Питон для нормальных. Учебник Москва Базальт спо макс пресс 2018

• Название: Учебник Москва Базальт спо макс пресс 2018
• Анкор: Питон для нормальных
• Дата: 05.10.2022
• Размер: 2.54 Mb.
• Имя файла: sysoeva_sysoev_piton_dlya_normalnyh_ch1.pdf
• Тип: Учебник; #715174
• страница: 14 из 14

7.4
Примеры решения заданий
Пример задачи 22 (Определитель матрицы) Найдите определитель ма- трицы. Матрицу возьмите из текстового файла, созданного при выпол- нении задания №15.
Решение задачи 22
f r
o m
numpy i
m p
o r
t
*
M = loadtxt ( ’ Matrix . txt ’)
p r
i n
t
( linalg . det ( M ))

168
Глава 7. Библиотеки, встроенные в numpy
Пример задачи 23 (Cистема линейных уравнений) Решите систему ли- нейных уравнений, матрицу коэффициентов и столбец свободных членов прочитайте из текстовых файлов, созданных в задании №15. Запишите в новый текстовый файл полученные корни.
Решение задачи 23
f r
o m
numpy i
m p
o r
t
*
M = loadtxt ( ’ Matrix . txt ’)
V = loadtxt ( ’ Vector . txt ’)
p r
i n
t
( linalg . solve (M , V ))
Пример задачи 24 (Аппроксимация параболою) Сгенерируйте парабо- лу y = x
2
− x − 6 на отрезке [−6; 6]. Прибавьте к ней белый шум с па- раметрами (0; 2). Аппроксимируйте её полиномом второй степени. Оце- ните ошибку аппроксимации. Постройте график (рис. 7(a)).
Решение задачи 24
f r
o m
numpy i
m p
o r
t
*
f r
o m
m a t p l o t l i b . pyplot i
m p
o r
t
*
x = arange ( -6 , 6 , 0.1) # диапазон y = x **2 - x - 6 # парабола r = random . normal (0 , 2 ,
l e
n
( x )) # белый шум z = y + r a = ones ((
l e
n
( x ) , 3))
a [: , 1] = x a [: , 2] = x **2
result = linalg . lstsq (a , z )
za = dot (a , result [0]) # аппроксимирующая кривая plot (x , z , ’o ’ , color = ’ red ’)
plot (x , za , color = ’ blue ’)
p r
i n
t
( result [1]/
l e
n
( x )) # ошибка аппроксимации show ()
Значение ошибки аппроксимации должно быть порядка квадрата стандарт- ного отклонения шума.
Пример задачи 25 (Погрешности аппроксимации) Сгенерируйте 3 ря- да y, как это описано в предыдущем задании, пусть ряды отличаются реализациями шума. Для каждого x таким образом будет доступно по 3

7.4. Примеры решения заданий
169
значения y. По этим значениям рассчитайте для каждого x среднее зна- чение ¯
y и среднеквадратичное отклонение от среднего σ
x
. С использова- нием полученных рядов и постройте график погрешностей результатов
(errorbar) (рис. 7(b)).
Решение задачи 25
f r
o m
numpy i
m p
o r
t
*
f r
o m
m a t p l o t l i b . pyplot i
m p
o r
t
*
x = arange ( -6 , 6 , 0.1)
y = x **2 - x -6
r = random . normal (0 , 2 ,
l e
n
( x ))
y1 = y + r r = random . normal (0 , 2 ,
l e
n
( x ))
y2 = y + r r = random . normal (0 , 2 ,
l e
n
( x ))
y3 = y + r y = c o l u m n _ s t a c k ([ y1 , y2 , y3 ])
e r r o r b a r (x , mean (y , axis =1) , yerr =[ std (y , axis =1) ,
std (y , axis =1)] , marker = ’. ’ , color = ’ green ’ ,
ecolor = ’ blue ’)
savefig ( ’ plot . png ’)
show ()
Пример задачи 26 (Генерация массивов случайных чисел) Сгенерируйте случайные векторы из n действительных значений с равномерным и нор- мальным распределением, а также из n целых чисел.
Решение задачи 26
n =
i n
t
(
i n
p u
t
( ’Введите количество значений: ’ ))
a =
i n
p u
t
( ’Введите диапазон равномерного распределения: ’ ). split ()
x = random . u n i f o r m (
f l
o a
t
( a [0]) ,
f l
o a
t
( a [1]) , n )
p r
i n
t
( x )
b =
i n
p u
t
( ’Введите параметры нормального распределения: ’ ). split ()
y = random . normal (
f l
o a
t
( b [0]) ,
f l
o a
t
( b [1])**0.5 , n )
p r
i n
t
( y )
c =
i n
p u
t
( ’Введите диапазон для дискретного распределения: ’ ). split ()
z = random . r a n d i n t (
i n
t
( c [0]) ,
i n
t
( c [1]) , n )
p r
i n
t
( z )
Возможный вывод программы (при каждом запуске будут различные случайные числа):

