Тиманюк, Животова. Биофизика. Учебник для студентов фармацевтических и медицинских вузов удк 577. 3(075. 8) Ббк 28. 901я73 т 41

• Название: Учебник для студентов фармацевтических и медицинских вузов удк 577. 3(075. 8) Ббк 28. 901я73 т 41
• Дата: 01.03.2020
• Размер: 4.28 Mb.
• Имя файла: Тиманюк, Животова. Биофизика.pdf
• Тип: Учебник; #110412
• страница: 36 из 42

) или бесконечно велики (неопределенность вида ?
?
), равен пределу отношения производных этих функций )
( )
lim lim
( )
( )
f x f x g x g Если обе функции f'(x) итак же бесконечно малы или бесконечно велики, то возможно повторное применение правила Лопиталя.
3. Производные
Производной функции y = f(x) называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю 0
(
)
( )
lim lim x
x f x x
f x y
y x
x
?
?
+ ? ?
?
? Производные основных функций приведены в табл. Основные правила нахождения производных. Производная постоянной величины равна нулю )
0
a ? = , где a = const.
(39)
2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной )]
( )
a f x a f x
?
?
=
, где a = const.
(40)
3. Производная алгебраической суммы двух или нескольких функций равна алгебраической сумме их производных 2
3 1
2 3
[ ( )
( )
( )]
( )
( )
( )
f x f x f x f x f x f x
?
?
?
?
+
?
=
+
?
(41)
* Название правило Лопиталя» исторически неточно, так как сформулировал правило И. Бернулли и ознакомил с ним французского математика Г. Ф. Ло- питаля, автора первого печатного руководства по дифференциальному исчислению, где оно было опубликовано (Краткие сведения по высшей математике

634 4. Производная произведения 2
1 2
1 2
[ ( )
( )]
( )
( )
( )
( )
f x f x f x f x f x f x
?
?
?
?
=
?
+
?
(42)
5. Производная частного 1
2 1
2 2
2 2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
f x f x f x f x f x f x f
x
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
(43)
6. Производная сложной функции ( )]
[ ( )]
( )
f t
f t
t
?
?
?
?
=
?
? Физический смысл производной производная функции y = f(x) в точке а выражает скорость изменения функции в точке a, то есть скорость протекания процесса, описываемого зависимостью y = f(x). Так, если перемещение точки описывается уравнением S = f(t), то S'(t) является мгновенной скоростью точки в момент времени t, то есть v = f'(t). В химической кинетике скорость реакции, описываемой уравнением c = f(t), где с — концентрация реагента, равна v = Таблица Производные основных функций у у = const
0
ln x
1
x x
1
sin x
cos x ax + b a
cos x sin x
?
x n
nx n-1
tg x
2 1
cos x
1
x
2 1
x
?
ctg x
2 1
sin x
?
x
1 2 x arcsin x
2 1
1
x
?
a x
, (a > 0, a
? 1)
a x ln a arccos x
2 1
1
x
?
?
e x
e x
arctg x
2 1
1
x
+
log a
x, (a > 0, a
? 1)
1
ln x
a arcctg x
2 Приложение 1

Пусть функция y = f(x) имеет производную y = f'(x) на некотором промежутке. Если новая функция f'(x) имеет производную на этом же промежутке, то она обозначается y = f"(x) и называется второй производной.
Физический смысл второй производной вторая производная функции y = f(x) в точке а выражает скорость изменения скорости функции в точке а, то есть ускорение процесса, описываемого зависимостью y = f(x). Например, механическое ускорение является второй производной переме- щения.
Для определения геометрического смысла производной введем следующие понятия.
Касательной к кривой L в точке M называется прямая q, с которой стремится совпасть секущая MM', когда точка M', оставаясь на кривой произвольно (справа или слева) стремится к M (рис. Угловым коэффициентом k прямой называется величина, равная тангенсу угла
?, образованного данной прямой и положительным направлением оси абсцисс. Из рис. 3 видно, что угловой коэффициент к секущей' равен k
MQ
x
?
?
=
? Однако при стремлении M' к M угловой коэффициент имеет предел x
y k
x
? Согласно формуле (38)
( )
k f Таким образом, геометрический смысл производной заключается в следующем значение производной функции y = f(x) в точке x = a равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке )
k f Рис. 2. К определению касательной к кривой
Рис. 3. К определению геометрического смысла производной
Краткие сведения по высшей математике

Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x = a, тов этой точке к графику можно провести касательную. Верно и обратное если в точке x = a к графику функции y = f(x) можно провести невертикальную касательную, то функция дифференцируема в точке Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке x = a имеет вид )
( )(
)
y f a f a x a
?
=
+
?
(49)
4. Исследование функций
Функция y = f(x) называется возрастающей на промежутке [a, если для любых двух значений x
1
и x
2
, принадлежащих этому промежутку и подчиняющихся условию x
1
< x
2
, выполняется неравенство f(x
1
) < Функция y = f(x) называется убывающей на промежутке [a, если для любых двух значений x
1
и x
2
, принадлежащих этому промежутку и подчиняющихся условию x
1
< x
2
, выполняется неравенство f(x
1
) > Достаточный признак возрастания (убывания) функции если производная функция f '(x) в промежутке [a, b] всюду положительна, то функция) в этом промежутке возрастает если f'(x) всюду отрицательна, то f(x) убывает.
Максимумом (минимумом) функции y = f(x) называется такое ее значение, которое меньше (больше) остальных значений функции в окрестности данной точки. Максимум и минимум функции называются экстрему- мами.
Необходимое условие экстремума если функция y = f (x) имеет экстремум в точке x = a, тов этой точке производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует. Точки, в которых производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует, называются критическим и.
Достаточное условие экстремума если при переходе аргумента через точку x = a производная f '(x) меняет знак на противоположный, то точка x = a является экстремумом, причем, если знак меняется с плюса нами- нус, то a является максимумом если с минуса на плюс — то минимумом.
Для нахождения максимумов и минимумов функции y = f (x) необходимо) найти производную f'(x);
2) решить уравнение f'(x) = 0;
3) найти точки, в которых f'(x) не существует) для каждой критического значения x = a исследовать, меняется ли знак производной f'(x) при переходе аргумента через это значение. Если производная f'(x) переходит от положительных значений к отрицательным (от x < a кто имеем максимум если наоборот, то — минимум;
если f'(x) не изменяет знак, тов этой точке нет ни максимума, ни минимума) вычислить f (а).
Чтобы определить, является ли экстремум функции максимумом или минимумом, можно также воспользоваться следующей теоремой пусть
Приложение 1

в точке x = a первая производная f'(x) обращается в нуль если при этом вторая производная f"(a) отрицательна, то функция y = f(x) имеет в точке x = a максимум, если вторая производная положительна, то — минимум.
График функции y = f(x) называется вогнутым вверх (выпуклым вниз)
на данном промежутке [a, b]; если график целиком расположен выше касательной в его произвольной точке M (рис. 4, а).
Рис. 4. К определению вогнутости (выпуклости) графиков:
а — вогнутый вверх (выпуклый вниз б — выпуклый вверх (вогнутый вниз)
График функции y = f(x) называется выпуклым вверх (вогнутым вниз)
на данном промежутке [a, b]; если он целиком расположен ниже касательной в его произвольной точке рис. 4, б).
Условие выпуклости (вогнутости):
если вторая производная функции y = f(x) на данном промежутке положительна, то график функции является выпуклым вниз на этом промежутке если отрицательна) < 0], то — вогнутым.
Если график функции y = f(x) лежит по обе стороны от касательной к точке M, то эта точка называется точкой перегиба (рис. В точке перегиба выпуклость сменяется на вогнутость и наоборот. Перегиб возможен только в тех точках, где вторая производная f"(x) либо равна нулю, либо бесконечна, либо несу- ществует.
Условие точки перегиба если в точке x = a вторая производная функции) обращается в нуль и меняет знак при переходе через x = a, то точка M(a, f(a)) является точкой перегиба графика этой функции.
Рис. 5. Точка перегиба
Краткие сведения по высшей математике

