Приложения теории массового обслуживания. Учебник для студентов высших учебных заведений, обучаемых по направлениею

• Название: Учебник для студентов высших учебных заведений, обучаемых по направлениею
• Анкор: Приложения теории массового обслуживания
• Дата: 30.06.2022
• Размер: 1.27 Mb.
• Имя файла: lozhkovskii_ag_teoriia_massovogo_obsluzhivaniia_v_telekommun.pdf
• Тип: Учебник; #621010
• страница: 9 из 14

7.6 Система с приоритетами M/G/1/∞
Установление приоритетов для ожидающих требований – один из эффективных способов управления размерами очереди и временем пребывания в ней. При поступлении в систему требования с высоким приоритетом обслуживание требования с более низким приоритетом или перерывается
(абсолютный приоритет), или требование с высоким приоритетом становится в начало очереди ожидающих требований
(относительный приоритет).
Рассмотрим два случая приоритетов и в случае абсолютного приоритета возьмем прерывание с продолжением обслуживания (дообслуживание). Более подробно с приоритетными системами можно ознакомиться в [1, 2].
7.6.1 Относительный приоритет
Требования с r приоритетами (чем меньше номер, тем выше приоритет) поступают в однолинейную систему и образуют r пуассоновских потоков с интенсивностью λ
k
, где k = 1, …, r. Общий поток есть пуассоновским с интен- сивностью




r
k
k
С
1
л
. В пределах каждого приоритета требования обслужи- ваются в порядке поступления. Функция распределения общего времени обслуживания требований всех приоритетов имеет вид





r
k
k
k
x
B
x
B
1
)
(
1
)
(
, где
B
k
( x ) – функция распределения времени обслуживания требования с k-м приоритетом с средним время обслуживания 1 / μ
k
. Прерывание обслуживания не допускается. После окончания обслуживания любого требования из очереди выбирается требование с высшим приоритетом.
Обозначим интенсивность удельной нагрузки k-го приоритета:
k
k
k




,
k = 1, …, r;
(7...72) и суммарная нагрузка всех потоков с 1 по k-й приоритет:




k
i
i
k
R
1
, де R
0
= 0, k = 1, …, r.
(7.73)
Суммарная нагрузка потоков всех приоритетов R
r
< l (условие эргодичности процесса).
С использованием обозначения
(7.67), где
2 2
0 2
)
(
x
x
x
dB
x





, определим среднее время ожидания требования с k-м приоритетом:
)
R
1
)(
R
1
(
2
)
x
(
W
k
1
k
2
x
2
k







С
(7.74)
Выявим уровень влияния относительных приоритетов на среднее время ожидания W
k
каждого из приоритетов на примере организации 5 приоритетов, где потоки каждого из приоритетов одинаковой интенсивности λ
k
= λ, и

59 длительность обслуживания требований каждого из приоритетов одинаковая и постоянная. Соответственно интенсивность обслуживания μ
k
= μ, а
0 2


x
Поскольку W
k
будем измерять в единицах средней длительности обслуживания
x , то в числителе (7.74) при
1
/
1 2



x
запишем с
л
2

x
С
На рис. 7.4 показаны графики зависимости среднего времени ожидания требований k-го приоритета от общей интенсивности нагрузки ρ потоков всех приоритетов. Поскольку все интенсивности одинаковые, то в каждой точке графика интенсивность нагрузки потока k-го приоритета будет 1/5 от общей интенсивности ρ.
Рисунок 7.4 – Влияние относительных приоритетов на среднее время ожидания
Здесь пунктирными линиями изображены графики среднего времени ожидания W
k
, выраженного в единицах средней длительности обслуживания x при относительных приоритетах (1, …, 5) и постоянном времени обслуживания, равному для всех пяти равных по интенсивности пуассоновских потоков.
Из рисунка видно, что при введении приоритетов среднее время ожидания для отдельных потоков можно сделать меньше, чем это было бы в случае без приоритетного обслуживания (показано непрерывной линией).
Если, например, r = 2, то требования первого приоритета являются приоритетными, а второго – неприоритетными. Среднее время ожидания приоритетных и неприоритетных требований из (7.74) определится:
)
1
(
2
)
x
(
W
1 2
x
2 1






С
(7.75)
)
1
)(
1
(
2
)
x
(
W
2 1
1 2
x
2 2










С
(7.76)
Среднее время пребывания требования k-го приоритета в системе T
k
определяется как сумма W
k и среднего времени обслуживания 1 / μ
k

