Приложения теории массового обслуживания. Учебник для студентов высших учебных заведений, обучаемых по направлениею

• Название: Учебник для студентов высших учебных заведений, обучаемых по направлениею
• Анкор: Приложения теории массового обслуживания
• Дата: 30.06.2022
• Размер: 1.27 Mb.
• Имя файла: lozhkovskii_ag_teoriia_massovogo_obsluzhivaniia_v_telekommun.pdf
• Тип: Учебник; #621010
• страница: 2 из 14

1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1.1 Случайные величины и вероятностные распределения
Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая законно- мерности массовых случайных явлений. Исследуемые явления рассматрива- ются в абстрактной форме, независимо от их конкретной природы. Т.е. теория вероятностей рассматривает не сами реальные явления, а их упрощенные схемы – математические модели. Предметом теории вероятностей есть матема- тические модели случайных явлений. При этом, под случайным явлением понимают явление, предсказать результат которого невозможно (при неодно- кратном воспроизведении одного и того же опыта оно протекает каждый раз по-иному). Примеры случайных явлений: выпадения герба при подбрасывании монеты, выигрыш по лотерейному билету, результат измерения какой-нибудь величины, продолжительность исправной работы телевизора и т.п.
Цель теории вероятностей – осуществление прогноза в области случайных явлений, влияние на ход этих явлений, контроль их, ограничение сферы действия случайности. Сейчас нет практически ни одной области науки, в которой в той или иной степени не применялись бы вероятностные методы.
Задачи, результат которых нельзя предугадать с уверенностью, требуют изучения не только основных закономерностей, определяющих явление в целом, но и случайных, второстепенных факторов. Выявленные в таких задачах
(опытах) закономерности называют статистическими (или вероятностными).
Статистические закономерности исследуются методами специальных матема- тических дисциплин – теории вероятностей и математической статистики.
Вероятность P является мерой возможности осуществления результата или события A. Формально мера вероятности является функцией Р(A), ставящей в соответствие результатам некоторые числа и удовлетворяющей требованиям:
 0 ≤ Р(A) ≤ 1 для любого результата A;
 Р(A) = 1 в случае достоверного результата;

1
)
(
1



n
i
i
A
P
, n – все пространство выборки возможных результатов.
Функция, ставящая в соответствие каждому результату из пространства выборки некоторое действительное число, называется случайной величиной.
Дискретными называются случайные величины, принадлежащие конечному или счетному множеству значений. Непрерывные случайные величины могут принадлежать континууму значений. Например, интервал времени между поступающими на обслуживание требованиями непрерывная случайная величина, а количество требований, поступающих за интервал времени – дискретной.
Вероятностный закон распределения представляет собой некоторое правило задания вероятности для каждого из всех возможных значений случайной переменной. Правило задания вероятности имеет две разных формы в зависимости от того, случайная величина дискретна или непрерывна.
Для дискретной случайной величины K функция вероятности (закон

10 распределения) задается вероятностями каждого ее значения k
i
:
)
(
)
(
i
i
k
p
k
K
P


, где
1
)
(


i
i
k
p
Для каждого возможного значения k
i
закон распределения устанавливает конкретную вероятность того, что дискретная случайная величина K принимает значения k
i
Кумулятивная функция распределения F(k) описывается таким образом:
)
(
)
(
k
K
P
k
F


Функция F(k) определяет вероятность того, что случайная величина K примет значения не больше, чем k. Кумулятивная функция распределения связана с функцией вероятности так:



k
k
i
i
k
p
k
F
)
(
)
(
Для непрерывных случайных величин необходима иная форма представ- ления вероятностного распределения. Поскольку случайная величина может принимать любое из бесконечного множества значений, то вероятность конкретного значения равна нулю. Данное значение не невозможно, а оно крайне невероятно вследствие бесконечного количества альтернативных значений. При этом вероятность того, что случайная величина примет значения в интервале между точками a и b, в большинстве случаев не будет равна нулю.
Функция вероятности для дискретного случая заменяется на непрерывную функцию плотности вероятности f(x), обусловленную следующим выражением:




b
a
dx
x
f
b
X
a
P
)
(
)
(
, где
1
)
(





dx
x
f
Функция плотности вероятности при интегрировании на интервале от a до b дает вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение из этого интервала.
Функция распределения F(x) для непрерывных случайных величин определяется таким образом:






x
dx
x
f
x
F
x
X
P
)
(
)
(
)
(
Функция F(x) определяет вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значения, не больше чем x.
Плотность вероятности f(x) непрерывной случайной величины X определяется как производная от ее функции F(x):
)
(
'
)
(
x
F
x
f