Для нахождения точек перегиба необходимо определить все значения аргумента, для которых вторая производная f"(x) равна нулю, бесконечна или не существует. Если при переходе через одно из этих значений вторая производная меняет знак, тов данной точке имеется перегиб если не меняет, то перегиба нет. Дифференциалы
Дифференциал функции равен произведению производной функции на приращение аргумента y
x
?
=
? или d ( )
( )
f x f x читается «дэ игрек или «дэ эф от икс»).
Дифференциал аргумента равен приращению аргумента x
= ? С учетом формул (49) и (50) можно записать d
y или d
d y
y x
? Таким образом, производная равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента.
Термин дифференцирование означает как вычисление производной, таки нахождение дифференциала.
Правила дифференцирования. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала )]
d ( )
a f x a f x
=
, где a = const.
(54)
2. Дифференциал алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их дифференциалов 2
3 1
2 3
d[ ( )
( )
( )]
d ( )
d ( )
d ( )
f x f x f x f x f x f x
+
?
=
+
?
(55)
3. Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента ( )
( ) d f x f x x
?
=
(56)
4. Дифференциал произведения d(
)
d d
uv u v v u
=
+
(57)
5. Дифференциал частного d
d u
v u u v v
v
?
? ? =
? ?
? Приложение 1

Производная второго порядка равна отношению дифференциала второго порядка к квадрату дифференциала аргумента 2
d d
y y
x
?? аналогично 3
d d
y y
x
??? =
;
4
(4)
4
d d
y y
x
=
и т. д.
(60)
Для нахождения дифференциалов основных функций пользуются таблицей производных.
Если приращение аргумента мало, то дифференциал функции приближенно равен приращению функции dy y
? ? .
(61)
6. Дифференциалы в приближенных вычислениях
При изменении аргумента на небольшую величину dx можно приближенно вычислить приращение функции
?y последующей формуле y
y x
?
? В некоторых случаях функцию f(x) и ее производную f'(x) легко вычислить при x = a, а для значений х, близких ка, непосредственное вычисление функции затруднительно. Тогда пользуются приближенной формулой На основании вышеизложенного можно вывести следующие приближенные формулы, в которых ? — малая величина (
1
?  ):
(1
)
1
n n
+ ? ? + ? ;
(64)
(1
)
1
n n
? ? ? ? ? ;
(65)
1 1
1
n n
+ ? ? + ? ;
(66)
1 1
1
n n
? ? ? ? ? ;
(67)
1 1
1
? ? ?
+ ?
;
(68)
1 1
1
? + ?
? ?
;
(69)
2 1
1 2
(1
)
? ? ?
+ ?
;
(70)
2 1
1 2
(1
)
? + ?
? ?
;
(71)
1 1
1 2
+ ? ? + ? ;
(72)
1 1
1 2
? ? ? ? ? Краткие сведения по высшей математике

640 3
1 1
1 3
+ ? ? + ? ;
(74)
3 1
1 1
3
? ? ? ? ? ;
(75)
1 1
1 2
1
? ? ?
+ ?
;
(76)
1 1
1 2
1
? + ?
? ?
;
(77)
ln (1
)
+ ? ? ? ;
(78)
ln (1
)
? ? ? ?? ;
(79)
e
1
?
? + ? ;
(80)
10 1
ln 10
?

? + ? ?
;
(81)
sin
? ? ? ;
(82)
tg
? ? ? ;
(83)
2 1
cos
1 2
? ? ? ? Формулы (67) — (75) являются частным случаем формулы (65).
7. Частные производные и дифференциалы.
Полный дифференциал
Пусть u является функцией независимых переменных u = f(x, y, Если один из аргументов, например х, изменяется на малую величину ха остальные аргументы остаются неизменными, то частной производной u по х (обозначается u
x
?
?
или x
u? ) является следующий предел, , )
( , , )
lim x
x u
f x x y z f x y z u
x x
? ?
?
+ аналогично определяются частные производные пои, ,
)
( , , )
lim z
z u
f x y z z
f x y z u
z z
? ?
?
+ ? Таким образом, при нахождении частной производной функция дифференцируется по одной переменной, в то время как остальные считаются постоянными.
Выражение u
x
?
?
следует рассматривать как неразрывный символ частной производной, а не как отношение дифференциалов.
Частный дифференциал функции равен произведению соответствующей частной производной на приращение аргумента d
d x
u u
x аналогично d
d y
u u
y Приложение 1

641
d d
z u
u Сумма частных дифференциалов функции называется полным дифференциалом Если дифференциалы аргументов малы, то полный дифференциал функции приближенно равен приращению функции u
? ? Понятие полного дифференциала может быть распространено на функцию любого числа независимых переменных. Если u является функцией одного аргумента, то единственная частная производная обращается в обыкновенную, а полный дифференциал — в обыкновенный. Градиент функции
Градиентом функции называется вектор, показывающий направление наибольшего возрастания скалярной функции
?, значение которой изменяется от одной точки пространства к другой. Обозначается символом. Если ? = u(x, y, z), то grad u
u u
i j
k x
y z
?
?
?
? где i


