Биофизика. Учебник для студентов фармацевтических и медицинских вузов удк 577. 3(075. 8) Ббк 28. 901я73 т 41

• Название: Учебник для студентов фармацевтических и медицинских вузов удк 577. 3(075. 8) Ббк 28. 901я73 т 41
• Анкор: Биофизика.pdf
• Дата: 08.03.2017
• Размер: 4.24 Mb.
• Имя файла: Биофизика.pdf
• Тип: Учебник; #3519
• страница: 17 из 42

i будет равна сумме ЭДС, индуцируемых в каждом из витков ?
= ?
?
?
?
?
?
?
?
1 1
d d
d d
N
N
i i
i i
i Глава 9. Электромагнетизм

Величина =
?
?
c
1
N
i называется полным магнитным потоком. Если поток, пронизывающий каждый из витков, одинаков, то = Электрический ток I, текущий в любом контуре, создает пронизывающий этот контур магнитный поток
?; при изменениях изменяется также и
?, следовательно, в контуре будет индуциро- ваться ЭДС. Это явление называется самоиндукцией.
В соответствии с законом Био—Савара—Лапласа, магнитная индукция В пропорциональна току, вызвавшему поле. Отсюда следует, что ток в контуре I и создаваемый им полный магнитный поток
? через контур прямо пропорциональны Коэффициент пропорциональности L между током и полным магнитным потоком называется индуктивностью проводника. В СИ
индуктивность измеряют в генри (Гн),
[ ]
L
= 1 Гн = 1 Вб/с. Индуктивность зависит только от геометрии проводника и магнитных свойств среды и не зависит от химического состава провод- ника.
При изменении тока в контуре возникает ЭДС самоиндукции
E
с
,
равная
( )
?
?
?
= ?
= ?
= ?
+
?
?
?
?
c d
d d
d d
d d
d
LI
I
L
L
I
t t

t Если L при изменении тока остается постоянной (в отсутствие ферромагнетиков, выражение для с, принимает вид ?
c Вычислим индуктивность длинного соленоида. В соответствии с формулами (9.7.7), (9.5.13) и (9.5.34) магнитный поток, пронизывающий соленоид, равен =
= µ µ
= µ µ
2 0
0
,
N
NBS
N
I
S
n IV
l где N — число витков соленоида S — площадь поперечного сечения каждого витка п — число витков на единицу длины l — длина 9.7. Электромагнитная индукция

294
ноида;
=
V
lS объем соленоида. Из выражения (9.7.8) получаем индуктивность длинного соленоида µ µ
2 0
L
n V В соответствии с формулой (9.7.11) единицей измерения магнитной постоянной является генри на метр [
µ
0
] = Гн/м.
По правилу Ленца, дополнительные токи, возникающие в проводниках вследствие самоиндукции, всегда направлены так, чтобы воспрепятствовать изменению тока, текущего вцепи. Это приводит к тому, что установление тока при замыкании цепи и убывание тока при размыкании цепи происходит не мгновенно.
При замыкании цепи, состоящей из включенных последовательно активного сопротивления R, включая внешнее сопротивление цепи и внутреннее сопротивление источника тока, индуктивности L и источника ЭДС, будет действовать ЭДС самоиндукции с. Запишем закон Ома для этой цепи:
=
+
0
c
IR
E
E
,
или
0
d d
I
IR
I где
=
0 0
I R
E
;
0
I — постоянный ток, который будет течь вцепи под действием ЭДС Разделим переменные в уравнении (9.7.12):
0
d d
I
R
t
I
I
L
= После интегрирования в пределах времени от t = 0 до произвольного момента t и силы тока от I = 0 до I, соответствующего моменту времени получаем 0
0
d d
I
t
I
R
t
I
I
L
= ?
?
?
?
;
(
)
0 0
0
ln
I
t
R
I
I
t
L
?
= подставим пределы интегрирования 0
ln
I
I
R
t
I
L
?
= и выразим I:
0 1 Глава 9. Электромагнетизм

