Питон для нормальных. Учебник Москва Базальт спо макс пресс 2018

• Название: Учебник Москва Базальт спо макс пресс 2018
• Анкор: Питон для нормальных
• Дата: 05.10.2022
• Размер: 2.54 Mb.
• Имя файла: sysoeva_sysoev_piton_dlya_normalnyh_ch1.pdf
• Тип: Учебник; #715174
• страница: 8 из 14

благодаря чему каждый следующий рекурсивный вызов этой функции пользу- ется своим набором локальных переменных и за счёт этого работает корректно.
Оборотной стороной этого довольно простого по структуре механизма является то, что на каждый рекурсивный вызов требуется некоторое количество опера- тивной памяти компьютера, и при чрезмерно большой глубине рекурсии может наступить переполнение стека вызовов.
Вопрос о желательности использования рекурсивных функций в программи- ровании неоднозначен: с одной стороны, рекурсивная форма может быть струк- турно проще и нагляднее, в особенности, когда сам реализуемый алгоритм, по сути, рекурсивен. Кроме того, в некоторых декларативных или чисто функци- ональных языках (таких, как Пролог или Haskell) просто нет синтаксических средств для организации циклов, и рекурсия в них — единственный доступный механизм организации повторяющихся вычислений. С другой стороны, обычно рекомендуется избегать рекурсивных программ, которые приводят (или в некото- рых условиях могут приводить) к слишком большой глубине рекурсии. Так, ши- роко распространённый в учебной литературе пример рекурсивного вычисления факториала является, скорее, примером того, как не надо применять рекурсию,
так как приводит к достаточно большой глубине рекурсии и имеет очевидную реализацию в виде обычного циклического алгоритма.
4.6
Примеры решения заданий
Пример задачи 12 Напишите функцию, вычисляющую значения экспо- ненты по рекуррентной формуле e x
= 1 + x +
x
2 2!
+
x
3 3!
+ · · · =
P
∞
n=0
x n
n!
. Ре- ализуйте контроль точности вычислений с помощью дополнительного параметра ε со значением по умолчанию (следует остановить вычисле- ния, когда очередное приближение будет отличаться от предыдущего менее, чем на 10
−
10
).
Реализуйте вызов функции различными способами:

4.6. Примеры решения заданий
107
• с одним позиционным параметром (при этом будет использовано значение по умолчанию);
• с двумя позиционными параметрами (значение точности будет пе- редано как второй аргумент);
• передав значение как именованный параметр.
Решение задачи 12
d e
f
E X P O N E N T A (x , eps =10**( -10)):
ex = 1 # будущий результат dx = x # приращение i = 2
#
номер приращения w
h i
l e
a b
s
( dx ) > eps :
ex = ex + dx dx = dx * x / i i = i + 1
r e
t u
r n
ex
#
Основная программа
A =
f l
o a
t
(
i n
p u
t
( ’Введите показатель экспоненты: ’ ))
p r
i n
t
( E X P O N E N T A ( A ))
p r
i n
t
( E X P O N E N T A (A , 10**( -4)))
p r
i n
t
( E X P O N E N T A ( x = A )
Пример задачи 13 Сделайте из функции процедуру (вместо того, что- бы вернуть результат с помощью оператора return, выведите его внут- ри функции с помощью функции print).
Решение задачи 13
d e
f
E X P O N E N T A (x , eps =10**( -10)):
ex = 1 # будущий результат dx = x # приращение i = 2
#
номер приращения w
h i
l e
a b
s
( dx ) > eps :
ex = ex + dx dx = dx * x / i i = i + 1
p r
i n
t
( ex )
#
Основная программа
A =
f l
o a
t
(
i n
p u
t
( ’Введите показатель экспоненты: ’ ))
E X P O N E N T A ( A )