60
7.6.2 Абсолютный приоритет с дообслуживанием
Возможны разные режимы прерывания обслуживания требования низкого приоритета при поступлении в систему требования более высокого приоритета. Рассмотрим случай с дообслуживанием (см. гл. 3).
Из (7.74) с учетом (7.73) и (7.72) следует среднее время ожидания требований первого приоритета
)
1
(
2
)
(
1 2
1 2
1 1
1






x
W
и по (7.66) среднее количество требований первого приоритета в системе
)
1
(
2
)
(
1 2
1 2
2 1
1 1
1








x
N
Общее выражение для среднего времени ожидания требований других приоритетов 1 ≤ k ≤ r получается аналогично (7.74):
)
1
)(
1
(
2
)
(
1 2
2 1
k
k
i
i
r
i
i
k
R
R
x
W









Если, например, r = 2, то есть приоритетные (приоритет 1) и неприоритетные (приоритет 2) требования. Среднее время ожидания неприоритетных требований (до начала обслуживания)
)
1
)(
1
(
2
)
(
)
(
2 1
1 2
2 2
2 2
2 1
2 1
1 2














x
x
W
(7.77)
Отсюда среднее время пребывания в системе неприоритетных требований
T
2
(с учетом прерываний и дообслуживания) получается добавлением средней продолжительности обслуживания, так что
)
1
(
1 1
2 2
2




 W
T
(7.78)
Сравнение (7.76) и (7.77) показывает, что при
2 2
2 2
2 1
2 1





x
x
среднее время ожидания при абсолютном приоритете с дообслуживанием такое же, как и при относительном приоритете, но разные времена пребывания в системе T.
При относительном приоритете время пребывания в системе равно (1 / μ
2
) + W
2
, то есть меньше, чем T
2
в формуле (7.78).
Сложнее найти характеристики очереди неприоритетных требований.
Среднее количество неприоритетных требований в системе

























)
1
(
2
)
(
)
(
1 1
2 1
2 2
2 2
2 2
1 2
1 2
1 2
1 2
x
x
N
где
λ
2
– интенсивность потока неприоритетных требований.
Продолжительность обслуживания определяется распределением B
2
(x) со средним значением
2 2
/
1 

x
и
2 2
2
/ 




61
7.7 Система с потерями M
B
/M/m – мультисервисный узел доступа
При создании пакетных сетей связи возникает проблема расчета пропускной способности сетей широкополосного мультисервисного доступа.
На практике при этом используют математическое моделирование, или, без надлежащего обоснования, традиционные формулы теории телетрафика.
Общего аналитического или инженерного метода решения проблемы нет.
Типичная структура автономного кластера сети доступа (рис. 7.5) преду- сматривает каскадное подключение узлов доступа (УД) и, иногда, возможность взаимной связи абонентов кластера. Она содержит транзитный узел доступа
УД1 и каскадно подключенные через него УД
2
…УД
m
. Узлами доступа, в зависимости от конкретной технологии, могут быть мультиплексоры линий
хDSL (DSLAM), базовые станции WiMAX и/или WiFi и прочее оборудование.
Потоки требований из-за конечного количества источников описываются моделью примитивного потока (пуассоновского потока второго рода), где распределение интервалов между требованиями экспонентное, а параметр λ не постоянный, а пропорциональный количеству свободных источников нагрузки.
Состояния последовательно соединенных УД зависимы, так как каждое требование занимает в них определенную пропускную способность, и из-за потерь изменяется характер нагрузки, поступающей на транзитный УД. Для получения точных результатов следует рассчитывать каждый автономный сегмент сети доступа с каскадным включением УД (кластер) в целом, не расчленяя его на отдельные УД, а это очень сложно. Обозначим:
N
1
, N
2
… N
m
– емкости соответствующих узлов доступа;
R
1
… R
m
– скорости передачи, необходимые обеспечить для УД
1
…УД
m
;
R – общая скорость передачи, которая необходима в направлении к транспортной сети от всех узлов доступа рассмотренного кластера;
v
1
…v
m
– расчетное количество условных каналов для УД
1
…УД
m
соответственно;
V – расчетное общее количество условных каналов для направления к транспортной сети;

1
, 
2
– интенсивность одного источника нагрузки (абонента) в свободном состоянии соответственно внутри кластера и к транспортной сети.
Транспортная сеть
УД 2
N
2
, 
1
, 
2