При размыкании цепи ЭДС источника тока равна нулю, но возникает
ЭДС самоиндукции, то есть или d
d
I
IR
L
t
= Разделим переменные и проинтегрируем в пределах t = 0 до произвольного момента t и силы тока от I = I
0
до I, соответствующего моменту времени t:
0 0
d d
I
t
I
I
R
t
I
L
= ?
?
?
;
0
ln
I
R
t
I
L
= Таким образом, при замыкании цепи, состоящей из включенных последовательно активного сопротивления R и индуктивности, сила тока возрастает по закону а при размыкании цепи — убывает по закону
0
e
R
t
L
I
I
?
=
(9.7.15)
Если, отключив соленоид от батареи, замкнуть его на сопротивление, тов образовавшейся цепи будет некоторое время течь постоянно уменьшающийся ток. Убыль энергии магнитного поля за время dt будет равна работе, совершаемой током размыкания и равной джоулевой теплоте, выделяющейся на сопротивлении d
d d

A С учетом выражения (9.7.10) запишем ?
d d Если индуктивность не зависит оттока, то полная работа за все время, в течение которого происходит исчезновение магнитного поля, равна 9.7. Электромагнитная индукция

296
= ?
=
?
0 2
d
2
I
LI
A
L Таким образом, энергия магнитного поля тока (то есть проводника с индуктивностью L, по которому течет ток I):
2 Сопоставляя выражение (9.7.19) с формулой для кинетической энергии, можно заключить, что индуктивность является мерой инертности электрического контура, также как масса является мерой инертности механического тела при поступательном дви- жении.
Выразим энергию магнитного поля (9.7.19) через величины,
характеризующие само поле. В случае очень длинного соленоида µ µ
2 0
L
n V
;
=
,
H
nI
или Подставляя эти выражения в уравнение (9.7.19), получаем 0
2
H
H
W
V
µ Магнитное поле бесконечно длинного соленоида однородно и отлично от нуля только внутри соленоида см. формулу ирис. Тогда объемная плотность энергии магнитного поля равна 0
2 2
H
H
W
H
BH
V
µ µ
? Рассмотрим два контура, расположенных на некотором расстоянии друг от друга. Если в первом контуре течет ток I
1
, то он создает в другом контуре пропорциональный I
1
поток =
2 21 1
L I При изменении тока I
1

во втором контуре индуцируется ЭДС ?
1 2
21
d Аналогично при протекании во втором контуре стоком возникает связанный с первым контуром поток:
Глава 9. Электромагнетизм

297
? =
1 12 2
L I При изменении тока I
2

в первом контуре индуцируется ЭДС ?
2 1
12
d Такие контуры называются связанными, а явление возникновения ЭДС водном контуре при изменении тока в другом называется взаимной инд у к ц и е й.
Коэффициенты L
12
и L
21
называются взаимной индуктивностью контуров. Можно показать, что 21
L
L Энергия двух связанных контуров в отсутствие ферромагнетиков, равна 2
1 1 2 2 12 1 2 2
2
L I
L I
W
L I I .
(9.7.28)
§ 9.8. ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК
Переменным током называется ток, сила которого изменяется во времени. Законы Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа были установлены для постоянного тока, однако они остаются справедливыми и для мгновенного значения изменяющегося тока,
если изменение его не происходит слишком быстро. Такой ток называется квазистационарным. Условием квазистацио- нарности является где — время, необходимое для установления одинакового значения силы тока вцепи длиной l (возмущение передается со скоростью света с Т — период изменения тока. При размерах цепи порядкам составляет 10
–8 с. Таким образом, вплоть до Т = 10
–6
сток вцепи можно считать квазистационарным. Ток промышленной частоты (v = 50 Гц, Т = 0,02 с) квазистационарен для цепей длиной порядка 100 км.
Рассмотрим применение закона Ома для каждого из элементов цепи сопротивления R, индуктивности L и емкости C. Пусть к за В случае переменного тока сопротивление цепи зависит от частоты изменения тока 9.8. Переменный ток

