Учебник и практикум под редакцией профессора Н. Ш. Кремера Рекомендовано Министерством образования
 Скачать 0.67 Mb.
|
|
Ф И Н А Н С О В Ы Й У Н И В Е Р С И Т Е Т ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ Р О С С И Й С К О Й ФЕДЕРАЦИИ Н. Ш. Кремер, М. Н. Фридман ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА УЧЕБНИК И ПРАКТИКУМ Под редакцией профессора Н. Ш. Кремера Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по экономическим специальностям Рекомендовано УМО по образованию в области математических методов в экономике в качестве учебника для студентов, обучающихся по специальности 061800 «Математические методы в экономике» и другим экономическим специальностям Книга доступна в электронной библиотечной системе biblio-online.ru Москва • Юрайт • 2014 УДК 51 ББК 22-143я73 К79 Рецензенты: Никишкин В. А. — профессор, заведующий кафедрой высшей математики Московского государственного университета эконо- мики, статистики и информатики (МЭСИ); Солодовников А. С. — заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор Финансового универси- тета при Правительстве Российской Федерации. Кремер Н. Ш. К79 Линейная алгебра : учебник и практикум / Н III. Кремер, М. Н. Фридман ; под ред. Н. Ш. Кремера. — М. : Издательство Юрайт, 2014. — 307 с. — Серия: Бакалавр. Базовый курс. ISBN 978-5-9916-2608-8 Эта книга не только учебник, но и полноценное руководство к решению задач. Основные положения учебного материала допол- няются задачами с решениями и для самостоятельной работы, рас- крывается экономический смысл математических понятий, приво- дятся простейшие приложения линейной алгебры в экономике. Существенным отличием книги является наличие в ней наряду с традиционными контрольными заданиями (20 вариантов, более 130 задач) тестовых заданий (около 150). Это позволяет эффек- тивно использовать учебник при проведении контрольных работ, тестировании студентов, приеме зачетов и экзаменов, а также при самоконтроле. Соответствует Федеральному государственному образователь- ному стандарту высшего профессионального образования третьего поколения. Для студентов вузов, обучающихся по направлениям экономики и управления, а также для бакалавров и магистров, аспирантов и экономистов, преподавателей и лиц, занимающихся самообразова- нием. УДК 51 ББК 22.143я73 © Кремер Н. Ш„ Фридман М. Н„ 2013 ISBN 978-5-9916-2608-8 © ООО «Издательство Юрайт», 2014 Оглавление Предисловие 7 Глава 1. Матрицы и определители 11 ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС 1.1. Основные сведения о матрицах 11 1.2. Операции над матрицами 13 1.3. Определители квадратных матриц 22 1.4. Свойства определителей 27 1.5. Обратная матрица 31 1.6. Ранг матрицы 34 ПРАКТИКУМ 1.7. Действия с матрицами 41 1.8. Определители квадратных матриц 43 1.9. Обратная матрица 47 1.10. Ранг матрицы 49 1.11. Задачи с экономическим содержанием 52 Контрольные задания по главе 1 «Матрицы и определители» .... 57 Тест 1 59 Глава 2. Системы линейных уравнений 61 ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС 2.1. Основные понятия и определения 61 2.2. Система n линейных уравнений с n переменными. Метод обратной матрицы и формулы Крамера 63 2.3. Метод Гаусса 67 2.4. Система m линейных уравнений с n переменными 72 2.5. Простейшие матричные уравнения 76 2.6. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений 78 2.7. Модель Леонтьева — модель многоотраслевой экономики (балансовый анализ) 82 4 ПРАКТИКУМ 2.8. Система n линейных уравнений с n переменными 87 2.9. Система m линейных уравнений с n переменными. Метод Жордана — Гаусса. Фундаментальная система решений 95 2.10. Модель Леонтьева — модель многоотраслевой экономики 101 Контрольные задания по главе 2 «Системы линейных уравнений» 103 Тест 2 104 Глава 3. Элементы матричного анализа 107 ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС 3.1. Векторы на плоскости и в пространстве 107 3.2. Понятия n-мерного вектора и векторного пространства... 113 3.3. Размерность и базис векторного пространства. Изоморфизм 115 3.4. Переход к новому базису 121 3.5. Линейные подпространства 123 3.6. Евклидово пространство 127 3.7. Ортогональное дополнение 132 3.8. Линейные операторы 134 3.9. Образ и ядро, ранг и дефект линейного оператора 138 3.10. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора 140 3.11. Квадратичные формы 145 3.12. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием 148 3.13. Закон инерции квадратичных форм. Знакоопределенные квадратичные формы 151 3.14. Линейная модель обмена. Понятие о теореме Фробениуса—Перрона 154 ПРАКТИКУМ 3.15. Векторы на плоскости и в пространстве 158 3.16. Векторные пространства 162 3.17. Линейные подпространства. Евклидовы пространства .... 168 3.18. Линейные операторы 172 3.19. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) 174 3.20. Квадратичные формы 178 5 Контрольные задания по главе 3 «Элементы матричного анализа» 183 Тест 3 185 Глава 4. Элементы аналитической геометрии 187 ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС 4.1. Системы координат. Простейшие задачи 187 4.2. Уравнение линии на плоскости 189 4.3. Уравнение прямой 190 4.4. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой 195 4.5. Окружность и эллипс 198 4.6. Гипербола и парабола 202 4.7. Полярные координаты 209 4.8. Плоскость и прямая в пространстве 211 4.9. Поверхности второго порядка в пространстве 216 4.10. Выпуклые множества точек 218 4.11. Геометрический смысл решений неравенств и систем неравенств 225 ПРАКТИКУМ 4.12. Простейшие задачи. Уравнение прямой на плоскости 227 4.13. Кривые второго порядка 236 4.14. Полярные координаты 244 4.15. Плоскость и прямая в пространстве 245 4.16. Геометрическое решение неравенств и систем неравенств 252 Контрольные задания по главе 4 «Элементы аналитической геометрии» 255 Тест 4 256 Глава 5. Комплексные числа. Многочлены 258 ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС 5.1. Арифметические операции над комплексными числами. Комплексная плоскость 258 5.2. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа 260 5.3. Многочлены 265 ПРАКТИКУМ 5.4. Действия над комплексными числами 267 6 5.5. Разложение многочленов на множители 269 Контрольные задания по главе 5 «Комплексные числа. Многочлены» 271 Тест 5 272 Контрольные задания н тесты по дисциплине «Линейная алгебра» Учебно-тренировочные тесты по дисциплине «Линейная алгебра» 274 Итоговые контрольные задания по дисциплине «Линейная алгебра» 281 Итоговый тест 284 Литература 287 Ответы 289 Предметный указатель 300 ПРЕДИСЛОВИЕ Учебник написан в соответствии с требованиями федераль- ных государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования третьего поколения (ФГОС ВПО-3) по направлениям экономики и управления (менед- жмента). Он соответствует Примерной программе дисциплины «Линейная алгебра», рекомендованной НМС по математике Минобрнауки РФ по этим направлениям. При подготовке учебника для экономических вузов авторы руководствовались принципом повышения уровня фундамен- тальной математической подготовки студентов с усилением ее прикладной экономической направленности. Там, где это возможно, даются геометрический и экономический смыслы математических понятий, рассматриваются простейшие при- ложения линейной алгебры в экономике (модели Леонтьева, международной торговли и т.п.). Такие приложения рассчитаны на уровень подготовки студентов первого курса и почти не тре- буют дополнительной (экономической) информации. Данный учебник подготовлен на основе учебника [6] тех же авторов, в котором линейная алгебра составляет один раздел. Новые требования ФГОС ВПО-3, выделение в нем линейной алгеб- ры в отдельную дисциплину и соответственно представление учеб- ного материала в виде отдельного учебника потребовало углубле- ния его содержания, расширения круга рассматриваемых вопро- сов. Так, по сравнению с учебником [6] в данный учебник включен ряд новых понятий и дополнительных вопросов, таких как норма матрицы, метод дополнения до базиса, изоморфизм линейных пространств, линейные подпространства, линейная оболочка, алгоритм ортогонализации, ортогональное дополнение, образ и ядро, ранг и дефект линейного оператора, ортогональное преоб- разование квадратичных форм, поверхности второго порядка и др. Тема «Выпуклые множества точек» (параграфы 4.10, 4.11, 4.16), строго говоря, не входит в стандартный курс линейной алгебры для экономических вузов. Ее чаще рассматривают во введении к курсам исследования операций, методов оптималь- ных решений, математического программирования (см., напри- мер, [11]). Тем не менее авторы сочли возможным включить эту тему в данный учебник, полагая, что ее изучение в рамках базовой дисциплины «Линейная алгебра» будет способствовать 8 Предисловие более рациональному использованию в экономических вузах учебных часов по курсу математики и более эффективному освоению прикладных математических дисциплин. В результате дополнений существенно расширены гл. 3 и 4, дополнена гл. 5, введены коррективы в гл. 1 и 2. Известно, что изучение базовых математических дисциплин в вузе осуществляется по апробированной многолетней прак- тикой схеме: лекции — практические занятия — контрольные работы (типовые расчеты, тестирование) — экзамен. Данный учебник написан в соответствии с этой схемой. Каждая глава учебника содержит «Теоретический курс», в котором раскрывается основное содержание темы и приводятся иллюстрирующие учебный материал решенные практические примеры и задачи, и «Практикум», в котором представлено достаточно большое число типовых и более сложных комплекс- ных задач с решениями и для самостоятельной работы. В конце каждой главы по представленной в ней теме приводятся как традиционные тематические контрольные задания (три вари- анта но пять — девять задач), так и тест (10—15 тестовых заданий). Кроме того, в целом по дисциплине «Линейная алгебра» даются учебно-тренировочные тесты 1 (три теста по 20 тестовых заданий), традиционные итоговые контрольные задания (пять вариантов по восемь задач) и итоговый тест (24 тестовых задания). Учебно-тренировочные тесты могут быть эффективно использованы для контроля (самоконтроля, экспресс-про- верки) уровня подготовленности студентов перед курсовыми экзаменами (зачетами), для проверки их остаточных знаний при подготовке к аттестации (аккредитации, комплексной про- верке) вуза по циклу математических и естественно-научных дисциплин, при решении вопроса о перезачете дисциплины студентам при переводе из другого вуза и т.