Питон для нормальных. Учебник Москва Базальт спо макс пресс 2018

• Название: Учебник Москва Базальт спо макс пресс 2018
• Анкор: Питон для нормальных
• Дата: 05.10.2022
• Размер: 2.54 Mb.
• Имя файла: sysoeva_sysoev_piton_dlya_normalnyh_ch1.pdf
• Тип: Учебник; #715174
• страница: 13 из 14

z =
2xy x
2
+ y
2
(6.1)
Решение задачи 21
f r
o m
numpy i
m p
o r
t
*
f r
o m
m a t p l o t l i b . pyplot i
m p
o r
t
*
f r
o m
m a t p l o t l i b . mlab i
m p
o r
t
*
f r
o m
m p l _ t o o l k i t s . mplot3d i
m p
o r
t
Axes3D
x = arange ( -3 , 3 , 0.01)
y = arange ( -3 , 3 , 0.01)
X , Y = m e s h g r i d (x , y )
Z = 2* X * Y /( X **2+ Y **2)
c o n t o u r f (X , Y , Z )
savefig ( ’ plot . png ’)
fig = figure ()
ax = Axes3D ( fig )
ax . p l o t _ s u r f a c e (X , Y , Z )
savefig ( ’3 D . png ’)
show ()
6.9
Задания на построение графиков
Для каждого из заданий данного раздела следует выполнить 1 вариант с номером (n − 1)%m + 1, где n — номер в списке группы, а m — число заданий.
Задание 18 Постройте графики следующих функций, используя шаг вы- борки данных по абсциссе из задания 17:

6.9. Задания на построение графиков
157 1. x
2
на отрезке x ∈ [−2; 2];
2. x
3
на отрезке x ∈ [−2; 2];
3. x
4
на отрезке x ∈ [−2; 2];
4. cos(2πt) на отрезке t ∈ [−10; 10];
5.
1
t cos(2πt) на отрезке t ∈ [1; 10];
6. e
−
t cos(2πt) на отрезке t ∈ [−10; 10];
7. 4 sin(πt + π/8) − 1 на отрезке t ∈ [−10; 10];
8. 2 cos(t − 2) + sin(2 ∗ t − 4) на отрезке t ∈ [−20π; 10π];
9. ln(x + 1) на отрезке x ∈ [0; e − 1];
10. log
2
(|x|) на отрезке x ∈ [−4; 4] за исключением точки x = 0;
11. 2
x на отрезке x ∈ [−2; 2];
12. e x
на отрезке x ∈ [−2; 2];
13. 2
−
x на отрезке x ∈ [−2; 2];
14.
3
√
x на отрезке x ∈ [1; 125];
15.
5
√
x на отрезке x ∈ [1; 32].
Задание 19 Для построенного в рамках задания 18 графика измените:
• цвет линии;
• тип линии и маркеров;
• шаг выборки данных.
Далее введите сетку. Сохраните полученный график в файл, опробуйте сохранять файл в разных форматах: png, pdf, jpg, eps.
Задание 20 Постройте семейство функций на одном графике различны- ми цветами:
1. степенные многочлены с целыми степенями от 1 до 6 на отрезке [−1; 1];
2. синусоиды y = sin(ωt) с частотами ω = 2π, ω = 3π, . . . , ω = 8π на отрезке t ∈ [−1; 1];
3. синусоиды y = sin(2πt + φ
0
) с начальными фазами φ
0
= 0, φ
0
= π/6, . . . ,
φ
0
= 5π/6 на отрезке t ∈ [−1; 1];

158
Глава 6. Графики. Модуль matplotlib
4. логарифмические функции log
2
(x), ln(x) и log
10
(x) на отрезке x ∈ [1; 10];
5. гиперболические функции sh(x), ch(x) и th(x) на отрезке x ∈ [−10; 10], для их вычисления воспользуйтесь их выражением через экспоненту.
Задание 21 Для построенного в задании 20 графика сделайте сетку и ле- генду. Перестройте графики так, чтобы каждая кривая располагалась на одном графике с помощью команды subplot, легенду уберите, а её текст переместите в название соответствующего графика. Графики располо- жите на полотне:
• в одни столбец;
• в два столбца;
• в 3 столбца;
• в одну строку.
Перестройте графики из задания каждый в своём окне. Сделайте так,
чтобы эти графики автоматически сохранялись каждый в свой файл.
Задание 22 Постройте круговую диаграмму, которая показывала бы до- ли от общего числа студентов вашей группы, сдавших сессию на:
1. одни пятёрки,
2. пятёрки и четвёрки,
3. с тройками, но без задолжностей,
4. с задолжностями, сумевших в итоге пересдать,
5. несдавших и отчисленных (если такие имеются).
Задание 23 Постройте закрашенную контурную диаграмму и трёхмер- ный график для следующих функций двух переменных, определённых в прямоугольной области x ∈ [−3; 3], y ∈ [−3; 3]:
1. z = x
2
+ y
2
,
2. z = x
2
− y
2
,
3. z = x
3
+ y
3
,
4. z = x
3
− y
3
,
5. z = x
2
− y
2
+ x,
6. z = x
2
− y
2
+ y,