298
жимам проводника с активным сопротивлением R (рис. 9.8.1, а)
приложено напряжение, изменяющееся по гармоническому закону где U
0
— амплитудное значение напряжения.
При выполнении условия квазистационарности ток через сопротивление определяется законом Ома =
?
0 0
cos где I
0
— амплитудное значение силы тока. Амплитудные значения силы тока и напряжения связаны соотношением На рис. 9.8.1, б представлена векторная диаграмма цепи сак- тивным сопротивлением. Выбрав произвольное направление, назовем его осью токов. Отложим на нем вектор тока длиной Поскольку напряжение и ток изменяются синфазно (рис. 9.8.1, в),
вектор U
0
также направлен вдоль оси токов и его длина равна Рассмотрим катушку индуктивностью L с ничтожно малыми активным сопротивлением (
= 0
R
) и емкостью (
= 0
C
), с поданным переменным напряжением, изменяющимся по закону (9.8.2) (риса. В катушке индуктивности начинает течь переменный ток,

вследствие чего возникает ЭДС самоиндукции ?
c Рис. 9.8.1. Цепь с активным сопротивлением R (а, ее векторная диаграмма (б),
колебания напряжения и силы тока (в)
Глава 9. Электромагнетизм

полагаем, что L = const). Запишем закон Ома для данной цепи:
=
+
?
IR
U
E
(9.8.6)
В нашем случае
= 0
R

. Подставив выражения (9.8.2) ив формулу (9.8.6), получаем ?
=
0
d откуда cos d .
U
I
t Интегрирование дает =
? ?
?
?
?
?
?
0 0
sin где Величина называется индуктивным сопротивлением, Х = Гн/с = Ом.

Падение напряжения на индуктивности равно ?
?
0
cos
L
L
U
IX
LI
t Из сопоставления выражений (9.8.9) и (9.8.12) следует, что колебания тока на индуктивности отстают от колебаний напряжения по фазе на
?/2 (рис. 9.8.2, б, в, так как возникающая ЭДС самоиндукции препятствует изменению силы тока в цепи.
Рис. 9.8.2. Цепь с индуктивностью L (а, ее векторная диаграмма (б, колебания напряжения и силы тока (в 9.8. Переменный ток

Подадим напряжение, изменяющееся по закону (9.8.2), на конденсатор емкостью C (риса. Если сопротивлением подводящих проводов и индуктивностью цепи пренебречь (
= 0
R
,
= тов этом случае напряжение на конденсаторе
/
C
U
q C
=

можно считать равным внешнему напряжению U откуда Производная от заряда повремени дает ток вцепи +где ?
=
?
?
?
?
?
?
?
0 0
0 1
U
I
CU
C
(9.8.16)
Величина
=
?
1
c
X
C
,
(9.8.17)
называется емкостным сопротивлением [Х
с
] = Ф
–1
•с
–1
= Ом. Заменив в выражении (9.8.13) U
0
на
?
0 1
I
C
что следует из формулы, получаем Сопоставляя выражения (9.8.15) и (9.8.18), видим, что ток опережает по фазе падение напряжения на емкости оттока на рис. 9.8.3, б. Это объясняется тем, что заряда следовательно,
и напряжение на конденсаторе возрастают, пока ток имеет одно направление (I > 0). В некоторый момент времени сила тока достигает максимума и начинает уменьшаться (I < 0), в то время как напряжение еще возрастает. В момент, когда ток меняет направление, напряжение максимально (рис. 9.8.3, в).
Рассмотрим цепь, составленную из активного сопротивления индуктивности L и емкости С (риса. Подключим к этой цепи напряжение, изменяющееся по закону (9.8.2). Вцепи возникает ток той же частоты и амплитуды I
0
, фаза которого определяет-
Глава 9. Электромагнетизм

