Биофизика. Учебник для студентов фармацевтических и медицинских вузов удк 577. 3(075. 8) Ббк 28. 901я73 т 41

• Название: Учебник для студентов фармацевтических и медицинских вузов удк 577. 3(075. 8) Ббк 28. 901я73 т 41
• Анкор: Биофизика.pdf
• Дата: 08.03.2017
• Размер: 4.24 Mb.
• Имя файла: Биофизика.pdf
• Тип: Учебник; #3519
• страница: 18 из 42

I t где ?
0 0 определяет амплитудное значение силы тока.
Сопоставляя формулы (9.9.10), (9.9.12) и (9.9.14), заключаем, что в момент, когда ток достигает максимального значения, заряд конденсатора и напряжение обращаются в нуль и наоборот.
Из формул (9.9.13), (9.9.15) и (9.9.8) получаем соотношение между амплитудными значениями силы тока и напряжения Любой реальный контур обладает активным сопротивлением (рис. Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется на нагревание проводников, из которых состоит контур,
вследствие чего свободные колебания затухают. Запишем закон Ома для этого случая Рис. 9.9.2. Колебательный контур с активным сопротивлением 9.9. Электромагнитные колебания

С учетом формул (9.9.4) и (9.9.5) уравнение (9.9.17) принимает вид 0
d
I
L
RI
q Разделив выражение (9.9.18) на L и произведя замены
=
d d
q
I
t
,
=
2 2
d d
d d
I
q t
t
, получим 2
d d
1 0
d d
q
R
q Введя обозначение и произведя замену
= ?
2 0
1
LC

, дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний (9.9.19) можно записать в виде+ ?
+ ? =
2 2
0 2
d d
2 0
d d
q q
q что математически тождественно дифференциальному уравнению затухающих механических колебаний см. уравнение (При условии, что
? < ?
2 2
0

, решение уравнения (9.9.21) будет иметь вид + ?
0 0
e cos t

q где = ? ? ?
2 Подставляя выражения (9.9.8) ив уравнение (имеем =
?
2 2
1 При
= 0
R
выражение (9.9.24) переходит в выражение (Разделив уравнение (9.9.22) на емкость С, получаем напряжение на конденсаторе:
Глава 9. Электромагнетизм

309
(
)
(
)
??
??
=
? + ? =
? + ?
0 0
0 0
e cos e
cos t

t Чтобы найти ток, продифференцируем уравнение (9.9.22) повремени Умножив и разделив полученное выражение (9.9.26) на + ? = ?
2 2
0
см. уравнение (9.9.23)] и введя угол

?, определяемый условиями = ?
= ?
?
? + ?
2 2
0
cos
;
?
?
? =
=
?
? + ?

2 получаем ?
? + ? + ?
0 0 0
e cos t
I
q Поскольку
? <
cos
0 , а
? >
sin
0 , то
? < ? < Таким образом, при наличии в контуре активного сопротивления ток опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на
?
2
(при
= 0
R
опережение составляет Затухание колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания см. формулу (2.3.24)]:
( )
(
)
? =
= ?
+
ln
,
A t
T
A где А) — амплитуда соответствующей величины (q, U или I ). А + T ) амплитуда той же величины через время, равное периоду Колебательный контур часто характеризуют его добротностью, которая определяется как величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания 2
2 или с учетом формул (9.9.8) и (9.9.20)
=
1
L
Q
R C
(9.9.30)
§ 9.9. Электромагнитные колебания

При
2 2
0
? > ? , то есть
?
2 2
1 4
R
LC
L
, вместо колебаний происходит апериодический разряд конденсатора, и вся выделившаяся при этом энергия расходуется на нагрев проводников. Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим. Из условия
=
2 2
1 4
R
LC
L
, находим
2
?
L
R
C
=
(9.9.31)

