Приложения теории массового обслуживания. Учебник для студентов высших учебных заведений, обучаемых по направлениею

• Название: Учебник для студентов высших учебных заведений, обучаемых по направлениею
• Анкор: Приложения теории массового обслуживания
• Дата: 30.06.2022
• Размер: 1.27 Mb.
• Имя файла: lozhkovskii_ag_teoriia_massovogo_obsluzhivaniia_v_telekommun.pdf
• Тип: Учебник; #621010
• страница: 4 из 14

5 НАГРУЗКА И ЕЁ ВИДЫ
Суммарное время обслуживания всех входных требований является
нагрузкой для серверов (приборов, линий, каналов) СМО. Чем большее это время – тем больше нагрузки „обслуживают” серверы системы. В теории телетрафика различают входную (traffic offered), обслуженную (traffic carried) и
избыточную (overflow traffic) нагрузку. Избыточная нагрузка – это разность между входной и обслуженной нагрузками, которая для систем с потерями будет потерянной нагрузкой.
5.1 Определение и интенсивность нагрузки
Нагрузка измеряется в часо-занятиях. Например, нагрузка в одно часо- занятие (1 ч.-зан.) получается непрерывным обслуживанием требований одним сервером на протяжении одного часа или двумя серверами сроком по полчаса каждый и т.д. Поэтому параметр „нагрузка” не дает четких сведений относительно напряженности работы системы, поскольку неизвестно, за какое время она выполнена. Суммарное время обслуживания всех требований равное, например, 20 ч.-зан. может свидетельствовать о работе в системе 1 сервера на протяжении 20 часов или 20 серверов на протяжении 1 часа каждый. Поэтому введено понятия интенсивности обслуженной нагрузки Y, определяемая как приведенное время нагрузки. Она рассчитывается как суммарное время обслуживания всех требований x
i
на интервале времени t
2
– t
1
, разделенное на величину этого интервала (t
2
– t
1 может равняться, например, одному часу):
1 2
t
t
x
Y
i



(5.1)
Количество занятых серверов системы, используемых при обслуживании требований входного потока, тоже есть нагрузкой системы. При поступлении требования в систему один из серверов занимается, а в конце его обслуживания
– этот сервер освобождается и требование „выходит из системы”. Из-за случайности данных событий в моменты поступления требований или моменты их выхода в системе будет занято разное количество серверов. Таким образом, в каждое мгновенье количество занятых серверов системы или количество одновременно обслуживаемых требований определяет мгновенное значение обслуженной нагрузки. Поскольку это количество случайно, то основной характеристикой обслуженной нагрузки есть её среднее значение, которое так же, как и (5.1), называется интенсивностью обслуженной нагрузки Y. Если в многосерверной системе за время его работы от t
1
до t
2
с любой периодичностью, например τ = 1 с, n = (t
2
– t
1
) / τ раз вычислить (сканировать) количество занятых серверов C
i
и в итоге рассчитать их среднее значение



n
i
i
C
n
Y
1 1
,
(5.2) то оно однозначно совпадет со значением, рассчитанным для этой же системы по формуле (5.1).

25
На диаграмме рис. 5.1. наглядно показано функционирование 4-серверной системы при обслуживании входной нагрузки. На оси ординат отображены точки, символизирующие номера определенных серверов системы, а на оси абсцисс – время, на которое каждый из этих серверов занимается требованием для его обслуживания. Здесь отображена только обслуженная нагрузка и не видно того, поступали в систему еще требования или нет.
Рисунок 5.1 – Диаграмма функционирования 4-серверной системы
Суммарное время занятия всех серверов системы определится так
(индексами обозначенные номера серверов, отображенных на оси ординат): c
21
)
c
2
c
2
c
2
(
)
c
4
(
)
c
5
(
)
c
3
c
3
(
4 3
2 1