301
ся параметрами цепи R, L и С. Этот ток вызывает падение напряжения на активном сопротивлении U
R
амплитудой RI
0
, фаза которого совпадает с фазой тока. Падение напряжения на индуктивности с амплитудой
?
0
LI ) опережает ток по фазе на
?/2, а падение напряжения на емкости С (с амплитудой
?
0 1
I
C
) отстает по фазе оттока на
?/2 (рис. 9.8.4, б).
Сумма падений напряжений U
R
, U
L
и С должна быть равна приложенному напряжению U. Сложив векторы U
R
, U
L
и С, получаем вектор U, имеющий амплитуду U
0
. Этот вектор образует с осью токов угол
?, тангенс которого равен
Рис. 9.8.4. Цепь с активным сопротивлением R, индуктивностью L, емкостью С
(а), ее векторная диаграмма (б, колебания напряжения и силы тока (в)
Рис. 9.8.3. Цепь с емкостью С (а, ее векторная диаграмма (б, колебания напряжения и силы тока (в 9.8. Переменный ток

302
?
? Угол
? определяет разность фаз между напряжением и током
(рис. 9.8.4, в. Из векторной диаграммы (рис. 9.8.4, б) следует, что 2
2 0
0 откуда 0
2 Итак, если напряжение на зажимах цепи изменяется по закону
=
?
0
cos
,
U
U
t
(9.8.22)
то вцепи течет тока величина называется полным сопротивлением цепи переменному току, или импедансом. Величина ? называется реактивным сопротивлением, или реактансом. На реактивном сопротивлении в отличие от активного не происходит потерь энергии в виде выделения тепла.
При
>
L
C
X
X ток отстает по фазе от напряжения, а приток опережает напряжение. Если
=
L
C
X
X , то есть реактивное сопротивление отсутствует, изменения тока и напряжения происходят синфазно. При удовлетворяющей этому условию частоте полное сопротивление Z минимально и равно R. Соответственно сила тока достигает наибольшего значения приданном. Падения напряжения на емкости Си индуктивности U
L
одинаковы по амплитуде и противоположны по фазе. Это явление называется резонансом напряжений, а частота (9.8.26) — резонансной частотой.
Глава 9. Электромагнетизм

Мгновенное значение мощности, выделяемой вцепи, равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока )
( ) ( )
(
)
=
?
=
? ?
? ? ?
0 0
cos cos
P t
U t
I t
U
t Воспользовавшись формулой 1
cos cos cos cos
,
2 2
? ?
? =
? ? ? +
? + выражению для мощности можно придать вид )
(
)
0 0 0 0 1
1
cos cos 2 2
2
P t
U I
U I
t
=
? +
? ? Практический интерес представляет среднее повремени значение Р. Среднее повремени значение функции, изменяющейся по гармоническому закону, равно интегралу от этой функции в пределах одного периода T, деленному на величину периода +
? ? ?
=
?
?
?
?
?
0 0 0 0 0
1 1
1
cos cos 2
d
2 2
T
P
U I
U I
t t
T
(
)
=
?
+
? ? ?
?
?
0 0 0 0 0
0 1
1
cos d
cos 2
d
2 2
T
T
U I
t
U I
t где
=
?
0
d
T
t
T ;
(
)
? ? ?
=
?
0
cos 2
d
0,
T
t t
, так как
?
? Тогда среднее значение мощности переменного тока составляет 0
cos
2
U Если ток вцепи не совершает механической работы, средняя мощность (9.8.29) выделяется на активном сопротивлении в виде теплоты. Как видно из рис. 9.8.4, б =
=
+
?
2 Подставляя это значение в формулу (9.8.29) и учитывая, что 0
U
I
Z
, получаем 9.8. Переменный ток

304 2
0 2
I R
P Такую же мощность развивает постоянный ток, равный Величина (9.8.32) называется действующим (или эффективным)
значением тока. Аналогично величина называется действующим значением напряжения.