Наиболее распространенными вероятностными распределениями дискретной случайной величины являются распределения Пуассона, Бернулли, биномиальное, геометрическое и логарифмическое распределения.
Наиболее распространенными распределениями непрерывной случайной величины являются распределения Гаусса (нормальный закон), Парето,
Пирсона, Вуйбулла, Релея, гамма-распределение, логарифмически нормальное, экспоненциальное распределения.

11
1.2 Математическое ожидание и моменты распределения
Часто необходимо охарактеризовать случайную величину одним или несколькими значениями, которые подытоживают информацию, имеющуюся в функции распределения вероятности. Математическим ожиданием случайной величины X, записываемым как M(X), есть значение, рассчитанное так:



n
i
i
i
p
x
X
M
0
)
(
, если величина X дискретная;
(1.1)



0
)
(
)
(
dx
x
xf
X
M
, если величина X непрерывная.
(1.2)
Математическим ожиданием является взвешенная по вероятности средняя величина всех возможных значений X, что определяет меру центральности распределения. Поэтому эта величина часто называется средним
значением x .
Полным комплектом числовых характеристик случайной величины X являются моменты распределения или математическое ожидание функций этих случайных величин. В частности, математическое ожидание функции X
k
называется k-м начальным моментом или начальным моментом k-го порядка случайной величины X и определяется так:




n
i
i
k
k
k
p
x
X
M
m
i
0
)
(
, где X дискретная;




0
)
(
)
(
dx
x
f
x
X
M
m
k
k
k
, где X непрерывная.
Из этого видно, что при k = 1 первый начальный момент m
1
случайной величины X является ее математическим ожиданием или средним значением x .
Вариацией k-го начального момента есть k-й центральный момент μ
k
, что определяется выражением
]
)
[(
1
k
m
X
M

Итак, для вычисления k-го центрального момента случайной величины X
от ее значения отнимается первый начальный момент m
1
или среднее значение
x . Центральные моменты k-го порядка для дискретной и непрерывной случайной величины X соответственно определяются так:













n
i
k
i
n
i
i
k
i
k
x
x
n
p
x
x
0 0
1
;





0
)
(
)
(
dx
x
f
x
x
k
k
Особое значение имеет второй центральный момент μ
2
, называемый
дисперсией X и записываемый как D(X) или σ
2.
Дисперсия случайной величины
X есть мерой разброса ее вероятностного распределения. Если дисперсия случайной величины мала, то вся выборка лежит около математического ожидания. Квадратный корень из дисперсии σ
2 называется стандартным
отклонением случайной величины или среднеквадратичным отклонением σ.

12
Центральный момент третьего порядка μ
3
, нормированный такой же степенью среднеквадратичного отклонения, т.е. σ
3
, называется асимметрией случайной величины Sk и для дискретной величины









n
i
i
x
x
n
Sk
0 3
3 3
1
Центральный момент четвертого порядка μ
4
, нормированный такой же степенью среднеквадратичного отклонения, т.е. σ
4
, называется эксцессом
случайной величины Ex и для дискретной величины


3 1
0 3
4 4








n
i
i
x
x
n
Ex
Моменты более высоких порядков используются редко. Если по заданным законам распределения случайной величины моменты распределения можно определить однозначно, то обратная задача решаема не всегда.
Коэффициенты асимметрии (показатель сдвига вправо-влево вершины функции распределения или скошенности) и эксцесса (показатель остроты пика этой функции) используются для сравнения закона распределения любой случайной величины с нормальным (Гаусса) законом, для которого Sk = Ex = 0.
Их можно определить через центральные моменты соответствующего порядка:



2 3
2 3
Sk
;
3 2
2 4




Ex
На диапазон разброса отдельных значений случайной величины от ее среднего значения указывает дисперсия, но в случае сравнения этих диапазонов для двух случайных величин разной размерности лучше использовать нормированное значение дисперсии случайной величины ее средним значением, которое называется коэффициентом вариации случайной величины:
x
v
x


