярное и векторное произведения векторов
Скалярным произведением вектора a


на вектор b


называется скаляр,
равный произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними )
cos a
b Скалярное произведение обозначается a b
?




или
( )
,
a Свойства скалярного произведения. Скалярное произведение обращается в ноль, если один из сомножителей или оба являются ноль-векторами, или если векторы a


и перпендикулярны. Свойство переместительности a b b a
? = ?








(177)
3. Свойство распределительности
(
)
a b
c a c b c
+

? = ? + ?













(178)
4. Свойство сочетательности относительно скалярного множителя )
(
)
ma b
m a b
? =
?








(179)
5. Если векторы a


и коллинеарны (то есть лежат на одной прямой или на параллельных прямых, то a b a
b
? = знак «+», если a


и b


имеют одно и тоже направление знак «–» — если противоположное).
Краткие сведения по высшей математике

654 6.
2
a a a
? =

Векторным произведением вектора (множимое) на неколлинеарный с ним вектор b


(множитель)
называется третий вектор, модуль которого численно равен площади параллелограмма (рис. 9), построенного на векторах a


и b


, то есть он равен


( )
sin
,
c a
b ab
=
?
?










а направление перпендикулярно плоскости упомянутого параллелограмма,
причем поворот вектора a


, совмещающий его по кратчайшему пути с вектором b


, совершается против часовой стрелки для наблюдателя, глаз которого помещается в точке С.
Таким образом векторы a


, и c


образуют правую тройку векторов. Векторное произведение обозначается a Чили Свойства векторного произведения. Векторное произведение обращается в ноль лишь тогда, когда векторы и b


коллинеарны или если один из них или оба — ноль-векторы.
В частности Ч =



(182)
2. При перестановке слагаемых векторное произведение меняет знак на противоположный a

b Ч = ?
Ч
?
?








(183)
Таким образом, векторное произведение не обладает свойством пере- местительности.
3. Свойство распределительности
( )
a b
c a
c Ч = Ч + Ч



(184)
4. Свойство сочетательности относительно скалярного множителя )
(
)
ma b
m a Ч =
Ч








(185)
Рис. 9. К определению векторного произведения Приложение 1

Приложение ГРЕЧЕСКИЙ АЛФАВИТ
Буквы
Название
Буквы
Название
Буквы
Название
??
альфа
??
йота
??
ро
??
бета
??
каппа
??, ?
сигма
??
гамма
??
ламбда
??
тау
??
дельта
?µ
мю (ми)
??
ипсилон
??
эпсилон
??
ню (ни)
??
фи
??
дзета
??
кси
??
хи
??
эта
??
омикрон
??
пси
??
тета
??
пи
??
омега
Приложение ЛАТИНСКИЙ АЛФАВИТ
Буквы
Название
Буквы
Название
Буквы
Название
Aa а йот
Ss эс
Bb бэ
Kk ка тэ
Cc цэ
Ll эль удэ эм
Vv вэ
Ee э эн
Ww дубль-вэ
Ff эф
Oo
О
Xx икс гэ
Pp пэ
Yy игрек аш
Qq ку зэт
Ii и эр
Латинский алфавит. Греческий алфавит

Приложение ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ И РАЗМЕРНОСТИ
ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН. Основные единицы СИ
Единица
Величина
Обозначение
Наименование русское между- символ народное
Длина метр м
m
L
Масса килограмм кг Время секунда с
s
T
Сила электрического тока ампер
А
A
I
Термодинамическая температура кельвин
К
K
?
Сила света кандела кд Количество вещества моль моль mol
N
2. Дополнительные единицы СИ
Единица
Величина
Наименование
Обозначение русское международное
Плоский угол радиан рад Телесный угол стерадиан ср sr
3. Внесистемные единицы, их связь с единицами системы СИ
Единица измерения
Наименование величины
Наименование
Обозначение
Соотношение рус.
межд.
с единицей СИ
Длина микрон мк
µ
1 мкм ангстрем
Е
E
1 Ем световой год св. год l. y.
1 св. год = 9,46•10 15
м парсек пк pc
1 пк = 3,09•10 16
м астрономическая единица а. е a. e. = 1,50•10 11
м
Приложение 4