i
x
Интенсивность обслуженной нагрузки за 10 с в соответствии с формулой
(5.1) составит Y = 21/10 = 2,1 у.е. (условных единиц).
Среднее количество занятых серверов по интервалам сканирования 1 с
(i – это номер отсчета сканирования на оси абсцисс) составит: у.о.
1
,
2 10 2
2 2
1 3
3 1
2 3
2 10 1
9 0














i
i
C
Y
Таким образом, интенсивность обслуженной нагрузки – это приведенное время суммарного обслуживания всех требований (5.1) или среднее значение количества занятых серверов (5.2). Оба способа определения интенсивности обслуженной нагрузки могут использоваться в средствах измерения параметров нагрузка на действующих сетях связи. Среднее количество занятых серверов еще называют загруженностью системы.
За единицу измерения интенсивности нагрузки принят 1 Эрланг (1 Эрл), которую названо в честь основателя теории телетрафика А.К. Эрланга.
Нагрузка на серверы системы есть результат общего процесса поступления и обслуживания требований. Поскольку требования поступают в систему через случайные интервалы времени (или количество требований за условную единицу времени случайно) и продолжительность обслуживания также может быть случайной, то и нагрузка является случайной величиной. В связи с этим интенсивность входной нагрузки Λ нормируется средним временем обслуживания требований
x
(не путать с интенсивностью потока
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10 t, c
1 2
3 4
0

26 поступления требований λ). Эта интенсивность определяется в соответствии со вторым способом представления математической модели входного потока требований, например (4.5), но при этом за условную единицу времени t
берется средняя продолжительность обслуживания требований
x
. Таким образом, интенсивность входной нагрузки
x



(5.3)
Для случая, приведенного на рис. 4.3, величина
λt = 10 есть интенсивностью входной нагрузки в 10 Эрл только при условии, если средняя продолжительность обслуживания
20

 t
x
с. Итак, интенсивность входной
нагрузки Λ, измеренная в Эрлангах, это среднее количество требований, поступающее в систему за среднее время обслуживания одного требования.
Иначе, это есть интенсивность потока поступления требований λ, отнесенная к средней продолжительности обслуживания
x
Интенсивность входной нагрузки можно определять как интенсивность обслуженной нагрузки в предположении того, что потери требований входного потока отсутствуют, то есть каждому поступившему требованию предоставляется свободный сервер при любых условиях (например, в системе бесконечное количество серверов).
В основном при исследованиях рассматриваются стационарные потоки требований. В этом случае как входная, так и обслуженная нагрузки описываются стационарными случайными процессами и их статистические параметры в вероятностном смысле не зависят от времени.
Интенсивность входной нагрузки Λ – это среднее количество требований, поступающих в систему за среднее время обслуживания одного требования.
Интенсивность обслуженной нагрузки Y – это среднее количество занятых серверов. В обоих случаях данные интенсивности являются оценками нагрузок, которые являются случайными величинами.
В соответствии с (1.1) математическое ожидание, а поэтому и среднее количество требований, поступающее в систему за среднее время обслуживания одного требования, можно рассчитать так:





0
i
i
iP ,
(5.4) где P
i
– вероятность того, что за интервал времени
x
t 
в систему поступит точно i требований, где i = 0, …, ∞.
В соответствии с (1.1) математическое ожидание, а поэтому и среднее количество занятых серверов системы, можно рассчитать так



m
j
j
jp
Y
0
,
(5.5) где P
j
– вероятность того, что в произвольный момент времени в системе из m серверов занято точно j серверов, где j = 0, …, m.
Математическое ожидание интенсивности нагрузки иногда называют просто нагрузкой, что есть неточным определением.