п. Более сложные тематические (по главам) и итоговые задания и тесты моіут быть эффективно использованы для аудиторных и домашних контрольных работ, типовых расчетов, собеседований, на зачетах и экзаменах (в частности, письменных), при тестировании студентов (в том числе компьютерном), а также для самоконтроля. Такое построение книги потребовало сделать изложение теоре- тического материала более кратким, отказаться без существенного ущерба от малозначащих, громоздких или повторяющихся по своим идеям доказательств утверждений, отличающихся от ранее прове- денных лишь техническими деталями. Вместе с тем авторы стре- мились к более тщательной проработке базовых понятий и доказа- 1 Учебно-тренировочные тесты (с. 274—280) подготовлены доц. И. М. Эйсымонт. 9 Предисловие тельств положений, изучение которых предусмотрено настоящим курсом. Для лучшего усвоения учебного материала приведены учебные алгоритмы (схемы) решения определенного круга задач. Особенностью предлагаемого «Практикума» является то, что часть задач и примеров имеет экономическое содержание. Наи- более экономически значимые задачи, представляющие само- стоятельный интерес, выделены в отдельные параграфы. Для оценки уровня подготовленности студентов в настоящее время все шире используются методы тестирования, в частно- сти, с применением современных компьютерных технологий. Существенным отличием данной книги от имеющихся на книж- ном рынке изданий является то, что наряду с традиционными контрольными заданиями (20 вариантов, более 130 задач) в нем предлагается достаточно большое число тестовых заданий (9 тестов, около 150 тестовых заданий). При подготовке тестовых заданий авторы ориентировались в основном на открытую форму, когда тестируемый сам полу- чает ответ в виде произвольного числа (целого или записанного в виде десятичной дроби) — одного или нескольких, допуска- емых при компьютерном тестировании. Такая форма заданий исключает возможность угадывания правильного ответа, под- сказок для его получения. Приведены также задания в закрытой форме, когда тести- руемый должен выбрать один или несколько вариантов ответа, предложенных на выбор. При этом авторы отказались от аль- тернативных тестовых заданий (с двумя вариантами ответа) из-за высокой (0,5) вероятности угадывания правильного ответа. В ряде тестов использовались тестовые задания на выяв- ление соответствия между элементами двух групп с ответами в виде соответствующих пар «число — буква», характеризующих порядковые номера элементов в каждой группе. В отдельных случаях применялись тестовые задания на установление правильной последовательности элементов с отве- тами в виде последовательности номеров этих элементов. Изучение представленного в учебнике материала будет спо- собствовать формированию общекультурных и профессиональных компетенций, предусмотренных ФГОС ВПО-3 по направлениям экономики и управления (менеджмента), таких как: владение культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения; способность осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых для решения поставленных экономичес- ких задач; способность выполнять необходимые для составле- ния экономических разделов планов расчеты, обосновывать их и представлять результаты; владение методами количественного 10 Предисловие анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования; умение использовать соответствующий математи- ческий аппарат и инструментальные средства для обработки, ана- лиза и систематизации информации но теме исследования и др. Согласно ФГОС ВПО-3 по направлениям экономики и управ- ления в результате изучения дисциплины «Линейная алгеб- ра» обучающийся должен знать основные понятия матрич- ного анализа, векторной алгебры и аналитической геометрии, используемые в экономических исследованиях и при изучении других дисциплин естественнонаучного и профессионального циклов; уметь применять методы линейной алгебры и строить математические модели прикладных (экономических) задач; владеть навыками решения задач линейной алгебры. Для усвоения учебного материала каждой главы рекомен- дуется вначале изучить теоретические основы с иллюстриру- ющими их решенными задачами и примерами, приведенными в «Теоретическом курсе», затем разобрать типовые и более сложные задачи с решениями и решить часть задач для само- стоятельной работы из «Практикума». А для проверки уровня подготовленности по материалам каждой главы и дисциплине «Линейная алгебра» в целом рекомендуется выполнить тема- тические и итоговые контрольные и тестовые задания. При подготовке задач (а их в учебнике более 700) были использованы различные пособия и методические материалы. Часть задач и, в частности, тестовые задания составлены спе- циально для настоящего учебника. Наряду с авторами в подго- товке ряда задач гл. 2 для самостоятельной работы и тестовых заданий принимала участие доц. А. С. Гулько. Ответы всех задач, контрольных и тестовых заданий по главам (кроме итоговых по дисциплине) приводятся в конце учебника. Нумерация задач (как с решениями, так и для самостоятельной работы) единая но каждой главе (начинается в «Теоретическом курсе» и продолжается в «Практикуме»). В конце книги дан развернутый предметный указатель. Авторы учебника: Н. Ш. Кремер, профессор — предисловие, гл. 2—5, М. Н. Фридман, доцент — гл. 1. |