, j


, k


— единичные векторы, направленные соответственно по осям координат 0x, 0y, Часто в целях упрощения градиентом называют производную от скалярной функции по любому направлению, например в направлении х dx
?
Строго говоря, эта производная равна проекции градиента на направление х x
x
? =
?.
(94)
9. Неопределенный интеграл
Если функция f(x) является производной функции F(x) или f(x) dx является дифференциалом функции F(x):
( ) d d ( )
f x x
F то функция F(x) называется первообразной функции Краткие сведения по высшей математике

Любая непрерывная функция f(x) имеет бесчисленное множество первообразных, отличающихся друг от друга постоянным слагаемым С. Совокупность всех первообразных данной функции f(x) или данного выражения называется неопределенным интегралом ) d
( )
f x x
F Выражение f(x) dx называется подынтегральным выражением функция подынтегральной функцией переменная х — переменной интегрирования произвольная постоянная С — константой интегрирования.
Свойства неопределенного интеграла. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению ) d
( ) d f x x
f x или производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции ) d
( )
d f x x
f x x
=
?
(97)
2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен сумме этой функции и константы интегрирования ( )
( )
f x f x
C
=
+
?
(98)
3. Постоянный множитель а можно выносить за знак интеграла ) d
( ) d a f x x
a f x x
=
?
?
(99)
4. Интеграл алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов x f x x f x x
+
?
=
+
?
?
?
?
?
. (Основные неопределенные интегралы (a, n, c = const)
d a x ax
C
=
+
?
;
(101)
1
d
1
n n
x x
x
C
n
+
=
+
+
?
,
(
)
1
n ? ? ;
(102)
d ln x
x
C
x
=
+
?
;
(103)
e d e
x Приложение 1

643
d ln x
x a
a x
C
a
=
+
?
,
(
)
0;
1
a a
>
?
;
(105)
sin d
cos x x x
C
= ?
+
?
;
(106)
cos d
sin x x x
C
=
+
?
;
(107)
2
tg cos dx x
C
x
=
+
?
;
(108)
2
d ctg sin x
x
C
x
= ?
+
?
;
(109)
2 2
d arcsin x
x
C
a a
x
=
+
?
?
;
(110)
2 2
d
1
arctg x
x
C
a a
a x
=
+
+
?
;
(111)
2 2
2 2
d ln x
x x
a
C
x a
=
+
+
+
+
?
;
(112)
2 2
2 2
d ln x
x x
a
C
x a
=
+
?
+
?
?
;
(113)
2 2
d
1
ln
2
x x
a
C
a x
a a
x
+
=
+
?
?
?
;
(114)
d ln tg cos
2 4
x x
C
x
?
?
?
=
+
+
?
?
?
?
?
;
(115)
d ln tg sin
2
x Основные методы интегрирования. Метод подстановки ) d
[ ( )]
( ) d f t t
f x
x x
?
=
?
?
?
?
, где
( )
t x
= ?
(117)
2. Интегрирование по частям dv uv v du
=
?
?
?
(118)
10. Определенный интеграл
Пусть дана функция y = f(x). Выберем на оси х точки a и b и восстановим из них перпендикуляры до пересечения с функцией (рис. 6). Для вычисления площади полученной криволинейной трапеции разобьем от-
Краткие сведения по высшей математике

резок [a, b] на малые промежутки и выделим внутри каждого го отрезка промежуточную точку k i
. Тогда площадь го прямоугольника будет равна ( )
i i
f k x
? , а сумма площадей площади криволинейной трапеции.
Предел, к которому стремится сумма )
n i
i i
f k x
=
?
?
, когда наибольшая из длин всех частичных промежутков стремится к нулю, называется определенным интегралом и обозначается ) d b
a f x читается интеграл от a до бэ эф от икс дэ икс. Концы a и b данного промежутка (промежутка интегрирования) называются пределами интеграла нижними верхним (Для нахождения определенного интеграла пользуются формулой Ньютона Лейбница ) d
( )
( )
b a
f x x
F b
F где F(x) — первообразная функции f(x), то есть F' (x) = Свойства определенного интеграла. При одинаковых пределах интегрирования определенный интеграл равен нулю ) d
0
a a
f x x
=
?
(121)
2. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл сохраняет абсолютное значение, но меняет знак на противоположный. Если дан ряд чисел a, b, c, … , k, l, расположенных в каком угодно порядке, то ) d
( ) d
( ) d
( ) d l
b c
l a
a b
k f x x
f x x
f x x
f x Рис. 6. К вычислению определенного интеграла
Приложение 1