УД 1
N
1
, 
1
, 
2
V, R
v
2
, R
2
Рисунок 7.5 –Автономный сегмент сети доступа

62
Надо определить количество условных каналов так, чтобы не превыша- лись нормативные потери требований, а потом определить для каждого канала скорость передачи так, чтобы не превышались нормы потерь пакетов, тогда определим нужную полосу пропускания в Мбит/с каждого направления связи.
Требования обслуживаются с явными потерями, время обслуживания требований экспонентное, а поток требований от каждой группы абонентов примитивный, т.е. со свойствами ординарности, стационарности и простого последействия. При этом состояния системы распределены по закону Энгсета, называемом распределением Эрланга-Бернулли или усеченным распреде- лением Бернулли. Модель потока обозначим M
B
– экспонентное распределение интервала между требованиями с усеченным распределением Бернулли состояний системы. Такая модель присущая малым группам абонентов (до 300).
Обозначим Р(k
1
, l
1
; … ; k
m
, l
m
) – вероятность наличия на УД
1
…УД
m
соответственно k
1
…k
m
соединений внутри кластера и l
1
…l
m
соединений к транспортной сети. Исходя из формулы Энгсета [2] для конкретного і-го УД вероятность наличия k
і
+ l
і
соединений равна:
0 1
2
p
C
С
i
i
i
i
i
i
i
k
k
l
N
l
l
N



,
(7.79) где р
0
– вероятность отсутствия соединений. Тогда для стационарного режима имеем:
,
1
)
,
;...;
,
(
1 2
1 1
1
i
i
i
i
i
i
i
k
k
l
N
l
l
N
m
i
m
m
C
С
C
l
k
l
k
P






(7.80) где константу С находим из условия нормировки
,
1
)
,
;...
,
(
1 1


m
m
l
k
l
k
P
а сумма включает все состояния, где выполняется:
,
0
i
i
i
v
l
k



1
V
l
m
i
i



Расчеты по формуле (7.80) громоздкие. Их можно упростить, если предположить симметричность кластера сети доступа, т. е. задать N
i
= N, v
i
= v для всех значений и (0  и  m). Упрощение достигается за счет появления множества состояний кластера, в каждом из которых все состояния одинаково вероятны [15].
Рассмотрим кластер доступа с учетом допущений относительно его симметричности. Обозначим i
kl
– количество УД, имеющих по k соединений внутри кластера и по l соединений к транспортной сети. Для отдельно взятого
УД вероятность наличия k + l соединений определяется формулой (7.79) с учетом того, что N
i
= N. Тогда вероятность того, что из всех УД i
00
имеют по
k = 0 и l = 0 соединений, i
01
– по k = 0 и l = 1 соединений и так далее:
).
0
,...,
0
,
(
)
(
)
(
)
(
)
,...,
,
(
0 0
1 0
0 01 01 00 00 00 1
0 0
2 0
0 1
0 1
1 2
1 0
1 0
0 0
2 0
0 01 00
m
P
C
C
C
C
C
C
C
C
С
i
i
i
P
v
v
v
k
k
v
l
kl
i
v
v
N
N
i
i
m
i
N
N
i
i
m
i
N
N
i
m
v



 

















(7.81)
Здесь Р(m, 0...0...…0)=Р
0
– вероятность того, что в кластере нет ни одного соединения, т.е. i
00
= m. Можно показать, что

63
!
!...
!
!
0 01 00 0
1 0
0 01 00 00
v
i
i
m
i
i
m
i
m
i
i
i
m
C
C
С
v
v
k
k
v
l
kl

 






Тогда уравнение (7.81) запишется так:
)
(
!
!
)
,...,
,
(
0 1
2 0
0 0
0 0
01 00
P
C
C
i
m
i
i
i
P
kl
i
k
k
l
N
l
l
N
v
l
l
v
k
l
v
k
v
l
kl
v











 
 
(7.82)
Таким образом, вероятности макросостояний кластера доступа описываются мультиномиальним распределением. Очевидны следующие ограничения:
0  i
kl
 m, 0  k + l  v,
,
0 0
m
i
v
l
l
v
k
kl

 



0 0
0
V
li
v
l
l
v
k
kl


 



Вероятность наличия j соединений (0  j  V) от всех т УД в общем направлении



j
j
v
j
P
m
B
i
i
i
P
P
,
)
(
)
,...,
,
(
0 0
01 00
(7.83) где суммирование выполняется по
k
и
l, что удовлетворяет уравнению
0 0
j
li
v
l
l
v
k
kl