.
Статистическая обработка массива значений случайной величины позволяет компактно описать ее, понять структуру данных, провести классификацию, увидеть закономерности в потоке случайных событий. Вместо рассмотрения всех значений исследуемой величины составляются описательные статистики, которые дают общее представление о значениях, которые принимает эта величина. Среди них основными являются следующие: максимум, минимум и среднее значение, дисперсия и стандартное отклонение, медиана, квартили и квантили, мода, асимметрия и эксцесс.
Для исследования связи между двумя случайными величинами вычисляется ковариация и коэффициент корреляции между ними. При этом могут использоваться ранговые корреляции, статистика Спирмена R, статистика
Кендалла,
Гамма-статистика, корреляция
Пирсона.
Для определения, является ли результат исследования действительно значимым, оценивается мера уверенности в его правильности по уровню значимости, для чего используется метод наименьших квадратов.

13
2 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ТЕЛЕТРАФИКА
Возрастающая сложность ТКС и сетей требует разработки адекватных методов расчета с целью получения достоверных оценок их характеристик, реализации задач их оптимизации относительно выбранного критерия качества обслуживания и разработки соответствующих алгоритмов управления ними.
Математические модели ТКС и сетей строятся на основе теории систем
массового обслуживания (СМО). СМО обслуживают требования, поступающие в систему через случайные интервалы времени и продолжительность обслужи- вания также может быть случайной. Методами теории СМО исследуется влияние случайных факторов на процессы функционирования системы.
Одним из классов СМО есть системы распределения информации (СРИ), характеризующиеся наличием распределительной сети, подобно транспортным системам или системам энергоснабжения. При передаче информации аналогом распределительной сети есть телекоммуникационная сеть, состоящая из каналов передачи информации и узлов коммутации. Совокупность этих средств связывает источники информации с их потребителями. По каналам связи передается основная информация, являющаяся непосредственно предметом передачи и распределения, и вспомогательная, необходимая в процессе управления работой всей системы. Узлы коммутации обеспечивают соединение каналов передачи информации и в них по определенным алгоритмам обслуживаются сообщения телекоммуникационных служб сети. При этом обслуживание сообщения отождествляется с требованием на его передачу или обработку и примерами их могут быть вызовы телефонной станции или пакеты пакетного коммутатора. В качестве СРИ может рассматриваться не только сеть связи в целом, но и пучок каналов или линий, отдельный коммутатор или весь коммутационный узел.
Количественная сторона процессов обслуживания потоков требований
(трафика) в СРИ исследуется теорией телетрафика (другое название – теория распределения информации).
Предметом теории телетрафика есть установление зависимостей между характером потока требований, количеством каналов обслуживания, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью определения наилучших путей управления этими процессами.
Задача теории телетрафика состоит в установлении зависимости результирующих показателей работы СРИ (например, среднего количества требований, которые обслуживаются; среднего количества требований, которые ожидают обслуживания в очереди и т.д.) от входных показателей (количества каналов в системе, параметров входного потока требований и т.д.).
Результирующими показателями или исследуемыми характеристиками СРИ являются показатели эффективности, которые описывают, способная ли данная система справиться с потоком требований.
Методами теории телетрафика решаются задачи оптимизации, направленные на определение такого варианта системы, при котором будет