170
Глава 7. Библиотеки, встроенные в numpy
Введите количество значений: 8
Введите диапазон равномерного распределения: 1 10
[ 4.59727241 5.25897018 7.05872105 6.53497311 2.79842143 6.9183058 5.47890825 8.6876828 ]
Введите параметры нормального распределения: 3 9
[ 9.2115671 2.97903395 2.91634906 3.67303643 0.29596935 6.45306148 3.50505498 3.44637582]
Введите диапазон дискретного распределения: -10 10
[ 7 2 -2 -2 6 -8 3
1]
Чтобы вводить сразу несколько значений с клавиатуры, в данном примере был использован метод split, разделяющий строку на подстроки. При выполне- нии задания можно просто каждый необходимый параметр считывать новым input()
Пример задачи 27 (Случайные перестановки) Сгенерируйте массив-ле- сенку длины n. Cлучайно перемешайте его. На экран выведите изначаль- ный и перемешанный массивы.
Решение задачи 27
f r
o m
numpy i
m p
o r
t
*
n =
i n
t
(
i n
p u
t
( ’Размер массива: ’ ))
x = arange (n , 0 , -1)
p r
i n
t
( x )
y = random . p e r m u t a t i o n ( x )
p r
i n
t
( y )
Возможный вывод программы (третья строка будет меняться от запуска к за- пуску):
Размер массива: 10
[10 9
8 7
6 5
4 3
2 1]
[ 7 5
6 1
2 8 10 4
3 9]
Пример задачи 28 (Периодограмма синуса) Рассчитайте и постройте периодограмму для функции sin(x) на отрезке x ∈ [π; π].
Решение задачи 28 Результат можно увидеть на рис. 8(a). Грубость графика обусловлена малым объёмом данных.
f r
o m
numpy i
m p
o r
t
*
f r
o m
m a t p l o t l i b . pyplot i
m p
o r
t
*
t = arange ( - pi , pi , pi /12)
x = sin (2* pi * t )

7.5. Задания на использование встроенных библиотек numpy
171
Px =
a b
s
( fft . rfft ( x )/(0.5*
l e
n
( t )))**2
fn = 1/(2* pi /12)
freq = l i n s p a c e (0 , fn ,
l e
n
( Px ))
grid ( True ); plot ( freq , Px , color = ’ red ’)
show ()
Пример задачи 29 (Сложный шум) Сгенерируйте случайный процесс,
представляющий собою сумму равномерно распределённых на отрезке
[−10; 10] случайных величин и нормально распределённых случайных ве- личин с параметрами (0; 1), длиною в 10000 значений. Постройте гисто- грамму его распределения.
Решение задачи 29 Возможный результат можно увидеть на рис. 8(b). От за- пуска к запуску картинка будет несколько варьировать.
f r
o m
numpy i
m p
o r
t
*
f r
o m
m a t p l o t l i b . pyplot i
m p
o r
t
*
n = 10000
x = random . uniform ( -10 , 10 , n )
y = random . normal (0 , 1 , n )
z = x + y hist (z , bins =100 , normed = True , color = ’ green ’)
show ()
7.5
Задания на использование встроенных библиотек numpy
Для заданий, содержащих большое число вариантов (от 4 и более) следует выполнить 1 вариант с номером (n − 1)%m + 1, где n — номер в списке группы,
а m — число заданий.
Задание 24 Найдите определитель матрицы. Матрицу возьмите из текстового файла, созданного ранее, либо у преподавателя.
Задание 25 Решите систему линейных уравнений. Матрицу коэффици- ентов и столбец свободных членов прочитайте из текстовых файлов,
созданных ранее. Запишите в новый текстовый файл полученные корни.
Задание 26 Сгенерируйте набор значений заданной функции с шумом.
Аппроксимируйте его полиномом второй степени. Оцените ошибку ап- проксимации. Постройте график. Функции:
1. парабола y = x2 − x − 6 на отрезке [−4; 4] с белым шумом, распределённым по нормальному закону с параметрами (0; 1);

