Методические указания по выполнению. Учебнометодическое пособие по курсовой работе для студентов и курсантов вторых курсов ( высшая математика ) Химки 2006
 Скачать 1.27 Mb.
|
|
155,4 162,4 174,4 186,1 167,8 10 186,2 179,5 167,7 199,3 191,7 183,4 179,5 150,1 169,9 161,8 11 141 172,9 179,2 162,5 204,2 187,7 175,1 165,7 165,4 170,6 12 162 176,2 176,2 159 170,8 166,2 165,5 196,2 191 163,6 13 166,4 167,1 180,2 172,2 182 204,5 154,6 177,4 155,8 190,5 14 192,3 184,6 206,7 177,3 162,1 188,9 185,2 175,7 173,2 181,1 15 195,9 167,2 178,9 189,6 141 199,4 189,6 196,8 171,2 187,7 16 167,9 172,5 172,9 176,8 202,6 187,2 176,7 183,4 175,7 196 I. Графическое представление выборки 1. Размах выборки R и объем выборки n. Используя опции Excel ( f x , МИН или МАКС, задать диапазон выбора, выделив всю рабочую часть табл. A) находим x min = 141 и x max = 206,7. Тогда размах выборки R = x min – x max = 65,7. По условию задачи объем выборки n = 100. 2. Разбиваем значения выборки на 10 интервалов (для упрощения расчетов полагая их длины одинаковыми и равными ∆ = R / 10 = 65,7 / 10 = 6,57; n инт = 10). Результаты сведены в табл. Б. Таблица Б A B C D E F G H 30 1 ∆ 1 = 141 147,57 6 ∆ 6 = 173,85 180,42 31 2 ∆ 2 = 147,57 154,14 7 ∆ 7 = 180,42 186,99 32 3 ∆ 3 = 154,14 160,71 8 ∆ 8 = 186,99 193,56 33 4 ∆ 4 = 160,71 167,28 9 ∆ 9 = 193,56 200,13 34 5 ∆ 5 = 167,28 173,85 10 ∆ 10 = 200,13 206,70 18 3. Строим вариационный ряд выборки, для чего результаты выборки следует упорядочить (отсортировать) по возрастанию. В табл. В вариационный ряд приведен во втором столбце. Для удобства расчетов в третьем столбце приведены интервалы ∆ i и их границы. Далее находим количество n i (частоты) вариант, попавших на интервалы ∆ i и среднее значение x i ср случайной величины на соответствующем интервале. Таблица B A B C D E F 43 i варианты ∆ i n i x i ср 44 1 141,0 141,00–147,57 2 141,00 45 141,0 46 2 150,1 147,75–154,14 2 151,50 47 152,9 48 3 154,6 154,14–160,71 7 156,56 49 155,4 50 155,8 51 156,3 52 156,9 53 157,9 54 159,0 55 4 160,9 160,71–167,28 14 164,20 56 161,8 57 162,0 58 162,1 59 162,4 60 162,5 61 163,6 62 165,4 63 165,5 64 165,7 65 166,2 66 166,4 67 167,1 68 167,2 69 167,7 70 167,8 71 167,9 72 169,9 73 170,6 74 170,8 19 Продолжение табл. B A B C D E F 75 5 171,2 167,28–173,85 15 171,12 76 171,6 77 172,2 78 172,5 79 172,5 80 172,9 81 172,9 82 173,1 83 173,2 84 6 174,4 173,85–180,42 21 177,49 85 175,1 86 175,4 87 175,7 88 175,7 89 175,9 90 176,2 91 176,2 92 176,7 93 176,8 94 177,3 95 177,4 96 178,0 97 178,9 98 179,2 99 179,2 100 179,5 101 179,5 102 179,6 103 180,2 104 180,4 105 180,8 106 180,8 107 181,1 108 182,0 109 182,6 110 183,4 111 183,4 112 184,0 113 184,6 20 Окончание табл. B A B C D E F 114 7 185,2 180,42–186,99 13 183,52 115 185,5 116 186,1 117 186,2 118 8 187,2 186,99–193,56 12 189,65 119 187,7 120 187,7 121 188,9 122 189,6 123 189,6 124 189,6 125 190,0 126 190,5 127 191,0 128 191,7 129 192,3 130 9 193,8 193,56–200,13 9 196,41 131 194,8 132 195,5 133 195,9 134 196,0 135 196,2 136 196,8 137 199,3 138 199,4 139 10 200,8 200,13–206,70 5 203,76 140 202,6 141 204,2 142 204,5 143 206,7 ∑ n i = 100 Пояснения к построению табл. В и расчетов по ней Копируем в столбец В Excel (второй столбец табл. В) данные по выборке из табл. А в любом порядке. Затем полученный столбец из 100 чисел (B43:B142) сортируем по возрастанию (опции: Данные, Сортировка). 