Масса тонна т т = 10 3
кг центнер ц ц = 100 кг атомная единица массы а. ем а. ем кг
Время минута мин min
1 мин = 60 с час ч ч = 3600 с сутки сут d
1 сут = 86400 с
Плоский угол градус =
180
?
= 1,75•10
–2
рад минута' =
108
?
•10
–2
= 2,91•10
–4
рад секунда" =
648
?
•10
–3
= 4,85•10
–6
рад
Площадь ара а = 10 2
м
2
гектар гагам Объем литр л (l)
1 л = 10
–3
м Угол поворота оборот об rev
1 об = 2
? рад
Частота вращения
(угловая скорость)
оборот в секунду об/с rev/s
1 об/с = 1 с
–1
оборот в минуту об/мин rev/min 1 об/мин = 0,0167 с
–1
Сила (вес)
килограмм-сила кгс kgf
1 кгс = 9,81 Н
тонна-сила тс
Tf, tf
1 тс = 9,81•10 3
Работа ватт•час
Вт•ч
W•h
1 Вт•ч = 3,6•10 3
Дж
Энергия электрон-вольт эВ эВ = 1,60•10
–19
Дж
Теплота калория кал cal
1 кал = 4,19 Дж
Мощность лошадиная сила л. с. p.
1 л. с. = 735,5 Вт
Давление бар бар bar
1 бар = 10 5
Па миллиметр мм ртутного рт. mm
1 мм рт. ст. = 133,3224 Па столба ст торр
Торр
Torr
1 Торр = 1/760 атм =
= 133,3224 Па миллиметр мм mm водяного вод мм вод.ст. = 9,81 Па столба ст.
H
2
O
стандартная атмосфера атм atm
1 атм = 1,01325•10 5
Па
Единица измерения
Наименование величины
Наименование
Обозначение
Соотношение рус.
межд.
с единицей СИ
Единицы измерения и размерности физических величин

килограмм- силана квадратный сантиметр кгс/см
2
kgf/m
2 1 кгс/см
2
= 9,81•10 4
Па техническая атмосфера
(ат)
at
1 ат = 9,81•10 4
Па
Температура градус Цельсия
°C = 1 К
Логарифмическая величина бел
Б
B
—
децибел дБ
dB
—
Напряжение килограмм-
(механическое)
сила кгс/мм
2
kgf/mm
2 1 кгс/мм
2
= 9,81•10 6
Пана квадратный миллиметр
Напряженность магнитного поля эрстед
Э
Oe
1 Э = 79,5775 А/м
Доза излучения рад рад rad
1 рад = 0,01 Дж/кг
Мощность дозы рад излучения в секунду рад/с
1 рад/с = 0,01 Вт/кг
Экспозиционная доза рентген
Р
R
1 Р = 2,58•10
–4
Кл/кг
Активность изотопа кюри
Ки
Ci
1 Ки = 3,700•10 10
Относительная процент = величина миллионная доля млн 1 млн Единица измерения
Наименование величины
Наименование
Обозначение
Соотношение рус.
межд.
с единицей СИ
Величина
Единица
Наимено- вание
Обозначение рус.
межд.
Выражение производной единицы через другие единицы
СИ
через основные и дополнительные единицы
СИ
4. Производные единицы СИ,
имеющие собственные наименования
Частота герц
Гц
Hz
— с
–1
Уровни интенсивности бел,
звука, звукового децибел
Б, дБ
В, dB
1 1
давления
Сила, вес ньютон
Н
N
м•кг•с
–2
м•кг•с
–2
Приложение 4