172
Глава 7. Библиотеки, встроенные в numpy
2. парабола y = x2 − x − 6 на отрезке [−4; 4] с белым шумом, распределённым по равномерному закону на отрезке [−10; 10];
3. парабола y = x2 − x − 6 на отрезке [−4; 4] с белым шумом, распределённым по закону χ
2
(random.chisquare) с параметрами (6; n), где 6 — количество степеней свободы шума, а n — длина ряда y;
4. парабола y = 5x
2
−4x+1 на отрезке [−6; 6] с белым шумом, распределённым по нормальному закону с параметрами (0; 3);
5. парабола y = 5x
2
−4x+1 на отрезке [−6; 6] с белым шумом, распределённым по равномерному закону на отрезке [−1; 1];
6. парабола y = 5x
2
−4x+1 на отрезке [−6; 6] с белым шумом, распределённым по закону χ
2
(random.chisquare) с параметрами (6; n), где 6 — количество степеней свободы шума, а n — длина ряда y;
7. парабола y = x
2
+ 5 на отрезке [−10; 10] с белым шумом, распределённым по нормальному закону с параметрами (0; 1);
8. парабола y = x
2
+ 5 на отрезке [−10; 10] с белым шумом, распределённым по равномерному закону на отрезке [−10; 10].
Задание 27 Сгенерируйте 5 рядов y, как это описано в предыдущем зада- нии, пусть ряды отличаются реализациями шума. Для каждого x таким образом будет доступно по 5 значений y. По этим значениям рассчитай- те для каждого x соответствующее ему среднее значение ¯
y и средне- квадратичное отклонение от среднего σ
y
. С использованием полученных рядов ¯
y(x) и σ
y
(x) постройте график средних с планками погрешностей
(errorbar).
Задание 28 Сгенерируйте случайные векторы из 10, 30 и 200 значений:
1. с равномерным распределением на отрезке [−0.5; 0.5];
2. с нормальным распределением с параметрами µ = 1, σ = 0.5;
3. из целых чисел в диапазоне [0; 10].
Задание 29 Сгенерируйте и случайно перемешайте:
1. массив-диапазон, покрывающий полуинтервал [0; 10) с шагом 0.5;
2. массив-диапазон из целых чисел от 0 до 19;
3. массив из 10 чисел, первые 5 из которых нули, вторые 5 — единицы;
4. массив длины 10, в котором изначально в начале и в конце было по
2 тройки. А середине — пятёрки;

7.5. Задания на использование встроенных библиотек numpy
173 5. массив из 4 нулей, 4 единиц и 4 двоек;
6. массив из 15 нулей и 1 единицы;
7. массив-пирамиду длины 11 из целых чисел, где среднее число — самое большое, стоящие рядом с ним на 1 меньше, следующие по очереди от середины ещё на 1 меньше и т. д., значение среднего числа за- дайте сами;
8. массив, полученный в результате табулирования синусоиды.
Выведите на экран сначала неизменённый массив, потом — перемешан- ный.
Задание 30 Рассчитайте и постройте периодограмму — оценку спектра мощности:
1. сигнала y(x), полученного по формуле 4 sin(πx + π/8) − 1 на отрезке
[−10; 10] с шагом 0.05;
2. сигнала y(x), полученного по формуле 2 cos(x − 2) + sin(2x − 4), на от- резке [−20π; 10π] с шагом π/20;
3. нормального шума, параметры выберите сами;
4. равномерного шума, параметры выберите сами.
Задание 31 Сгенерируйте случайный процесс длиною в 10000 значений и постройте гистограмму его распределения для следующих рядов:
1. равномерный шум с параметрами (0, 1);
2. равномерный шум с параметрами (−4, 10);
3. равномерный шум с параметрами (0.5, 0.6);
4. равномерный шум с параметрами (−a, a), где a — случайное равномерно распределённое число из диапазона [0; 1];
5. равномерный шум с параметрами (−a, 2a), где a — случайное равномерно распределённое число из диапазона [1; 10];
6. нормальный (гауссов) шум со стандартными параметрами: (0, 1);
7. нормальный шум с параметрами (−2, 0.25);
8. нормальный шум с параметрами (1, 2.5);
9. нормальный шум с нулевым средним и среднеквадратичным отклонением
σ, где σ — число, равномерно распределённое в диапазоне [0; 1];