27
5.2 Дисперсия и скученность нагрузки
Кроме интенсивности нагрузки (математическое ожидание) важной характеристикой случайной величины нагрузки есть дисперсия, которая для входной и обслуженной нагрузки соответственно определится так:









0 2
i
i
P
i
D
;






m
i
j
Y
P
Y
j
D
0 2
(5.6)
Если поток входных требований будет экспонентным (4.4), то создаваемая им нагрузка, как случайная величина, имеет распределение
Пуассона (4.5). Для случайной величины, описываемой этим распределением, характерна одинаковость первых двух моментов, то есть дисперсия нагрузки
D
Λ
совпадает с ее математическим ожиданием Λ. Такая нагрузка называется пуассоновской нагрузкой первого рода и она считается условно равномерной.
Если дисперсия нагрузки меньше ее математического ожидания, то нагрузку называют сглаженной, поскольку ее отклонения от среднего значения будут меньше, чем для пуассоновской нагрузки.
Нагрузка, где дисперсия больше математического ожидания называется скученной. В этом случае требования поступают не равномерно: для некоторых интервалов времени количество входных требований мало, а на других интервалах их количество велико, т.е. требования группируются на коротких интервалах времени. Например, скученная нагрузка создается так называемым избыточным потоком требований, которые потеряны (не обслужены) в системе
А і поступают для обслуживания на другую систему В. Этот поток есть прерывистым, так как на систему B требования могут поступать только при условии, что в системе А отсутствуют свободные серверы.
Скученность нагрузки S определяется как отношение дисперсии нагрузки
D
Λ
к ее математическому ожиданию Λ:



D
S
.
(5.7)
Величина S, называемая коэффициентом скученности нагрузкии, равна единице для пуассоновского потока, меньше единицы для выровненного
(сглаженного) потока и больше единицы для скученного (избыточного) потока нагрузки.
Если на серверы системы поступают сразу n потоков требований, то интенсивность объединенного потока будет равна сумме математических ожиданий
Λ
і.
Для статистически независимых потоков дисперсия объединенного потока будет равна сумме дисперсий D
i
соответствующих нагрузок. Таким образом, математическое ожидание Λ и дисперсия D
Λ
суммарной нагрузки рассчитываются по следующим формулам:






n
i
i
0
;




n
i
i
D
D
0
(5.8)
Следует различать скученность входной и обслуженной нагрузок.
Безусловно, S
Λ
> S
Y
, поскольку в системе обслуживается только часть входной нагрузки, да и обслуженная нагрузка сглаживается системой.

28
6 ХАРАКТЕРИСТИКИ КАЧЕСТВА ОБСЛУЖИВАНИЯ
Для любой телекоммуникационной системы важна оценка степени удовлетворения потребности в обслуживании, или качество обслуживания
(QoS – Quality of Service). В теории телетрафика качество обслуживания потока требований характеризуется возможностью немедленного обслуживания требования или продолжительностью ожидания начала обслуживания. Из математической модели СРИ следует, что эти возможности определяются избранной дисциплиной обслуживания требований. Поэтому для каждой дисциплины обслуживания требований присущий определенный набор основных и вспомогательных характеристик качества обслуживания.
6.1 Системы с потерями
Из экономических соображений СРИ проектируются с дисциплиной обслуживания с потерями, где требованию, поступившему в систему в момент отсутствия свободных обслуживающих устройств, отказывается в обслуживании и оно сразу же теряется. Основной количественной оценкой качества обслуживания при этом есть вероятность потери требования
P
В
(B – blocking). Вероятность P
В
на отрезке времени (t
1
, t
2
) определяется как отношение количества потерянных за это время требований С
В
(t
1
, t
2
) к общему количеству требований, поступившим за одно и то же время в систему С(t
1
, t
2
):
)
,
(
)
,
(
2 1
2 1
t
t
C
t
t
C
P
В
В

(6.1)
Вспомогательными характеристиками QoS есть вероятность потери нагрузки (количество требований за условную единицу времени) и вероятность потерь по времени, которые используются редко. Вероятность потери нагрузки определяется как отношение интенсивности утраченной нагрузки ко входной, а вероятность потерь по времени – это суммарная доля времени из промежутка времени (t
1
, t
2
), в котором были заняты все серверы системы.
Среднее количество требований в системе N характеризует степень загруженности системы и совпадает со средним количеством занятых серверов, а это есть интенсивность обслуженной нагрузки Y. Все другие требования, поступившие при занятости всех серверов, теряются и в систему не попадают.
Среднее время пребывания требования в системе T совпадает со средним временем обслуживания требования
x
Для систем с потерями интенсивность обслуженной нагрузки меньше входной нагрузки на величину ΛP
B
, то есть
)
1
(
B
P
Y



Величина ΛP
B
является интенсивностью избыточной нагрузки, и ее поток по своей структуре существенно отличается от поступающего в систему потока нагрузки более неравномерным характером.