14 обеспечен минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание, и простоев каналов обслуживания.
Теория телетрафика – это набор вероятностных методов анализа, синтеза и оптимизации СРИ, т.е. проектирования новых и эксплуатации действующих сетей связи. Без решения задач анализа, синтеза и на этой основе оптимизации
ТКС и сетей невозможно их дальнейшее развитие.
Задача анализа – это установление зависимостей и значений величин, которые характеризуют качество обслуживания, от характеристик и параметров входного потока требований, схемы и дисциплины обслуживания. Задача анализа возникает в тех случаях, когда телекоммуникационная сеть или система уже построена и функционирует. Целью анализа является получение реальных характеристик СРИ, сравнение их с проектными характеристиками, предоставление объективных оценок качества работы системы. Анализ позволяет определить причины снижения качества обслуживания и выдать рекомендации относительно устранения этих причин. Иногда анализ делается после внесения изменений в систему или после подключения новых источников нагрузки
(реконструкции).
Разработка методов оценки качества функционирования ТКС и сетей является основной целью теории телетрафика.
Задача синтеза – это определение структурных параметров сети или, например, схемы коммутационного узла этой сети при заданных потоках, дисциплине и качестве обслуживания. Задача синтеза в определенной мере является обратной к задаче анализа.
Синтез
(проектирование) телекоммуникационных сетей может состоять из нескольких этапов. С позиций системной методологии, основными этапами решения задачи синтеза сетей и систем связи есть: анализ проблемы; определение системы; определение целей, критериев, ресурсов; определение альтернативных вариантов; оценка, сравнение и выбор вариантов; реализация решения. Задачи проектирования и планирования ТКС и сетей возникают из необходимости заблаговременного выбора технических средств, которые обеспечивают удовлетворение потребностей в передаче информационных сообщений. Целью проектирования есть оптимальная структура сети на продолжительную перспективу с учетом текущего состояния развития телекоммуникационной техники и технологий.
Задачи оптимизации близки к задачам анализа и синтеза. При проектировании ТКС и сетей они формулируются так: определить структурные параметры или алгоритмы функционирования сети (системы), для которых:
 при заданных потоках, качестве и дисциплине обслуживания стоимость или объем сети (системы) минимальные;
 при заданных потоках, дисциплине обслуживания и стоимости качественные показатели функционирования сети
(системы) оптимальные.
При эксплуатации ТКС и систем задача оптимизации формулируется как задача управления потоками требований или структурой сети для достижения наилучших показателей качества функционирования. Из-за больших вычисли- тельных трудностей задачи оптимизации ТКС и сетей решаются на ЭВМ.

15
Анализ, синтез и оптимизация СРИ выполняются с применением теории вероятностей, математической статистики,комбинаторных и алгебраических методов, теории множеств, теории графов, принципов системного подхода
(системотехники) и др.
Основными методами решения задач в теории телетрафика являются аналитический, числовой и метод статистического моделирования.
Аналитические методы позволяют решать задачи теории телетрафика при относительно простых структуре системы, характеристиках потока и дисциплинах обслуживания. Рассматриваются все возможные состояния системы, обусловленные, например, положением каждой точки коммутации или количеством занятых каналов.
Такие состояния называются микросостояниями системы. Когда поступает новое требование, заканчивается любая из фаз работы управляющего устройства по установлению соединения или заканчивается соединение, система изменяет свое микросостояние. Для каждого микросостояния записывается уравнение статистического равновесия.
Решая систему этих уравнений, находят точное решение задачи в границах принятой модели.
Числовые методы используют специальные алгоритмы для нахождения приближенных решений итерационными или другими методами. Они применяются для сложных систем, где количество микросостояний настолько велико, что решить систему уравнений статистического равновесия невозможно даже с помощью быстродействующих ЭВМ. Поэтому применяется так называемый макроподход. В сложной системе с большим количеством микросостояний по некоторому признаку микросостояния объединяются в классы – макросостояния. Путем усреднения определяются интенсивности переходов из одних макросостояний в другие. Для каждого макросостояния записывается уравнение статистического равновесия. Решением системы урав- нений выводятся приближенные формулы для вероятностей макросостояний.
Методы статистического моделирования наиболее универсальные и пригодны для решения задач практически любой сложности. Метод состоит в построении математической модели системы, реализация которой осущест- вляется в виде программы для ЭВМ. Моделирование позволяет получить числовые результаты, характеризующие качество обслуживания при заданных параметрах потока, схеме и дисциплине обслуживания. Однако, из-за специфики метода он менее удобный по сравнению с аналитическим и числовым методами при определении неявных закономерностей функциони- рования или зависимостей между отдельными характеристиками системы.
Для детального анализа исследуемых СРИ возможно объединение аналитических и числовых методов с методом статистического моделирования.
Например, если для малых значений параметров системы удается получить решение точными аналитическими методами и проанализировать предельные случаи при асимптотическом поведении характеристик исследуемой системы, то потом полученные сведения дополняются результатами статистического моделирования в области реальных значений параметров системы.

16