Чтобы поддерживать незатухающие колебания, на контур подают переменное напряжение (риса. Запишем закон Ома для этого случая ?
?
+
?
0

d cos После преобразований получим дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний+ ?
+ ? =
?
2 2
0 0
2
d d
2
cos
,
d d
U
q q
q математически тождественное дифференциальному уравнение вынужденных механических колебаний см. уравнение (2.3.28)]. Решение для установившихся (см. рис. 2.3.5) вынужденных колебаний имеет вид ? ? ?
?
?
?
?
0
cos
2

q где ? ?
+ ? ?
0 0
2 2
2 2 2 0
/
4
U
L
q
;
(9.9.35)
?
??
?
?
? +
= ?
=
?
?
?
? ? ?
?
?
2 2
0 1
2
tg
2
tg
(9.9.36)
1
Уравнение (9.9.34) является частным решением неоднородного линейного дифференциального уравнения (9.9.33). Для нахождения общего решения необходимо к (9.9.34) прибавить общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения (9.9.21), то есть выражение (Глава 9. Электромагнетизм

После подстановки (9.9.8) и (9.9.20) получаем+ ? ?
?
?
?
?
?
0 0
2 2
1
U
q
R
L
C
;
(9.9.37)
(
)
2 2
0 1
tg
L
L
C
R
R
? ?
? ? ?
?
?

? Вычислим силу тока вцепи при установившихся колебаниях ? ?
? ? ? ?
=
? ? ?
?
?
?
?
0 0
d sin cos d
2
q
I
q t
I
t Согласно формуле (9.9.37),
= ? =
?
?
+ ? ?
?
?
?
?
?
0 0
0 2
2 Ток отстает от напряжения на угол

?, при ? > ?
0
, опережает при
? < ?
0
и совпадает по фазе с напряжением при
? = ?
0
§ 9.10. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
Появление магнитного поля вызывают не только токи проводимости, но итак называемые токи смещения, которые могут течь даже в вакууме. Рассмотрим это наследующем примере. Известно, что конденсатор, подключенный в цепь постоянного тока, размыкает ее, а подключенный в цепь переменного тока — нет. Согласно классическим представлениям, линии тока, также как и линии потоков жидкости, должны быть замкнуты, то есть через конденсатор вцепи переменного тока тоже должен протекать ток.
По проводникам цепи течет ток проводимости пр, ток, протекающий через конденсатор вцепи переменного тока и замыкающий ток проводимости, был назван Максвеллом током смещения см. При последовательном соединении эти токи равны d
q
I
I
t
(9.10.1)
§ 9.10. Уравнения Максвелла. Электромагнитные волны

Заряд на обкладках плоского конденсатора равен ?
=
=
= ? ?

0 см. формулы (9.2.3) и (Отсюда сила тока смещения ? ?
0
d Таким образом ток смещения — это изменяющееся во времени электрическое поле.

Поле конденсатора однородно, поэтому плотность тока в нем составляет ? или в векторной форме ? ?
r r
0
d d
E
j Учитывая соотношение между напряженностью и индукцией электрического поля см. формулу (9.1.12)], можно записать r
d d
D
j Из уравнения (9.10.5) следует, что при зарядке конденсатора вектор плотности тока смещения
??
r j
направлен вдоль вектора r
E

; при разрядке ?
?
<
?
?
?
?
d
0
d
E
t
— против.
Максвелл ввел понятие полного тока, определяемое как сумма токов проводимости и смещения d
S
S
D
I
I
I
j j
S
j
S
t
?
?
?
=
+
=
+
=
+
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
r r
r r
r
(
)
??
d d
S
S
j
S
D S
t
?
=
+
?
?
?
r r
r знак частной производной
?
?t указывает на зависимость D, как от времени, таки от пространственной координаты).
Глава 9. Электромагнетизм

В проводниках токи смещения по сравнению стоками проводимости очень малы и ими можно пренебречь, и, наоборот, в диэлектриках почти отсутствуют токи проводимости.