6.9. Задания на построение графиков
159 7. z = x
2
+ y
2
+ x,
8. z = x
2
+ y
2
+ y,
9. z = sin(xy),
10. z = cos(xy),
11. z = tg(xy),
12. z = xy,
13. z = x − sin(xy),
14. z = x + cos(xy),
15. z =
px
2
+ y
2
Построенные графики сохраните в файлы с расширением png.

Глава 7
Библиотеки, встроенные в numpy
Исторически numpy имеет в своём составе 3 библиотеки численных мето- дов: linalg для задач линейной алгебры, fft для выполнения быстрого Фурье- преобразования и random для генерации случайных чисел. Хотя основным мо- дулем для научных и инженерных вычислений стал scipy, построенный на базе numpy
, поддержка этих трёх библиотек сохраняется из соображений обратной совместимости со старыми программами. Освоение возможностей этих библио- тек позволяет писать много полезных прикладных программ.
7.1
Элементы линейной алгебры
Библиотека linalg даёт возможность вычислять определители матриц, ре- шать системы линейных уравнений и задачу наименьших квадратов, произво- дить QR и SVD разложения. Вот пример простой программы, решающей систему линейных уравнений с помощью функции solve и вычисляющей определитель матрицы с помощью функции det из linalg:
f r
o m
numpy i
m p
o r
t
*
A = array ([[2 , 3] , [ -1 , 5]])
b = array ([ -7 , -16])
x = linalg . solve (A , b )
p r
i n
t
( x )
D = linalg . det ( A )
p r
i n
t
( D )
Результаты её работы легко проверить вручную и получить искомые решения:
[ 1. -3.]
13.0
Синтаксис функций solve и det простой и очевидный для тех, кто привычен к записи систем уравнений в матричной форме вида ˆ
Ax = b. Функция solve тре- бует 2 параметра: матрицу коэффициентов ˆ
A и вектор свободных членов (правая

7.1. Элементы линейной алгебры
161
часть системы уравнений) b. Результат выполнения функции — вектор искомых значений x. Функция det требует один параметр — матрицу, определитель кото- рой следует отыскать.
Кроме определителя для матриц можно вычислить собственные значения и собственные векторы матрицы (linalg.eig(a)), а также норму вектора или опе- ратора (linalg.norm(x[, ord, axis])). Уже реализованы все основные методы разложения матриц:
• inalg.cholesky(a) — разложение Холецкого; linalg.qr(a[, mode]) — QR
разложение; linalg.svd(a[, full_matrices, compute_uv]) — сингуляр- ное разложение; linalg.lstsq(a, b) — метод наименьших квадратов.
Используя возможности встроенной в модуль numpy библиотеки linalg, по- пробуем решить популярную задачу аппроксимации сток-затворной характери- стики полевого транзистора полиномиальной (параболой) и кусочно-линейной функцией. В данном случае, под аппроксимацией будем понимать замену изме- ренных пар значений (напряжение, ток) некоторою функцией ток(напряжение).
Предположим, что у нас есть результаты измерения тока стока i c
(список y)
при изменении напряжения на затворе U
ЗИ
(массив x). Данная вольт-амперная характеристика (ВАХ) показана на рис. 7.1. Программа для её отображения бу- дет иметь следующий вид:
f r
o m
numpy i
m p
o r
t
*
f r
o m
m a t p l o t l i b . pyplot i
m p
o r
t
*
f r
o m
m a t p l o t l i b i
m p
o r
t r c P a r a m s r c P a r a m s [ ’ font . sans - serif ’] = ’ L i b e r a t i o n Ђ Sans ’
x = arange (0 , -4.5 , -0.5)
y = [50 , 35 , 22 , 11 , 4 , 0 , 0 , 0 , 0]
plot (x , y , ’o ’ , color = ’ grey ’)
title ( ’Сток-затворная характеристика’)
xlabel ( r ’ $U_ {ЗИ} , В$ ’ , f o n t s i z e =18)
ylabel ( r ’ $i_ {с} , мкA$ ’ , f o n t s i z e =18)
xlim ( -5 , 0.5)
ylim ( -10 , 60)
show ()
Кусочно-линейная аппроксимация заменяет ВАХ транзистора двумя отрез- ками:
i с
=