108
Глава 4. Функции
4.7
Задания на функции
Задание 11 Выполнять одно задание в зависимости от номера в спис- ке:
(n-1)%10+1
, где n — номер в списке. Напишите функцию, вычисляю- щую значения одной из следующих специальных функций по рекуррент- ной формуле. Реализуйте контроль точности вычислений с помощью до- полнительного параметра ε со значением по умолчанию (следует оста- новить вычисления, когда очередное приближение будет отличаться от предыдущего менее, чем на 10
−
10
). Реализуйте вызов функции различны- ми способами:
• с одним позиционным параметром (при этом будет использовано значение по умолчанию);
• с двумя позиционными параметрами (значение точности будет пе- редано как второй аргумент);
• передав значение как именованный параметр.
Сделайте из функции процедуру (вместо того, чтобы вернуть резуль- тат с помощью оператора return, выведите его внутри функции с по- мощью функции print).
1. Косинус cos(x) = 1 −
x
2 2!
+
x
4 4!
− · · · =
P
∞
n=0
(−1)
n x
2n
(2n)!
. Формула хорошо ра- ботает для −2π 6 x 6 2π, поскольку получена разложением в ряд Тейлора возле ноля. Для прочих значений x следует воспользоваться свойствами периодичности косинуса: cos(x) = cos(2 + 2πn), где n есть любое целое число, тогда cos(x) = cos(x%(2*math.pi)). Для проверки использовать функцию math.cos(x).
2. Синус sin(x) = x −
x
3 3!
+
x
5 5!
+ · · · =
P
∞
n=0
(−1)
n x
2n+1
(2n+1)!
. Формула хорошо ра- ботает для −2π 6 x 6 2π, поскольку получена разложением в ряд Тейлора возле ноля. Для прочих значений x следует воспользоваться свойствами пе- риодичности косинуса: sin(x) = sin(2 + 2πn), где n есть любое целое число,
тогда sin(x) = sin(x%(2*math.pi))
. Для проверки использовать функцию math.sin(x)
3. Гиперболический косинус ch(x) = 1 +
x
2 2!
+
x
4 4!
+ · · · =
P
∞
n=0
x
2n
(2n)!
. Для про- верки использовать функцию math.cosh(x).
4. Гиперболический косинус по формуле для экспоненты, оставляя только слагаемые с чётными n. Для проверки использовать функцию math.cosh(x).
5. Гиперболический синус sh(x) = x +
x
3 3!
+
x
5 5!
+ · · · =
P
∞
n=0
x
2n+1
(2n+1)!
. Для про- верки использовать функцию math.sinh(x).

4.7. Задания на функции
109 6. Гиперболический синус по формуле для экспоненты, оставляя только сла- гаемые с нечётными n. Для проверки использовать функцию math.sinh(x).
7. Натуральный логарифм (формула работает при 0 < x 6 2):
ln(x) = (x − 1) −
(x − 1)
2 2
+
(x − 1)
3 3
−
(x − 1)
4 4
+ · · · =
∞
X
n=1
(−1)
n−1
(x − 1)
n n
Чтобы найти логарифм для x > 2, необходимо представить его в виде ln(x) = ln(y · 2
p
) = p ln(2) + ln(y), где y < 2, а p натуральное число. Чтобы найти p и y, нужно в цикле делить x на 2 до тех пор, пока результат больше
2. Когда очередной результат деления станет меньше 2, этот результат и есть y, а число делений, за которое он достигнут – это p. Для проверки использовать функцию math.log(x).
8. Гамма-функция Γ(x) по формуле Эйлера:
Γ(x) =
1
x
∞
Y
n=1 1 +
1
n


x
1 +
x n
Формула справедлива для x /
∈ {0, −1, −2, . . . }. Для проверки можно исполь- зовать math.gamma(x). Также, поскольку Γ(x + 1) = x! для натуральных x,
то для проверки можно использовать функцию math.factorial(x).
9. Функция ошибок, также известная как интеграл ошибок, интеграл вероят- ности, или функция Лапласа:
erf(x) =
2
√
π
Z
x
0
e
−
t
2
dt =
2
√
π
∞
X
n=0
x
2n + 1
n
Y
i=1
−x
2
i
Для проверки использовать функцию scipy.special.erf(x).
10. Дополнительная функция ошибок:
erfc(x) = 1 − erf(x) =
2
√
π
Z
∞
x e
−
t
2
dt =
e
−
x
2
x
√
π
∞
X
n=0
(−1)
n
(2n)!
n!(2x)
2n
Для проверки использовать функцию scipy.special.erf(x).
Задание 12 (Танцы) Выполнять в каждом разделе по одному заданию в зависимости от номера в списке группы:
(n-1)%5+1
, где n — номер в списке.
1. два списка имён: первый — мальчиков, второй — девочек;
2. один список имён и число мальчиков, все имена мальчиков стоят в начале списка;

110
Глава 4. Функции
3. один список имён и число девочек, все имена девочек стоят в начале списка;
4. словарь, в котором в качестве ключа используется имя, а в каче- стве значения символ «м» для мальчиков и символ «ж» для девочек;
5. словарь, в котором в качестве ключей выступают символы «м» и
«ж», а в качестве соответствующих им значений — списки маль- чиков и девочек соответственно.
Проверьте работу функции на разных примерах:
• когда мальчиков и девочек поровну,
• когда мальчиков больше, чем девочек, и наоборот,
• когда есть ровно 1 мальчик или ровно 1 девочка,
• когда либо мальчиков, либо девочек нет вовсе.
Модифицируйте функцию так, чтобы она принимала второй необяза- тельный параметр — список уже составленных пар, участников кото- рых для составления пар использовать нельзя. В качестве значения по умолчанию для этого аргумента используйте пустой список. Проверьте работу функции, обратившись к ней:
• как и ранее (с одним аргументом), в этом случае результат должен совпасть с ранее полученным;
• передав все аргументы позиционно без имён;
• передав последний аргумент (список уже составленных пар) по име- ни;
• передав все аргументы по имени в произвольном порядке.
Задание 13 (Создание списков) Напишите функцию, принимающую от
1 до 3 параметров — целых чисел (как стандартная функция range).
Единственный обязательный аргумент — последнее число. Если поданы
2 аргумента, то первый интерпретируется как начальное число, второй
— как конечное (не включительно). Если поданы 3 аргумента, то тре- тий аргумент интерпретируется как шаг. Функция должна выдавать один из следующих списков:
1. квадратов чисел;
2. кубов чисел;
3. квадратных корней чисел;