 



Преобразуем выражение для В
j
(т) в вид, удобный для расчетов.
Поскольку вероятность наличия j соединений в общем направлении можно представить произведением вероятности наличия
l соединений от определенного УД на вероятность наличия j – l соединений от других т – 1 УД, то имеет место рекуррентное соотношение:
).
1
(
)
(
0 0
1 2









 
m
B
C
C
m
B
l
j
v
l
l
v
k
k
k
l
N
l
l
N
j
(7.84)
С учетом уравнения
 
 
 











v
l
l
v
k
kl
rs
v
s
s
v
r
l
v
k
v
l
kl
i
m
i
s
m
i
m
j
0 0
0 0
0 0
!
)!
1
(
!
!
получим второе рекуррентное соотношение:
).
1
(
)
(
!
)!
1
(
)
(
1 1
0 2
1 2
0 0
0 0
0 0
























 
 
 
 

m
B
C
sC
m
C
C
i
m
i
s
m
m
jB
s
j
r
v
s
s
v
r
r
s
N
s
s
N
i
k
k
l
N
l
l
N
v
l
l
v
k
l
v
k
v
l
kl
rs
v
s
s
v
r
j
j
kl
(7.85)
После нескольких преобразований получим:
)
1
(
)
(
1 0
1 2
1 1
1 2
r
s
v
r
r
s
N
s
j
s
v
s
s
N
j
C
m
B
C
mN
m
jB















(7.86)

64
С учетом уравнения
1 1
1





l
N
l
N
l
N
C
C
C
из (7.86) надо
)
1
(
)
1
(
)
(
0 0
1 1
2 1
1 2
1 0
2 0
1




























v
s
s
v
r
r
r
s
N
s
j
s
s
N
r
s
v
r
r
s
N
s
j
s
v
s
s
N
j
C
m
B
C
mN
C
m
B
C
mN
m
mNB
(7.87)
Из сравнения (7.86) и (7.87) следует, что:
)
1
(
)
(
)
(
1 0
2 0
1
r
s
v
r
r
s
N
s
j
s
v
s
s
N
j
C
m
B
C
mN
m
B
j
mN













Тогда
)
1
(
)
1
(
)
(
)]
1
(
[(
1 1
0 1
1 1
0 2
1 2
1 1
0 1
1 2
0 1
2 1
2






































r
s
v
r
r
s
N
s
j
v
s
s
s
N
r
s
v
r
r
s
N
s
j
s
v
s
s
N
j
C
m
B
C
mN
C
m
B
C
mN
m
B
j
mN
(7.88)
Рассмотрим первое слагаемое правой части выражения (7.88):
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1 1
1 2
0 1
2 1
1 0
1 1
0 2
1 2
1 0
1 1
2 0
1 2
s
v
s
v
s
N
s
j
s
v
s
s
N
r
s
v
r
r
s
N
s
j
v
s
s
s
N
r
s
v
r
r
s
N
s
j
s
v
s
s
N
C
m
B
C
mN
C
m
B
C
mN
C
m
B
C
mN














































(7.89)
Обозначим s + 1 = s
’
. Тогда в формуле (7.89)
).
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
1
(
1 1
1 1
1 2
1 2
1 0
1 2
1 1
1 1
2 1
1 0
1 1
0 2
1 2
m
jB
C
m
B
mNC
m
jB
C
m
B
C
mN
C
m
B
C
mN
j
v
N
v
j
v
v
N
j
r
r
s
N
s
v
r
s
j
s
v
s
s
N
r
s
v
r
r
s
N
s
j
v
s
s
s
N




















































(7.90)
Рассмотрим второе слагаемое правой части выражения (7.88) и при этом обозначим r – 1 = r
’
. Тогда
).
(
)
1
(
)
1
(
1 1
1 1
0 1
2 1
1 2
1 1
1 0
1 1
1 0
2 1
2 1
m
jB
C
m
B
C
mN
C
m
B
C
mN
j
r
v
s
s
v
r
r
s
N
s
j
s
s
N
r
s
v
r
r
s
N
s
j
v
s
s
s
N













































(7.91)

65
Подставив (7.89), (7.90) и (7.91) в (7.88), получим:
).
(
)
1
(
)
(
)
(
)]
1
(
[(
1 1
1 1
2 0
1 2
1 2
m
jB
C
m
B
C
mN
m
jB
m
B
j
mN
j
s
v
s
v
s
N
s
j
s
v
s
s
N
j
j





