659
Давление,
механическое напряжение,
модуль упругости паскаль
Па
Pa
Н/м
2
м
–1
•кг•с
–2
Энергия, работа,
количество теплоты джоуль
Дж
J
Н•м м
2
•кг•с
–2
Мощность,
поток энергии ватт
Вт
W
Дж/с м
2
•кг•с
–3
Электрический заряд кулон
Кл
C
А•с
А•c
Электрическое напряжение,
электрический потенциал,
электродвижущая сила вольт
В
V
Вт/А
м
2
•кг•с
–3
•А
–1
Электрическая емкость фарада
Ф
F
Кл/В
м
–2
•кг
–1
•с
4
•А
2
Электрическое сопротивление ом
Ом
?
В/А
м
2
•кг•с
–3
•А
–2
Электрическая проводимость сименс
См
S
Ом
-1
м
–2
•кг
–1
•с
3
•А
2
Магнитный поток,
поток магнитной индукции вебер
Вб
Wb
В•с м
2
•кг•с
–2
•А
–1
Магнитная индукция,
плотность магнитного потока тесла
Тл
T
Вб/м
2
кг•с
–2
•А
–1
Индуктивность генри
Гн
H
Вб/А
м
2
•кг•с
–2
•А
–2
Оптическая сила диоптрия дптр
D
м
–1
м
–1
Световой поток люмен лм lm кд•ср кд•ср
Освещенность люкс лк lx лм/м
2
кд•ср•м
–2
• Активность радиоактивного источника беккерель
Бк
Bq с
–1
с
–1
Поглощенная доза грэй
Гр
Gy
Дж/кг м
2
•с
–2
Эквивалентная доза зиверт
Зв
Sv
Дж/кг м
2
•с
–2
Величина
Единица
Наимено- вание
Обозначение рус.
межд.
Выражение производной единицы через другие единицы
СИ
через основные и дополнительные единицы
СИ
Единицы измерения и размерности физических величин

660 5. Единицы измерения и размерности основных величин в системе СИ. Единицы пространства и времени
Обозначение единицы Величина
Символ
Размерность в СИ
рус.
межд.
Длина м m
м
Время с s
с
Площадь
S, A
м
2
m
2
м
2
Объем
V
м
3
m
3
м
3
Скорость мс m/s м/с
Ускорение a
м/с
2
m/s
2
м/с
2
Угловая скорость
?
рад/с rad/s с
–1
Угловое ускорение
?
рад/с
2
rad/s
2
с
–2 5.2. Единицы периодических величин и связанных сними характеристик
Обозначение единицы Величина
Символ
Размерность в СИ
рус.
межд.
Частота
?, n, Гц с
–1
Круговая частота
?
рад/с rad/s рад/с
Период
T
с c
с
Длина волны
?
м m
м
Волновое число
?
м
–1
m
–1
м
–1
Круговое волновое число k
Рад/м rad/m
Рад/м
Фазовая скорость,
скорость звука c, v мс m/s м/с
Коэффициент затухания
?
с
–1
с
–1
с
–1
Логарифмический декремент затухания Звуковое давление p
Па,
Pa,
Н/м
2
N/m
2
кг/(м•с
2
)
Приложение 4

Интенсивность звука
I
Вт/м
2
W/m
2
кг/с
3
Уровень интенсивности
L
Б
, L
дБ
Б, дБ
В, dB
1
звука
Уровень звукового давления
L
Б
, L
дБ
Б, дБ
В, dB
1
Громкость
E
фон phon
1 5.3. Механические единицы
Обозначение единицы Величина
Символ
Размерность в СИ
рус.
межд.
Масса кг kg кг
Момент инерции, J
кг•м
2
kg•m
2
м
2
•кг
Плотность
?
кг/м
3
kg/m
3
кг/м
3
Удельный вес
?
Н/м
3
N/m
3
кг/(м
2
•с
2
)
Удельный объем
?
м
3
/кг m
3
/kg м
3
/кг
Импульс
P
кг•м/с kg•m/s м•кг/с
Сила
F
Н
N
м•кг/с
2
Импульс силы
I
Н•с
N•s м•кг/с
Момент импульса
L
кг•м
2
/с kg•m
2
/s м
2
•кг/с
Момент силы, момент пары сил, вращающий момент
M
Н•м
N•m м
2
•кг/с
2
Импульс момента силы
H
Н•м•с
N•m•s м
2
•кг/с
Давление Па, Нм, N/m
2
кг/(м•с
2
)
Нормальное напряжение
?
Па, Нм, N/m
2
кг/(м•с
2
)
Касательное напряжение
?
Па, Нм, N/m
2
кг/(м•с
2
)
Модуль линейного растяжения
(модуль Юнга)
E
Па, Нм, N/m
2
кг/(м•с
2
)
Модуль сдвига
G
Па, Нм, N/m
2
кг/(м•с
2
)
Модуль всестороннего сжатия
K
Па, Нм, N/m
2
кг/(м•с
2
)
Энергия
E
Дж
J
м
2
•кг/с
2
Обозначение единицы Величина
Символ
Размерность в СИ
рус.
межд.
Единицы измерения и размерности физических величин