174
Глава 7. Библиотеки, встроенные в numpy
10. нормальный шум с параметрами µ, σ, где µ есть нормально распределён- ное число со стандартными параметрами (0, 1), а σ — число, равномерно распределённое в диапазоне [1, 10];
11. процесс, представляющий собою сумму двух независимых величин, распре- делённых равномерно на интервале [−1; 1];
12. процесс, представляющий собою сумму 3 независимых величин, равномерно распределённых на интервале [−1; 1];
13. процесс, представляющий собою сумму двух нормально распределённых случайных величин с единичною дисперсией, первое из которых имеет сред- нее −e, а второе имеет среднее e;
14. процесс, представляющий собою сумму большого числа (например, 30) рав- номерно распределённых на отрезке [−0.1; 0.1] случайных величин;
15. процесс, представляющий собою сумму большого числа (например, 30) нор- мально распределённых случайных величин с параметрами µ = 0, σ = 0.1.

Учебное издание
Серия «Библиотека ALT»
Сысоева Марина Вячеславовна
Сысоев Илья Вячеславович
Программирование для «нормальных» с нуля на языке Python
В двух частях
Часть 1
Ответственный редактор: В. Л. Черный
Оформление обложки: А. С. Осмоловская
Вёрстка: В. Л. Черный
Издание доступно в РИНЦ по адресу: https://elibrary.ru
ООО «Базальт СПО»
Адрес для переписки: 127015, Москва, а/я 21
Телефон: [phone]. E-mail: [e-mail] http://basealt.ru
Подписано в печать 02.03.18. Формат 70x100/16.
Гарнитура Computer Modern. Печать офсетная. Бумага офсетная.
Усл. печ. л. 14.3[+0.33]. Уч.-изд. л. 11.77 Тираж 999 экз. Изд. номер. 044
Издательство ООО «МАКС Пресс»
Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г.
119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ имени М. В. Ломоносова,
2-й учебный корпус, 527 к.
Тел. [phone]. Тел./Факс [phone].

По вопросам приобретения обращаться: ООО «Базальт СПО»
[phone] E-mail: [e-mail] http://basealt.ru

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0
(a)
(b)
Рис. 1. График синусоиды серыми линиями — (a) и синусоиды (синими) и коси- нусоиды (зелёными) линиями — (b).
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0
1 2
3 4
5
x
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0
1 2
3 4
5
x
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0
1 2
3 4
5
x
3 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0
1 2
3 4
5
x
2 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0
1 2
3 4
5
x
5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0
1 2
3 4
5 6
7 8
x
3
x
3
Рис. 2. Пример построения нескольких графиков на одном полотне.

1 2
3 4
5 6
7 8
9 10 0
1 2
3 4
5 6
Java
26.9%
C
22.4%
C++
16.4%
PHP
13.4%
Python
11.9%
Ruby
9.0%
(a)
(b)
Рис. 3. Пример столбцовой (a) и круговой (b) диаграмм.
3 2
1 0
1 2
2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 3
2 1
0 1
2 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
(a)
(b)
Рис. 4. Пример построения контурных диаграмм: (a) — использованы линии, (b)
— использована заливка.

−10
−5 0
5 10 −10
−5 0
5 10
−10
−5 0
5 10
−10
−5 0
5 10 −10
−5 0
5 10
−10
−5 0
5 10
(a)
(b)
Рис. 5. 3D-каркас (a) и 3D-поверхность (b).
3 2
1 0
1 2
3 2
1 0
1 2
(a)
(b)
Рис. 6. Иллюстрация к задаче 21.

−6
−4
−2 0
2 4
6
−10 0
10 20 30 40
−6
−4
−2 0
2 4
6
−10 0
10 20 30 40
(a)
(b)
Рис. 7. Иллюстрации к задачам 24 — (а) и 25 — (b). На рис. (а) представлена за- висимость y i
= x
2
i
− x i
− 6 + ξ
i
(серые точки), где ξ
i
— нормально распределённые случайные числа (шум) с нулевым средним и среднеквадратичным отклонени- ем 2, и её аппроксимирующая функция (чёрная кривая), рассчитанная методом наименьших квадратов. На рис. (b) — зависимость hy k
(x)i k=1,2,3
с разбросом ошибок, построенная по 3 экспериментам (k — номер эксперимента), исходная зависимость сгенерирована по формуле y i
= x
2
i
− x i
− 6 + ξ
i
, причём для каждого эксперимента реализация шума ξ своя.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
−15
−10
−5 0
5 10 15 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
(a)
(b)
Рис. 8. Спектр мощности синусоиды, построенный по 1 периоду при шаге вы- борки π/12 — (a) и гистограмма сложного (суммы равномерного и нормального)
распределения — (b).