α
0
+ α
1
U
ЗИ
при U
ЗИ
> U
отс
0 при U
ЗИ
< U
отс
(7.1)
Используя метод наименьших квадратов (lstsq) и функцию матричного умножения (dot), произведём аппроксимацию этих двух участков ВАХ прямыми линиями (рис. 7.2(а)). Разделим все измерения на два отрезка от 0 В до −1.5 В
(b = 0; e = 4) и от −2.5 В до −4 В (b = 5; e = 9). Выведем значения ко- эффициентов аппроксимации, для чего добавим следующий код перед выводом изображения на экран функцей show():

162
Глава 7. Библиотеки, встроенные в numpy
5 4
3 2
1 0
U ,
10 0
10 20 30 40 50 60
i
,
A
-
Рис. 7.1. Сток-затворная характеристика полевого транзистора (ВАХ) — резуль- таты эксперимента.
b =0; e =4; r =e - b a = ones (( r , 2))
a [: , 1] = x [1: r +1]
result = linalg . lstsq (a , y [ b : e ])
ya1 = dot (a , result [0])
plot ( x [ b : e ] , ya1 , color = ’ black ’)
p r
i n
t
( result [0])
b =5; e =9; r =e - b a = ones (( r , 2))
a [: , 1] = x [1: r +1]
result = linalg . lstsq (a , y [ b : e ])
ya1 = dot (a , result [0])
plot ( x [ b : e ] , ya1 , color = ’ black ’)
p r
i n
t
( result [0])
Результаты:
[ 62.
26.]
[ 0.
0.]
Функция lstsq возвращает кортеж, нулевой элемент которого — коэффициен- ты модели, первый элемент — сумма квадратов ошибок аппроксимации (разниц между реальными и аппроксимированными значениями). Теперь, используя те же функции из модуля numpy, произведём аппроксимацию полиномом второго порядка (7.2) для участка от 0 В до −3 В (b=0; e=7) (рис. 7.2(b)).
i с
= α
0
+ α
1
U
ЗИ
+ α
2
U
2
ЗИ
(7.2)
Для получения параболической аппроксимации (см. рис. 7.2(b)) нужно заме- нить код из предыдущего листинга на следующий:

7.2. Быстрое преобразование Фурье
163 5
4 3
2 1
0
U ,
10 0
10 20 30 40 50 60
i
,
A
-
5 4
3 2
1 0
U ,
10 0
10 20 30 40 50 60
i
,
A
-
(a)
(b)
Рис. 7.2. Различные подходы к аппроксимации вольт-амперной характеристики полевого транзистора: (a) — кусочно-линейная, (b) — параболическая.
b =0; e =7; r =e - b a = ones (( r , 3))
a [: , 1] = x [1: r +1]
a [: , 2] = x [1: r +1]**2
result = linalg . lstsq (a , y [ b : e ])
ya1 = dot (a , result [0])
plot ( x [ b : e ] , ya1 , color = ’ black ’)
p r
i n
t
( result [0])
Результат:
[ 69.71428571 41.38095238 6.0952381 ]
7.2
Быстрое преобразование Фурье
Библиотека fft позволяет быстро и легко делать все возможные варианты преобразования Фурье над массивами. Многие реализации преобразования Фу- рье до сих пор поддерживают только массивы длиною в 2
N
значений, где N —
целое число, иначе массив либо обрезается до ближайшей степени двойки, либо удлиняется нулями или периодически. Функции библиотеки fft поддерживают длины массивов, являющиеся степенями 2, 3, 5 и 7 или произвольными их про- изведениями. Самые востребованные методы библиотеки fft — rttf и irfft позволяют произвести прямое Фурье-преобразование над действительнозначны- ми данными и обратное Фурье-преобразование над комплексными данными, для которых половина значений является комплексно-сопряжёнными, причём сопря- жённые значения не включаются в обрабатываемый массив. Далее приведём при- мер расчёта Фурье-преобразования синусоиды:

164
Глава 7. Библиотеки, встроенные в numpy f
r o
m numpy i
m p
o r
t
*
t = arange (0 , 1 , 0.1)
x = sin (2* pi * t )
fx = fft . rfft ( x )
p r
i n
t
( fx )
Как и положено нормальной синусоиде, Фурье-образ которой рассчитан на це- лом числе периодов, наша имеет только одну существенно отличную от нуля компоненту:
[ -3.33066907e-16 +0.00000000e+00j
-1.72084569e-15
-5.00000000e+00j 7.35173425e-16 +4.55540506e-16j
-6.24151122e-16 -1.76490554e-15j 1.83186799e-15
+4.44089210e-16j
-1.11022302e-16 +0.00000000e+00j]
Все остальные значения порядка 10
−
15
или ещё меньше следует признать нулями с точностью вычислений.
Часто требуется построить спектр мощности или амплитудный спектр сиг- нала. С помощью numpy эта задача легко решается. Проще всего построить так называемую периодограмму — неусреднённую оценку спектра по одной реализа- ции. Для получения периодограммы мощности достаточно взять квадрат модуля
Фурье-образа. Чтобы мощность соответствовала коэффициентам при гармони- ках в исходном сигнале, нужно учесть нормировку. Дело в том, что большинство библиотечных функций Фурье-преобразования производят необходимое для ал- горитма суммирование, но не нормируют результат, поскольку в ряде случа- ев (например, при реализации преобразования Гильберта, для фильтрации, для расчёта функции когерентности) это излишне, а вычислительные ресурсы эко- номятся. Поэтому нормировку необходимо произвести вручную. Для реализации
Фурье-преобразования в numpy необходимая нормировка — половина длины ис- ходного ряда. Для начала можно построить амплитудный спектр моногармони- ческого сигнала (рис. 7.3(a)):
f r
o m
numpy i
m p
o r
t
*
f r
o m
m a t p l o t l i b . pyplot i
m p
o r
t
*
r c P a r a m s [ ’ font . sans - serif ’ ]=[ ’ L i b e r a t i o n Ђ Sans ’]
dt = 0.1
t = arange (0 , 100 , dt )
x = 2.5* sin (2* pi * t )
fx = fft . rfft ( x ) / (
l e
n
( x )/2) # нормировка на половину длины ряда fn = 1/(2* dt ) # частота Найквиста freq = l i n s p a c e (0 , fn ,
l e
n
( fx )) # массив частот plot ( freq ,
a b
s
( fx ) , color = ’ black ’)
title ( ’Амплитудный спектр’)
xlabel ( ’Частота, Гц’ );
ylabel ( ’Напряжение, В’)
ylim ([0 , 3])

7.2. Быстрое преобразование Фурье
165 0
1 2
3 4
5
,
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
,
0 1
2 3
4 5
,
0 2
4 6
8 10
,
2
(a)
(b)
Рис. 7.3. Амплитудный спектр моногармонического сигнала — (a) и спектр мощ- ности бигармонического сигнала — (b).
savefig ( ’ FFT . png ’)
show ()
Здесь частота Найквиста — максимально разрешимая частота в спектре, равная половине частоты выборки. Чтобы построить спектр, нужно рассчитать массив частот, для которых с помощью преобразования Фурье получены значения ам- плитуд гармоник. Это несложно сделать с помощью функции linspace из numpy,
если учесть, что минимальная частота равна 0, максимальная — частота Найк- виста, а число частот равно числу амплитуд.
Если умножить Фурье образ синусоиды на e iϕ
, а затем сделать обратное пре- образование, получится сигнал, сдвинутый по фазе относительно исходного на
ϕ. Чаще всего оказывается нужно сдвинуть сигнал на π/2 или −π/2. По пра- вилу Эйлера e
−
iπ/2
= cos(−π/2) + i sin(−π/2) = −i, то есть мы сдвинули фазу синусоиды на и получили вместо синуса минус косинус:
fy = fx * -1 j y = fft . irfft ( fy )
p r
i n
t
( y )
Вывод:
[-1.
-0.80901699 -0.30901699 0.30901699 0.80901699 1.
0.80901699 0.30901699 -0.30901699 -0.80901699]
Одинокая синусоида единичной амплитуды — не очень интересный пример.
Рассчитаем и построим график бигармонического сигнала, состоящего из двух синусоид разных амплитуд (рис. 7.3(b)):
f r
o m
numpy i
m p
o r
t
*