Практически важен случай, когда числа a, b, c, … , k, l взяты в порядке возрастания или убывания. Интеграл алгебраической суммы неизменного числа слагаемых равен алгебраической сумме интегралов отдельных слагаемых 1
2 3
2 3
[ ( ) d
( ) d
( )] d
( ) d
( ) d
( ) d b
b b
b a
a a
a f x x
f x x
f x x
f x x
f x x
f x x
+
?
=
+
?
?
?
?
?
. (124)
5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла ) d
( ) d b
b a
a
A f x x
A
f x x
=
?
?
, где const
A
=
(125)
11. Криволинейный интеграл
Пусть в поле некоторого вектора (например, силы F


, напряженности электрического или магнитного H


полей)
задана кривая L (рис. 7). Разобьем ее на малые дуги i
l
? , каждой из которых соответствует определенное значение вектора i
a


. Составим произведение дуги i
l
? и проекции вектора i
a


на дугу
?l:
cos i
i i
a l
? ? ? где i
? — угол между вектором i
a


и касательной к дуге в точке приложения вектора Сумма этих произведений при неограниченном возрастании и стремлении длин всех дуг к нулю называется криволинейным интегралом cos d
lim i
i i
i l
L
a l
a l
? ?
? ? Элементарный участок dl кривой L можно рассматривать как вектор.
Тогда криволинейный интеграл запишется через скалярное произведение Иногда произведение cos a
?, то есть проекцию вектора а на направление обозначают а l
, тогда выражение для криволинейного интеграла принимает вид:
Рис. 7. К определению криволинейного интеграла
Краткие сведения по высшей математике

646
d l
L
a Криволинейный интеграл по замкнутой кривой (по замкнутому контуру) называется циркуляцией и обозначается l
?






(129)
12. Теорема о среднем
Теорема о среднем интегрального исчисления пусть дана функция непрерывная на промежутке [a, b]. Тогда определенный интеграл функции) на промежутке [a, b] равен произведению длины этого промежутка на среднее значение функции на данном промежутке ) d
(
)
( )
b a
f x x
b a f
= где a b
? ? ? Поясним это наследующем примере. Кривая FC (рис. 8) является графиком функции f(x) на промежутке [a, b]. Будем смещать отрезок изначального положения CD к конечному положению EF. Вначале движения площадь прямоугольника меньше, чем значение ) d b
a f x x
?
, а в конце — больше (напомним, что
( ) d b
a f x x
?
численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной функцией осью хи прямыми x = a и x = Тогда должно найтись какое-то промежуточное положение, где имеет место равенство ) d b
AKLB
a
S
f x Основанием прямоугольника AKLB служит AB = b – a, а высотой —
отрезок NM, длина которого равна значению функции f(x) в точке Данная теорема может быть сведена к виду )
( )
( )
f b f a f
b то есть к теореме о среднем дифференциального исчисления формуле Л а гран ж а Рис. 8. К теореме о среднем
Приложение 1