Из формулы (9.3.8) получаем, что плотность тока смещения в диэлектрике составляет ?
+
0
d d
d d
E
P
j Здесь первое слагаемое определяет токи смещения в вакууме,
а второе — смещение (ноне перенос) электрических зарядов в диэлектрике и его нагревание (так называемый ток поля риза ц и и).
Токи смещения, возникающие в биологических объектах при воздействии на них переменными электромагнитными полями,
приводят к нагреванию тканей. Этот факт используется в терапевтических целях (например УВЧ-терапия), ас другой стороны, является одной из причин вредного воздействия электромагнитных полей высокой интенсивности (см. главу В основе теории электромагнетизма лежат уравнения Максвелла.

Первую пару уравнений Максвелла образуют уравнения ?
?
?
?
(
d )
(
d );
L
S
E
l
B S
t
(9.10.9)
=
?
(
d )
0.
S
B Первое уравнение (9.10.9) связывает значение
E
с временным изменением вектора
B
и является выражением закона электромагнитной индукции Фарадея см. (9.7.4)]. Переменное магнитное поле в любой точке пространства создает вихревое электрическое поле, линии напряженности которого охватывают линии индукции магнитного поля в виде замкнутых кривых (рис. Постоянное магнитное полене создает электрическое (при
= Согласно второму уравнению, полный поток вектора маг-
Рис. 9.10.1. Формирование вихревого электрического поля напряженностью переменным магнитным полем индукцией
B
§ 9.10. Уравнения Максвелла. Электромагнитные волны

314
нитной индукции
B
через замкнутую поверхность S равен нулю.
Это уравнение отражает свойство вектора
B
, проявляющееся в том,
что его силовые линии замкнуты. Это, в свою очередь, вытекает из того факта, что в природе нет магнитных зарядов.
Вторую пару уравнений Максвелла образуют уравнения )
d d
L
S
S
H
l j
S
D S
t
;
(9.10.11)
= ?
=
?
?
(
d )
d
S
V
D Первое уравнение (9.10.11), являясь обобщенным законом полного тока (9.5.16), указывает на то, что магнитное поле порождается двумя факторами токами проводимости и токами смещения
[см. формулу (9.10.7)]; последние, в свою очередь, возникают только при наличии переменного электрического поля (
? ?
?
0
D
t
,
? Согласно этому уравнению, вокруг всякого тока проводимости и переменного электрического поля всегда существует вихревое магнитное поле, причем
?
E
H
(рис. Согласно второму уравнению, поток вектора индукции электрического поля через замкнутую поверхность S равен заряду,
заключенному внутри нее. Из уравнения следует, что линии вектора могут начинаться и оканчиваться на зарядах.
Уравнения (9.10.9), (9.10.10),
(9.10.11) и (9.10.12) представляют собой уравнения Максвелла вин- тегральной форме. От уравнений в интегральной форме можно с помощью теорем векторного анализа перейти к уравнениям в дифференциальной форме, которые связывают значения
E
или в некоторой точке с d d
B
t или d d
D
t в той же самой точке пространства. Однако это выходит за рамки программы по высшей математике для фармацевтических и медицинских специальностей.
Уравнения (9.10.9), (9.10.10), (9.10.11) итак называемые уравнения поляне учитывают свойства среды, в которой существует электромагнитное поле, и взаимодействие поля с веще-
Рис. 9.10.2. Формирование вихревого магнитного поля индукцией
B
переменным электрическим полем напряженностью Глава 9. Электромагнетизм

315
ством. Влияние среды на электромагнитное поле описывается относительными электрической
? и магнитной µ проницаемостями и удельной электропроводностью
?. Поэтому к системе [(9.10.9) —