Работа, W
Дж
J
м
2
•кг/с
2
Кинетическая энергия
Е
кин
, Т
Дж
J
м
2
•кг/с
2
Потенциальная энергия
Е
пот
, U
Дж
J
м
2
•кг/с
2
Объемная плотность энергии w
Дж/м
3
J/m
3
кг/(м•с
2
)
Мощность
P, N
Вт
W
м
2
•кг/с
3
Коэффициент полезного действия
(КПД)
?
1 Коэффициент динамической вязкости
(коэффициент внутреннего трения)
?
Па•с
Pa•s кг/(м•с)
Коэффициент кинематической вязкости
?
м
2
/с m
2
/s м
2
/с
Коэффициент поверхностного натяжения
?
Н/м; Дж/м
2
N/m; J/m
2
кг/с
2
Обозначение единицы Величина
Символ
Размерность в СИ
рус.
межд.
5.4. Единицы молекулярной физики
Обозначение единицы Величина
Символ
Размерность в СИ
рус.
межд.
Атомный номер Относительная атомная масса Относительная молекулярная масса Молярная масса
M
кг/моль kg/mol кг/моль
Молярный объем ммоль m
3
/mol м
3
/моль
Объемная концентрация молекул или частиц n
м
–3
m
–3
м
–3
Массовая концентрация вещества
?
Кг/м
3
kg/m
3
кг/м
3
Приложение 4

Молярная концентрация вещества c
моль/м
3
mol/m
3
моль/м
3
Моляльность b, m моль/кг mol/kg моль/кг
Плотность
?
Кг/м
3
kg/m
3
кг/м
3
Наиболее вероятная скорость v
вер мс m/s м/с
Средняя арифметическая скорость мс m/s м/с
Средняя квадратичная скорость v
ср. кв мс m/s м/с
Средняя длина свободного пробегам m
м
Коэффициент диффузии
D
м
2
/с m
2
/s м
2
/с
Коэффициент внутреннего трения
(коэффициент вязкости)
?
Па•с
Pa•s кг/(м•с)
Обозначение единицы Величина
Символ
Размерность в СИ
рус.
межд.
5.5. Тепловые единицы
Обозначение единицы Величина
Символ
Размерность в СИ
рус.
межд.
Температура
T
К
K
К
Температура по Цельсию t,
?
°С
°С
°С
Градиент температуры dT/dx
К/м
K/m
К/м
Температурный коэффициент линейного расширения
?
l
К
–1
К
–1
К
–1
Температурный коэффициент объемного расширения,
?
К
–1
К
–1
К
–1
Теплота, количество теплоты
Q
Дж
J
м
2
•кг/с
2
Единицы измерения и размерности физических величин

Удельная теплота испарения r
Дж/кг
J/kg м
2
/с
2
Удельная теплота плавления
?
Дж/кг
J/kg м
2
/с
2
Тепловой поток
?
Вт
W
м
2
•кг/с
3
Поверхностная плотность теплового потока q,
?
Вт/м
2
W/m
2
кг/с
3
Коэффициент теплопроводности
?
Вт/м•К
W/m•K
м•кг/(с
3
•К)
Коэффициенты теплоотдачи и теплопередачи
K
Вт/м
2
•К
W/m
2
•K
кг/(с
3
•К)
Коэффициент температуропроводности мс m
2
/s м
2
/с
Термическое сопротивление
R
К/Вт
K/W
К с
3
/(м
2
•кг)
Теплоемкость
С
Дж/К
J/K
м
2
•кг/(с
2
•К)
Удельная (массовая)
теплоемкость c
Дж/(кг•К)
J/(kg•K)
м
2
/(с
2
•К)
Молярная теплоемкость
С
??
???? ?
?
J/(mol•K)
2 2
?
??
?
? Удельная теплоемкость при постоянном объеме
C
V
Дж/(кг•К)
J/(kg•K)
м
2
/(с
2
•К)
Удельная теплоемкость при постоянном давлении
C
p
Дж/(кг•К)
J/(kg•K)
м
2
/(с
2
•К)