29
6.2 Системы с очередями
Для количественной оценки качества обслуживания систем с очередью рассчитывают такие основные характеристики:
 вероятность ожидания P
w>0
(среднюю долю задержанных требований);
 среднюю длину очереди Q;
 среднюю продолжительность ожидания задержанных требований t
q
;
 среднюю продолжительность ожидания любого требования W.
Вероятность P
w>0
за время (t
1
, t
2
) определяется как отношение количества требований, попавших за этот отрезок времени в очередь С
Q
(t
1
, t
2
) к общему количеству требований, поступившими за то же время в систему С(t
1
, t
2
):
)
,
(
)
,
(
2 1
2 1
0
t
t
C
t
t
C
P
Q
w


(6.2)
Длина очереди – ключевой параметр качества обслуживания (и показатель эффективности функционирования СРИ). Определяется количеством ожидаю- щих обслуживания требований. Длина очереди зависит от того, когда и сколько требований поступило в систему, сколько времени истрачено на обслуживание требований. Поскольку длина очереди есть случайная величина, в качестве показателя длины очереди используется ее математическое ожидание Q.
Среднее время ожидания в очереди t
q
образуется за счет задержки требований в очереди. Оно зависит от количества требований, находящихся в данный момент в очереди, времени окончания обслуживания всех предыдущих требований и т.д.
Среднее время ожидания в системе W представляет собой среднее значение времени ожидания, отнесенное ко всем требованиям – задержанным и не задержанным. Этот параметр вводится из-за того, что не все требования попадают в очередь, а часть из них при наличии свободных серверов системы обслуживается немедленно.
Вспомогательными характеристиками QoS естьсреднее количество требований в системе N и среднее время пребывания требования в системе T.
Они являются вспомогательными, поскольку их можно рассчитать из основных характеристик.
Среднее количество требований в системе N определяет степень загруженности системы и при неограниченной очереди состоит из среднего количества поступающих в систему требований Λ, и тех, что ожидают в очереди Q:
Q
N



(6.3)
Среднее время пребывания требования в системе T – время, проведенное одним требованием в системе и усредненное по всем требованиям
(задержанным и не задержанным). Оно состоит из среднего времени обслуживания
x
и среднего времени ожидания требований в системе W:
W
x
T


(6.4)
Для каждой модели потока все характеристики качества обслуживания находятся в определенной функциональной зависимости.

30
6.3 Комбинированные системы (с очередями и потерями)
Система с очередью при ограничениях на максимальное количество требований, находящихся в очереди, или на максимальное время ожидания начала обслуживания является системой с комбинированной дисциплиной обслуживания. При ограниченном количестве мест ожидания (максимальная длина очереди) в случае поступления требования в момент, когда все серверы и места ожидания заняты предыдущими требованиями, данное требование теряется. При ограниченном времени ожидания если требование находится в очереди свыше допустимого времени, то ему отказывается в обслуживании, и оно тоже теряется. Поэтому, кроме характеристик QoS чистой системы с очередями, рассчитываются и такие:
– вероятность потери требования P
B
(при ограниченной длине очереди);
– вероятность ожидания свыше допустимого времени P
W > t
Вероятность P
W>t
зависит от дисциплины обслуживания очереди и самым простым для расчета есть случай упорядоченной очереди FIFO. Эту вероят- ность еще называют условными потерями, поскольку требование, ожидающее свыше допустимого времени t, может утратить актуальность для пользователя.