С учетом действующих значений формуле (9.8.29) можно придать вид ??
=
?
cos
P
I Множитель
?
cos называется коэффициентом мощности. Если реактивное сопротивление равно нулю (X
L
= Сто и P = UI. При чисто реактивном сопротивлении (
= 0
R
)
? поэтому и средняя мощность, выделяемая вцепи, равна нулю.
Таким образом, если
? =
cos
0 , то никакой ток не даст вцепи среднюю мощность, отличную от нуля. В технике стремятся сделать как можно больше. При малом cos
? для выделения вцепи необходимой мощности нужно пропускать больший ток,
при этом потери в подводящих проводах возрастают, и приходится увеличивать их сечение 9.9. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Электромагнитными колебаниями называются периодические изменения заряда, тока, напряженностей электрического и магнитного полей. Они возникают вцепи, содержащей индуктивность,
емкость и активное сопротивление. Такая электрическая цепь называется колебательным контуром.
Рассмотрим идеальный колебательный контур, то есть контур,
в котором активное сопротивление равно нулю (рис. 9.9.1). Вызвать электромагнитные колебания в контуре можно, если заря Наименьшее значение cos ?
на производстве составляет Глава 9. Электромагнетизм

305
женный конденсатор подключить к катушке индуктивности, вследствие чего конденсатор начнет разряжаться ив контуре потечет ток. Энергия электрического поля конденсатора начнет уменьшаться, а энергия магнитного поля, обусловленная током, текущим через индуктивность, — возрастать.
Когда конденсатор полностью разрядится, ток в контуре достигнет максимального значения, после чего конденсатор начнет перезаряжаться до тех пор,
пока модуль напряженности электрического поля в конденсаторе не достигнет максимального значения. Затем снова начнется процесс разряда конденсатора, при этом ток в контуре потечет в обратном направлении. Полная энергия идеального колебательного контура, состоящая из энергии электрического и магнитного полей, не расходуется на выделение джоулева тепла (так как
= и останется постоянной.
Из сопоставления электрических и механических колебаний следует, что энергия электрического поля аналогична потенциальной упругой деформации, а энергия магнитного поля аналогична кинетической энергии. Величина, обратная емкости ?
? ?
? ?
1
C
, играет роль коэффициента жесткости k, заряд q соответствует смещению от положения равновесия х, индуктивность L — массе, ток
=
d d
q
I
t
— скорости d
d x
v t
=
. Сила тока, как и скорость является алгебраической величиной, то есть может принимать как положительные, таки отрицательные значения. При составлении дальнейших дифференциальных уравнений условимся считать положительным такое направление тока, при котором конденсатор заряжается, и наоборот.
Во время колебаний внешнее напряжение к контуру (рис. не приложено (напряжение прикладывается только для того, что-
Рис. 9.9.1. Идеальный колебательный контур 9.9. Электромагнитные колебания

бы зарядить конденсатор, и затем отключается, то есть
= 0
IR
), тогда, согласно закону Ома,
=
+
=
c
0
IR
U
E
,
(9.9.3)
где
= выражает падение напряжений на емкости при разрядке конденсатора определяет ЭДС самоиндукции, возникающую при прохождении тока через катушку.
Тогда уравнение (9.9.3) принимает вид:
+
=
d
0
d
I
q
L
t
C
(9.9.6)
Разделив выражение (9.9.6) на L и заменив d
d
I
t на
2 2
d d
q t
, получаем уравнение 2
d
1 0
d Если ввести обозначение =
0 то дифференциальное уравнение свободных незатухающих электромагнитных колебаний (9.9.7) примет вид+ ? =
2 2
0 2
d
0
d q
q что математически тождественно дифференциальному уравнению незатухающих механических колебаний см. уравнение (Решением уравнения (9.9.9) является функция + ?
0 0
0
cos q
q Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой, определяемой выражением (Глава 9. Электромагнетизм

и начальной фазой
?
0
. Частота
?
0
называется собственной частотой контура. Период колебаний определяется формулой Томсона:
= ?
2
T
LC Соответственно изменению заряда изменяется и напряжение на конденсаторе + ? =
? + ?
0 0
0 0
0 0
cos (
)
cos
,
q где равно амплитудному значению напряжения.
Продифференцировав функцию (9.9.10) повремени, получаем выражение для периодических колебаний тока )
(
)
?
?
?
= ??
? + ? =
? + ? +
?
?
?
?
0 0 0
0 0
0 0
sin cos
2