Учитывая то, что
s
v
v
N
s
v
s
N
s
N
C
C
C
С
1 1
1






и заменив индекс суммирования предыдущим обозначением, получим третье, наиболее удобное для расчетов рекуррентное соотношение:
0
)],
1
(
)
(
)
1
[(
1
)
(
1 1
0 2
1 1
1 2



















j
l
j
l
v
v
l
l
l
v
v
N
j
j
B
m
B
C
mNC
m
B
j
mN
m
jB
(7.92)
Для j = 0 из (7.87) нужно, чтобы
)
1
(
)
(
0 1
0 0





v
k
k
k
N
С
m
B
m
B
Очевидно также, что
)
1
(
0 1
0




v
k
k
k
N
С
B
Эту сумму можно выразить через формулу Энгсета, приведенную в таблицах [2]:
)
,
,
(
0 1
1 1







v
k
k
k
N
v
v
N
C
C
v
N
Тогда для 1  i  т
получим:
,
)
,
,
(
)
1
(
1 1
0




v
N
C
B
v
v
N
)]
1
(
[
)
(
0 0
i
B
i
B

(7.93)
С учетом (7.93) из выражения (7.92) последовательно определяются все значения B
j
(m), по которым рассчитываются характеристики качества обслуживания абонентов в схеме рис. 7.5. Обозначим:
 P
i
– вероятность занятости i условных каналов для рассмотренного УД при связи внутри кластера;
 П
j
– вероятность занятости j условных каналов по направлению к транспортной сети;
 P
ij
– вероятность одновременной занятости i условных каналов для рассмотренного УД при связи внутри кластера и j условных каналов по направлению к транспортной сети.
Можно показать, что имеют место соотношения:
,
)
(
)
1
(
0 0
1 0
2














V
x
x
j
l
V
j
l
i
l
i
l
N
i
l
l
l
N
i
m
B
m
B
C
C
P
,
)
(
)
(
0



V
x
x
j
j
m
B
m
B
П
(7.94)

66
)
(
)
1
(
0 1
0 2












V
x
x
l
j
l
i
l
i
l
N
i
l
l
l
N
ij
m
B
m
B
C
C
P
Отсюда определяются потери по времени P
t
– вероятность занятости всех доступных условных каналов. Для связи внутри кластера P
t
=P
v
. Для связи в направлении транспортной сети величина потерь по времени определяется суммой двух вероятностей – вероятности P
v
и вероятности занятости V
условных каналов при условии, что для рассмотренного УД есть хотя бы один свободный условный канал связи с транзитным
УД, то есть








1 0
v
i
vV
V
v
iV
v
t
P
П
P
P
P
P
. Однако реально важны потери не по времени, а по требованиями, обусловленные отношением интенсивностей потоков потерянных и входных требований. Для конкретного УД интенсивность потоков требований внутри кластера 
к
и внешнего 
в
соответственно равны:






v
i
i
к
P
i
N
0 1
)
(
,






v
i
i
в
P
i
N
0 2
)
(
(7.95)
Интенсивности потерянных требований составляют:
 для потока внутри кластера –

1
(N – v)Р
v
;
 для внешнего потока на участке к транзитному узлу –

2
(N – v)Р
v
;
 на участке к транспортной сети –





1 0
2
)
(
v
i
iV
P
i
N
Тогда потери требований Р
В
для связи внутри кластера и для внешней связи составляют соответственно:
,
)
(
1
к
v
Bк
P
v
N
P




)
(
)
(
1 0
2 2
к
v
i
iV
v
Bв
P
i
N
P
v
N
P










(7.96)
Для любой УД интенсивности обслуженной нагрузки при связи внутри кластера и внешней связи соответственно равны:



v
i
i
к
iP
Y
0
,



V
j
в
jPj
Y
0
(7.97)
Таким образом, используя рекуррентные соотношения (7.92) и (7.93), можно рассчитать потери требований и соответствующую им пропускную способность (Эрл) сети мультисервисного абонентского доступа. Рекуррентный метод расчета количества условных каналов позволяет оценить погрешность приближенных методов расчета, поскольку дает точные результаты в частном случае симметричности сети доступа, то есть при одинаковых емкостях узлов доступа и одинаковых параметрах абонентской нагрузки каждого узла.

67