647 13. Дифференциальные уравнения
Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции (или нескольких неизвестных функций. Вместо производных в уравнение могут входить дифференциалы.
Общий вид дифференциального уравнения с одной неизвестной функцией Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей из производных, входящих в это уравнение. Если неизвестные функции зависят от одного аргумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным если от нескольких, то — дифференциальным уравнением с частными производными. Примером последнего типа уравнений является волновое уравнение 2
2 2
2 2
2 2
2 1
S
S
S
S
x y
z Функция y = f(x) называется решением дифференциального уравнения го порядка, если последнее обращается в тождество для всех x
? (a, после подстановки этой функции и ее производных в уравнение. Подразумевается, что функция y = f(x) n раз непрерывно дифференцируема на промежутке (a, Любое дифференциальное уравнение вида (132) имеет бесконечное множество решений, которые могут быть записаны в виде 2
( ,
,
,
,
)
n y
y x C где
1 2
,
, ...,
n
C C
C — произвольные постоянные n — порядок дифференциального уравнения.
Выражение (134) называется общим решением дифференциального уравнения. Отметим, что при решении практических задач наибольший интерес представляет решение, удовлетворяющее начальным условиям )
0 0
y x y
=
,
( )
0 0,1
y x y
?
=
,
( )
0 0,2
y x
y
??
=
, …,
(
)
( )
1 0
0, 1
n n
y x
y
?
?
=
. Поиск такого решения называется задачей Коши. Решение задачи Коши называется частным решением. Совокупность всех частных решений образует общее решение.
Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши. Если правая часть уравнения
( )
(
)
(
)
1
, ,
,
, ...,
n n
y f x y y y y
?
? и ее частные производные попеременным непрерывны в рассматриваемой области G, то для любой точки
(
0 0
0,1
,
,
,
x y y
)
0,2 0, 1
,...,
n y
y
?
из G на некотором интервале
(
)
0 0
,
x h x h
?
+
существует единственное решение у) уравнения, удовлетворяющее начальным условиям График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой дифференциального уравнения.
Краткие сведения по высшей математике

Дифференциальные уравнения широко используются для описания,
моделирования и исследования физических, химических, биологических,
экономических процессов. Дальше будут рассмотрены дифференциальные уравнения, наиболее часто встречающиеся в физике и биофизике.
Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение первого порядка вида 1 2 2
d d
0
X Y
x
X Y
y
+
= где функции X
1
, X
2
, Y
1
и Y
2
непрерывны, причем функции X
1
и X
2
зависят только от ха функции Y
1
и Y
2
— только от y. Делением на Y
1
X
2
такое уравнение может быть приведено к виду 2
2 1
d d
0
X
x
Y
y
X
Y
+
= Полученное уравнение называется уравнением с разделенными переменными. Процесс приведения называется разделением переменных. Общее решение уравнения (135) имеет вид 2
2 1
d d
X
Y
x y
C
X
Y
+
=
?
?
, где В тех случаях, когда общее решение несущественно, частное решение удобно определять по формуле 0
1 1
2 2
d d
0
y x
x y
X
Y
x где x
0
и y
0
— начальные значения.
Линейным дифференциальным уравнением го порядка называется уравнение вида )
( )
(
)
( )
( )
( )
1 1
1
n n
n n
y a x y a
x y a
x y f x
?
?
?
+
+ +где y = y(x) — неизвестная функция a
1
(x), a
2
(x), …, a n–1
(x), a n
(x), f(x) известные функции, которые будем полагать непрерывными на промежутке, Уравнения )
( )
(
)
( )
( )
1 1
1 0
n n
n n
y a x y a
x y a
x y
?
?
?
+
+ +и )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
1 1
1
,
0
n n
n n
y a x y a
x y a
x y f x f x
?
?
?
+
+ +
+
=
? . (называются соответственно линейными дифференциальными уравнениями го порядка без правой части (однородными) и с правой частью (неоднородными Одна из них или обе могут быть постоянными, тоже справедливо для функций и Приложение 1

Если множители a
1
, a
2
, …, a n
не зависят от x, то есть являются постоянными, то такое дифференциальное уравнение называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Его решение разыскивается в виде e
x Далее будет рассмотрен алгоритм отыскания решений линейных уравнений второго порядка, который может быть обобщен для линейных уравнений произвольного порядка.
Для отыскания решения однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами 2
0
y a y a следует) записать характеристическое уравнение) найти корни этого уравнения
1
? и
2
? ;
3) записать выражение для общего решения )
( )
( )
1 1 2
2
y x
C y x
C y где
( )
1 1
e x
y x
?
=
;
( )
2 2
e x
y x
?
=
— линейно независимые решения уравнения (Возможны следующие три случая:
а) дискриминант уравнения (142) положителен
2 1
2 4
0
a a
?
> . Тогда уравнение имеет два неравных действительных корня 1
1 1,2 2
2 4
a a
a
?
= Общее решение уравнения (141):
( )
1 2
1 2
e e
x x
y б) дискриминант уравнения (142) равен 0:
2 1
2 4
0
a a
?
= . Тогда уравнение имеет два одинаковых корня 1
2 2
a