Электричество и магнетизм. Эу_Э. Учебник по физике кгтукхти. Кафедра физики. Старостина И. А., Кондратьева О. И., Бурдова Е. В. Для перемещения по тексту электронного учебника можно использовать
 Скачать 1.52 Mb.
|
1. 8. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме. Рис.1.7. К выводу теоремы Гаусса. Определим поток напряженности электростатического поля зарядов q1,q2,...qn в вакууме (=1) через произвольную замкнутую поверхность, окружающую эти заряды. Рассмотрим сначала случай сферической поверхности радиусом R, окружающей один заряд +q, находящийся в ее центре (рис.1.7).  , где  - есть интеграл по замкнутой поверхности сферы. Во всех точках сферы модуль вектора одинаков, а сам он направлен перпендикулярно поверхности. Следовательно  . Площадь поверхности сферы равна  . Отсюда следует, что  .П  Рис.1.8. Пересечение силовыми линиями поверхности, охватывающей заряд (показано в сечении). олученный результат будет справедлив и для поверхности S произвольной формы, так как ее пронизывает такое же количество силовых линий. На рисунке 1.8 представлена произвольная замкнутая поверхность, охватывающая заряд q0. Некоторые линии напряженности то выходят из поверхности, то входят в нее. Для всех линий напряженности число пересечений с поверхностью является нечетным. Как отмечалось в предыдущем параграфе, линии напряженности, выходящие из объема, ограниченного замкнутой поверхностью, создают положительный поток Фе; линии же, входящие в объем, создают отрицательный поток -Фе. Потоки линий при входе и выходе компенсируются. Таким образом, при расчете суммарного потока через всю поверхность следует учитывать лишь одно (не скомпенсированное) пересечение замкнутой поверхности каждой линией напряженности. Если заряд q не охватывается замкнутой поверхностью S, то количество силовых линий, входящих в данную поверхность и выходящих из нее, одинаково (рис.1.9). Суммарный поток вектора через такую поверхность равен нулю: ФЕ=0. Р  Рис.1.9. Пересечение силовыми линиями поверхности, не охватывающей заряд (показано в сечении). ассмотрим самый общий случай поверхности произвольной формы, охватывающей n зарядов. По принципу суперпозиции электростатических полей напряженность , создаваемая зарядами q1,q2,...qn равна векторной сумме напряженностей, создаваемых каждым зарядом в отдельности:  . Проекция вектора - результирующей напряженности поля на направление нормали к площадке dS равна алгебраической сумме проекций всех векторов  на это направление:  , отсюда  .Поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на электрическую постоянную 0. Эта формулировка представляет собой теорему К.Гаусса. В общем случае электрические заряды могут быть распределены с некоторой объемной плотностью  , различной в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд объема V, охватываемого замкнутой поверхностью S равен  и теорему Гаусса следует записать в виде  .Теорема Гаусса представляет значительный практический интерес: с ее помощью можно определить напряженности полей, создаваемых заряженными телами различной формы. |