(9.10.12)] из четырех уравнений добавляются еще три уравнения состояния среды, так называемые материальные уравнения ? ?
r r
0
D
E
;
(9.10.13)
= µ µ
r r
0
B
H
;
(9.10.14)
= ?
r Совокупность уравнений поля [(9.10.9) — (9.10.12)] и материальных уравнений [(9.10.13) — (9.10.15)] образует полную систему уравнений Максвелла, являющихся основой электродинамики покоящихся сред.
Уравнения Максвелла сыграли и продолжают играть огромную роль в развитии физики. Они позволили объяснить уже известные на тот момент времени факты, а также предсказать ряд новых,
например, существование электромагнитных волн, электромагнитную природу света. Уравнения Максвелла лежат в основе электротехники и радиотехники.
Переменное магнитное поле вызывает появление электрического поля и наоборот — токи смещения, связанные с переменным электрическим полем, вызывают появление магнитного поля. Таким образом, электрические и магнитные поля неразрывно взаимосвязаны и образуют единое электромагнитное поле. Распространение электромагнитного поля в пространстве, сопровождающееся взаимным превращением электрического и магнитного полей, называется электромагнитной волной.
Уравнения (9.10.9) и (9.10.11) могут быть преобразованы к виду ? ?µ µ
?
?
?
?
r r
r r
2 2
2 0
0 2
2 2
2
;
E
E
E
E
x y
z и ? ?µ µ
?
?
?
?
r r
r r
2 2
2 2
0 0
2 2
2 2
H
H
H
H
x y
z Отметим, что уравнения (9.10.16) и (9.10.17) неразрывно взаимосвязаны, так как они выведены из уравнений (9.10.9) и (каждое из которых содержит и r
E
, и Уравнения такого вида представляют собой волновые уравнения
[сравните с волновым уравнением механических волн (2.4.7)] и ука-
§ 9.10. Уравнения Максвелла. Электромагнитные волны

316
зывают на то, что электромагнитные поля могут существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых равна 0 1
1
v =
?
? Для вакуума из формулы (9.10.18) получается 12 7
0 0 1

1 3 10 ?/?
8,85 10 4
10
v c
?
?
= =
=
= ?
? µ
?
? ? ?
. (Таким образом, в вакууме скорость электромагнитных волн совпадает со скоростью света (свет, собственно говоря, и есть электромагнитные волны в определенном диапазоне частот или длин волн).
Скорость распространения света в среде равна c
c Величина называется абсолютным показателем преломления среды. Она показывает, во сколько раз скорость распространения света в данной среде меньше скорости распространения света в вакууме.
Запишем частный случай уравнений (9.10.16) и (9.10.17) для плоской электромагнитной волны, распространяющейся водно- родной непроводящей среде (
? = 0 ;
=
r
0
j
;
= ? ?
r r
0
D
E
;
= µ µ
r r
0
;
B
H
? и µ — постоянные) вдоль оси х, перпендикулярной волновым поверхностями Отметим, что остальные составляющие и r
H
равны нулю, то есть ЕЕ Н = Н = 0, тогда E
y
= E ; H
z
= H. Индексы y и z при Е и Н подчеркивают то обстоятельство, что векторы r
E
и направлены по взаимно перпендикулярным осями Простейшим решением уравнений (9.10.22) и (9.10.23) будет следующее:
Глава 9. Электромагнетизм

317
=
? ?
+ ?
0 0
cos (
);
y
E
E
t kx
(9.10.24)
=
? ?
+ ?
0 0
cos(
)
z
H
H
t где
? — циклическая частота волны k — волновое число v
?
?
=
=
?
;

? — длина волны ?
0
— начальная фаза колебаний.
Из формул (9.10.24) и (9.10.25) видно, что векторы r
E
и колеблются в одинаковой фазе. Можно показать, что их амплитуды связаны соотношением ? =
µ µ
0 0
0 Отношение
0 0
E
H
называется волновым сопротивлением среды µ
=
? ?
0 0
0 Для волн, распространяющихся в вакууме (
? = 1
,
µ = 1
):
7 0
0 12 0
0 4 10 120 377 8,85 10
E
H
?
?
µ
? ?
=
=
=
? ?
?
?
Ом.