166
Глава 7. Библиотеки, встроенные в numpy t = arange (0 , 2 , 0.1)
x = 2* sin (2* pi * t ) + 3* cos ( pi * t )
Px =
a b
s
( fft . rfft ( x )/(0.5*
l e
n
( t )))**2
p r
i n
t
( Px )
Получаем коэффициент 9 при 2 члене, что соответствует квадрату амплитуды косинуса, и 4 при третьем — квадрат амплитуды синуса, остальные коэффици- енты — нули:
[1.97215226e-33 9.00000000e+00 4.00000000e+00 7.29696337e-31 2.30741815e-31 1.28189897e-31 1.04524070e-31 3.82597539e-31 3.86541844e-31 1.28189897e-31 1.97215226e-33]
Строим спектр мощности, увеличив длину ряда:
f r
o m
numpy i
m p
o r
t
*
f r
o m
m a t p l o t l i b . pyplot i
m p
o r
t
*
r c P a r a m s [ ’ font . sans - serif ’ ]=[ ’ L i b e r a t i o n Ђ Sans ’]
dt = 0.1
t = arange (0 , 100 , dt )
x = 2* sin (2* pi * t ) + 3* cos ( pi * t )
Px =
a b
s
( fft . rfft ( x )/(0.5*
l e
n
( t )))**2
fn = 1/(2* dt )
plot ( l i n s p a c e (0 , fn ,
l e
n
( Px )) , Px , color = ’ black ’)
title ( ’Спектр мощности’)
xlabel ( ’Частота, Гц’ );
ylabel ( r ’Мощность сигнала, В$ ^2 $ ’)
ylim ([0 , 10])
show ()
7.3
Генерация случайных чисел
Кроме стандартного модуля random есть библиотека random из модуля numpy,
которая позволяет генерировать псевдослучайные числа с самыми различными распределениями. Самыми распространёнными являются равномерное, которо- му соответствует функция uniform, и нормальное — функция normal. Обе эти функции имеют одинаковый синтаксис: сначала идут параметры распределения,
потом — число значений, которое нужно сгенерировать. Если это число не ука- зать, получится не массив, а одно случайное число. Для равномерного распреде- ления на отрезке [a; b] параметрами являются величины a и b, для нормального со средним µ и дисперсией σ
2
— величины µ и σ.
f r
o m
numpy i
m p
o r
t
*
x = random . uniform ( -2 , 1 , 10)
p r
i n
t
( x )
y = random . normal (5 , 0.5 , 10)

7.4. Примеры решения заданий
167
p r
i n
t
( y )
Вывод программы:
[-0.41038517 0.33622363 -0.24998561 0.58409914 0.96982331
-1.11356063 -0.43092171 -0.92418957 -0.49456604 -0.61474565]
[ 4.89630265 3.68213872 4.97692322 4.4682948 5.19711419 4.87308781 5.51078962 5.68588492 4.65777752 5.66324449]
Кроме генерации непрерывно распределённых чисел библиотека random под- держивает также множество дискретных распределений. Самое простое — равно- мерное дискретное, когда вероятности всех событий равны, задаётся с помощью функции randint:
f r
o m
numpy i
m p
o r
t
*
x = random . randint ( -10 , 10 , 10)
p r
i n
t
( x )
y = random . p e r m u t a t i o n ( x )
p r
i n
t
( y )
Синтаксис randint полностью повторяет таковой у uniform. В приведён- ном примере использована ещё одна весьма полезная на практике функция permutation
. Она случайно тасует элементы массива, но не меняет оригиналь- ный массив, как это видно из сравнения первой и второй строк вывода приве- дённой программы, а вместо этого создаёт новый:
[-9 -1 -7 2
8 -8 -4 5 -9 5]
[-9 -9 2 -4 5 -7 -1 5
8 -8]
В заключение раздела хотелось бы сказать, что numpy обладает гораздо бо- лее мощными и гибкими возможностями, чем это можно проиллюстрировать в рамках приведённого краткого ознакомительного курса. Но красота numpy и его удобство становятся очевидными только по мере использования.