4.7. Задания на функции
111 4. логарифмов чисел;
5. чисел последовательности Фибоначчи с номерами в указанных пре- делах.
Запускайте вашу функцию со всеми возможными вариантами по числу параметров: от 1 до 3.
Подсказка: проблему переменного числа параметров, из которых необязательным является в том числе первый, можно решить 2-мя способами. Во-первых, можно сопоставить всем параметрам нечисло- вые значения по умолчанию, обычно для этого используют специальное значение None. Тогда используя условный оператор можно определить,
сколько параметров реально заданы (не равны None). В зависимости от этого следует интерпретировать значение первого аргумента как: конец последовательности, если зада только 1 параметр; как начало, если за- даны 2 или 3. Во-вторых, можно проделать то же, используя синтаксис функции с произвольным числом параметров; в таком случае задавать значения по умолчанию не нужно, а полезно использовать стандартную функцию len, которая выдаст количество реально используемых пара- метров.
Задание 14 (Интернет-магазин) Решите задачу об интернет-торговле.
Несколько покупателей в течении года делали покупки в интернет- магазине. При каждой покупке фиксировались имя покупателя (строка)
и потраченная сумма (действительное число). Напишите функцию, рас- считывающую для каждого покупателя и выдающую в виде словаря по всем покупателям (вида имя:значение) один из следующих параметров:
1. число покупок;
2. среднюю сумму покупки;
3. максимальную сумму покупки;
4. минимальную сумму покупки;
5. общую сумму всех покупок.
На вход функции передаётся:
• либо 2 списка, в первом из которых имена покупателей (могут по- вторяться), во втором – суммы покупок;
• либо 1 список, состоящий из пар вида
(имя, сумма)
;
• либо словарь, в котором в качестве ключей используются имена, а в качестве значений — списки с суммами.

Глава 5
Массивы. Модуль numpy
Сам по себе «чистый» Python пригоден только для несложных вычислений.
Ключевая особенность Python — его расширяемость. Это, пожалуй, самый рас- ширяемый язык из получивших широкое распространение. Как следствие этого для Python не только написаны и приспособлены многочисленные библиотеки алгоритмов на C и Fortran, но и имеются возможности использования других программных средств и математических пакетов, в частности, R и SciLab, а так- же графопостроителей, например, Gnuplot и PLPlot.
Ключевыми модулями для превращения Python в математический пакет яв- ляются numpy и matplotlib.
numpy
— это модуль (в действительности, набор модулей) языка Python, до- бавляющая поддержку больших многомерных массивов и матриц, вместе с боль- шим набором высокоуровневых (и очень быстрых) математических функций для операций с этими массивами.
matplotlib
— модуль (в действительности, набор модулей) на языке про- граммирования Python для визуализации данных двумерной (2D) графикой (3D
графика также поддерживается). Получаемые изображения могут быть исполь- зованы в качестве иллюстраций в публикациях.
Кроме numpy и matplotlib популярностью пользуются scipy для специализи- рованных математических вычислений (поиск минимума и корней функции мно- гих переменных, аппроксимация сплайнами, вейвлет-преобразования), sympy для символьных вычислений (аналитическое взятие интегралов, упрощение матема- тических выражений), ffnet для построения искусственных нейронных сетей,
pyopencl
/pycuda для вычисления на видеокартах и некоторые другие. Возмож- ности numpy и scipy покрывают практически все потребности в математических алгоритмах.