Уравнения (9.10.24) и (9.10.25) плоской электромагнитной волны могут быть записаны в векторном виде ?
r r
0
cos
E
E
t kx ;
(9.10.28)
(
)
=
? ?
r r
0
cos
H
E
t при
?
0
= На рис. 9.10.3 показана моментальная фотография плоской электромагнитной волны. Как видно из рисунка, векторы r
E
и Рис. 9.10.3. Электромагнитная волна — длина волны vr — ее скорость (стрелкой указано направление распространения волны 9.10. Уравнения Максвелла. Электромагнитные волны

взаимно перпендикулярны и, изменяясь по гармоническому закону, образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему. Электромагнитные волны являются поперечными,
то есть векторы r
E
и r
H
колеблются в плоскостях, перпендикулярных вектору скорости распространения волны.
Электромагнитные волны, как и любые другие волны, переносят энергию. Плотность энергии электромагнитного поля
?
ЕН

складывается из плотности энергии электрического поля и плотности энергии магнитного поля ?
µ µ
?
= ? + ? =
+
2 2
0 0
2 В случае вакуума и непроводящей среды
(
)
=
r
0
j векторы r
E
и изменяются в одинаковой фазе. Поэтому соотношение (9.10.26) между Е и Н справедливо и для их мгновенных значений.
Отсюда
?
= ? ?
= µ µ
= ? ?µ µ
2 2
0 0
0 Умножив плотность энергии
?
ЕН
на скорость v (9.10.18), получаем модуль плотности потока энергии или в векторной форме:
?
?
=
Ч
?
?
r r
r
I
E
H Вектор r
I
называется вектором Пойнтинга. Его направление совпадает с направлением переноса энергии в изотропных средах
(а также со скоростью распространения волны, а модуль этого вектора равен ЕН.
Рис. 9.10.4. Шкала электромагнитных волн
Глава 9. Электромагнетизм

Средняя повремени плотность потока энергии называется интенсивностью электромагнитной волны 0
0 0
0 0
0 1
1
d
2 2
T
t
E H
I
I
I
t
E
T
? ?
= =
=
=
µ µ
?
r где Т — период колебаний электромагнитной волны.
Все электромагнитные волны имеют единую природу. В зависимости от частоты
? (или длины волны ?) их подразделяют на диапазоны радиоволны, инфракрасное (ИК) излучение, видимый свет, ультрафиолетовое (УФ) излучение, рентгеновское излучение,
?-лучи (рис. О воздействии электромагнитных волн различных диапазонов на живые организмы см. в главе ПРАКТИЧЕСКИЕ И ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 9.1. На рис. 9.1. изображены структурные формулы ортоди- хлорбензола о-С
6
Н
4
Cl
2
, метадихлорбензола м-С
6
Н
4
Cl
2
, парадихлорбензола п-С
6
Н
4
Cl
2
и монохлорбензола С
6
Н
4
Cl. Определите дипольные моменты первых трех молекул, учитывая, что дипольный момент монохлорбензола
C
6
H
4
Clравен 5•10
–30
Кл•м.
Рис. 9.1. Химические формулы к задаче 9.1
ортодихлорбензол метадихлорбензол парадихлорбензол монохлорбензол
Решение. Молекула бензола в силу своей симметрии не может иметь дипольный момент в отсутствие внешнего поля.
Для молекулы монохлорбензола эта симметрия нарушена, в силу чего в направлении, указанном на рисунке пунктиром, появляется дипольный момент р = 5•10
–30
Кл•м. Тогда полный дипольный момент ортоди- хлорбензола равен векторной сумме двух таких моментов, расположенных под углом 60
° (бензольное кольцо — правильный шестиугольник).
Он легко вычисляется, поскольку
=
=
r r
1 2
0
p p
p и угол ? между ними равен, то есть, расположив r
1
p вдоль оси х, получаем 0
x p
p ;
=
1 0
y p
;
=
?
2 0
cos x
p p
;
=
?
2 0
sin y
p Практические и тестовые задания

откуда следует, что 1
cos x
p p
;
=
?
0
sin y
p и, следовательно, дипольный момент ортодихлорбензола
(
)
(
)
???
=
+
=
+
? +
? =
+
?
r r
2 2
1 2
0 0
1
cos sin
2 1
cos p
p p
p С учетом угла