5.1. Создание и индексация массивов
113
(a)
(b)
Рис. 5.1. Одномерный — (a) и двумерный — (b) массивы.
5.1
Создание и индексация массивов
Массив — упорядоченный набор значений одного типа, расположенных в па- мяти непосредственно друг за другом. При этом доступ к отдельным элемен- там массива осуществляется с помощью индексации, то есть через ссылку на массив с указанием номера (индекса) нужного элемента. Это возможно потому,
что все значения имеют один и тот же тип, занимая одно и то же количество байт памяти; таким образом, зная ссылку и номер элемента, можно вычислить,
где он расположен в памяти. Количество используемых индексов массива может быть различным: массивы с одним индексом называют одномерными, с двумя —
двумерными, и т. д. Одномерный массив («колонка», «столбец») примерно соот- ветствует вектору в математике (на рис. 5.1(а) a[4] == 56, т.е. четвёртый эле- мент массива а равен 56); двумерный — матрице (на рис. 5.1(b) можно писать
A[1][6] == 22
, можно A[1, 6] == 22). Чаще всего применяются массивы с од- ним или двумя индексами; реже — с тремя; ещё большее количество индексов встречается крайне редко.
Как правило, в программировании массивы делятся на статические и ди- намические. Статический массив — массив, размер которого определяется на момент компиляции программы. В языках с динамической типизацией таких,
как Python, они не применяются. Динамический массив — массив, размер кото- рого задаётся во время работы программы. То есть при запуске программы этот массив не занимает нисколько памяти компьютера (может быть, за исключе- нием памяти, необходимой для хранения ссылки). Динамические массивы могут поддерживать и не поддерживать изменение размера в процессе исполнения про- граммы. Массивы в Python не поддерживают явное изменение размера: у них, в отличие от списков, нет методов append и extend, позволяющих добавлять эле- менты, и методов pop и remove, позволяющих их удалять. Если нужно изменить размер массива, это можно сделать путём переприсваивания имени переменной,

114
Глава 5. Массивы. Модуль numpy обозначающей массив, нового значения, соответствующего новой области памя- ти, больше или меньше прежней разными способами.
Базовый оператор создания массива называется array. С его помощью можно создать новый массив с нуля или превратить в массив уже существующий список.
Вот пример:
f r
o m
numpy i
m p
o r
t
*
A = array ([0.1 , 0.4 , 3 , -11.2 , 9])
p r
i n
t
( A )
p r
i n
t
(
t y
p e
( A ))
В первой строке из модуля numpy импортируются все функции и константы.
Вывод программы следующий:
[0.1 0.4 3.
-11.2 9. ]

Функция array() трансформирует вложенные последовательности в много- мерные массивы. Тип элементов массива зависит от типа элементов исходной последовательности:
B = array ([[1 , 2 , 3] , [4 , 5 , 6]])
p r
i n
t
( B )
Вывод:
[[1 2 3]
[4 5 6]]
Тип элементов массива можно определить в момент создания с помощью име- нованного аргумента dtype. Модуль numpy предоставляет выбор из следующих встроенных типов: bool (логическое значение), character (символ), int8, int16,
int32
, int64 (знаковые целые числа размеров в 8, 16, 32 и 64 бита соответствен- но), uint8, uint16, uint32, uint64 (беззнаковые целые числа размеров в 8, 16, 32
и 64 бита соответственно), float32 и float64 (действительные числа одинарной и двойной точности), complex64 и complex128 (комплексные числа одинарной и двойной точности), а также возможность определить собственные типы данных,
в том числе и составные.
C = array ([[1 , 2 , 3] , [4 , 5 , 6]] , dtype =
f l
o a
t
)
p r
i n
t
( C )
Вывод:
[[ 1.
2.
3.]
[ 4.
5.
6.]]
Можно создать массив из диапазона:

5.1. Создание и индексация массивов
115
f r
o m
numpy i
m p
o r
t
*
L =
r a
n g
e
(5)
A = array ( L )
p r
i n
t
( A )
Вывод:
[0 1 2 3 4]
Отсюда видно, что в первом случае массив состоит из действительных чисел,
так как при определении часть его значений задана в виде десятичных дробей. В
numpy есть несколько действительнозначных типов, базовый тип соответствует действительным числам Python и называется float64. Второй массив состоит из целых чисел, потому что создан из диапазона range, в который входят толь- ко целые числа. На 64-битных операционных системах элементы такого списка будут автоматически приведены к целому типу int64, на 32-битных — к типу int32
В numpy есть функция arange, позволяющая сразу создать массив-диапазон,
причём можно использовать дробный шаг. Вот программа, рассчитывающая зна- чения синуса на одном периоде с шагом π/6:
f r
o m
numpy i
m p
o r
t
*
a1 = arange (0 , 2* pi , pi /6)
s1 = sin ( a1 )
f o
r j
i n
r a
n g
e
(
l e
n
( a1 )):
p r
i n
t
( a1 [ j ] , s1 [ j ])
А вот её вывод:
0.0 0.0 0.523598775598 0.5 1.0471975512 0.866025403784 1.57079632679 1.0 2.09439510239 0.866025403784 2.61799387799 0.5 3.14159265359 1.22464679915e-16 3.66519142919 -0.5 4.18879020479 -0.866025403784 4.71238898038 -1.0 5.23598775598 -0.866025403784 5.75958653158 -0.5
Кроме arange есть ещё функция linspace, тоже создающая массив-диапазон.