21 Выделяем жирной границей строки с вариантами, попавшими на последовательные интервалы ∆ 1 = [141,00;147,57), ∆ 2 = [147,57;154,14),… , ∆ 10 =[200,13;206,70) Интервалы ∆ i и их границы удобно записать рядом в столбце С+D Excel, объединив соответствующие строки столбца. Во всех остальных столбцах E:F Excel также производится объединение строк, попадающих в один интервал ∆ i В столбце с обозначением n i подсчитываем число вариант, попавших на соответствующий интервал ∆ i . Подсчет проводим непосредственно, если на интервал попадает небольшое число вариант, либо с помощью встроенной функции (опции: f x , статистические, счет, выделить нужный диапазон ячеек и ОК). В столбце с обозначением x i ср вычисляем среднее значение вариант, попавших на соответствующий интервал ∆ i . Используется встроенная функция вычисления среднего значения "срзнач(…)" (опции: f x , статистические, срзнач, выделить нужный диапазон ячеек и ОК). По найденным значениям n i и x i ср составляем табл. Г, где проводим подсчет нужных статистических параметров выборки. Таблица Г A B C D E F G 161 i n i x i ср ñ i = n i /∆ w i = n i /n ŵ i = w i /∆ F* i 162 1 2 141,00 0,30441 0,02 0,00304 0,02 163 2 2 151,50 0,30441 0,02 0,00304 0,04 164 3 7 156,56 1,06545 0,07 0,01065 0,11 165 4 14 164,20 2,1309 0,14 0,02131 0,25 166 5 15 171,12 2,28311 0,15 0,02283 0,4 167 6 21 177,49 3,19635 0,21 0,03196 0,61 168 7 13 183,52 1,97869 0,13 0,01979 0,74 169 8 12 189,65 1,82648 0,12 0,01826 0,86 170 9 9 196,41 1,36986 0,09 0,0137 0,95 171 10 5 203,76 0,76104 0,05 0,00761 1 Пояснения к построению табл. Г и расчетов по ней Переписываем данные из столбцов A, E, F табл. В в новую табл. Г и проводим подсчеты для относительных частот w i = n i /n, приведенных частот ñ i = n i /∆ и приведенных относительных частот ŵ i = w i /∆, отвечающих соответствующим интервалам ∆ i Проводим подсчеты для эмпирической функции распределения вероятностей ∑ = = i k k i w * F 1 22 4. Строим график эмпирической функции распределения вероятностей F*(x) Эмпирическая функция распределения вероятностей F*(x) 1 0,95 0,86 0,74 0,61 0,4 0,25 0,11 0,04 0,02 203,8 196,4 189,7 183,5 177,5 171,1 164,2 156,6 151,5 141,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 x F(x) Пояснения к построению графика а) Предварительные построения: Вызываем мастер диаграмм. 1 шаг: Выбираем тип "точечная". Далее. 2 шаг: Выбираем вкладку ряды. В окне Ряд удаляем все записи. Добавляем Ряд1. Задаем для этого ряда диапазон значений X, щелкнув по кнопке выбора X и выделив мышью значения x i ср из табл. Г (C1620:C171). Аналогично вводим диапазон значений Y, выбирая их из столбца для F i (G162: G1719). Добавляем Ряд2. Задаем для этого ряда диапазон значений X, щелкнув по кнопке выбора X и выделив мышью значения x i ср из табл. Г (C162: C171). Значения Y для этого ряда задаем набором 10 нулей в поле выбора Y, т.е. = {0;0;0;0;0;0;0;0;0;0}. Далее. 3 шаг: На вкладке Заголовки: В строке "название диаграммы" ввести "Эмпирическая функция распределения вероятностей F*(x)",в строке "ось ОХ" ввести "Х",в строке "ось ОY" ввести "F(x)". На вкладке "Оси": убрать флаг "ось OX". На вкладке "линии сетки": убрать флаг OY. На вкладке Легенда убрать флаг "Добавить легенду". Далее. 4 шаг: Готово. б) Преобразования графика: уточнение и дополнение информации на графике. Используя маркеры границы диаграммы, растягиваем ее примерно на половину печатного листа. Аналогичным образом растягиваем и область построения диаграммы. Щелкнув правой кнопкой мыши на соответствующих элементах диаграммы с помощью опции формат, выбираем подходящий размер 23 шрифта, тип выравнивания. Также перетаскиваем мышью заголовки осей на подходящие места (на концы осей). Контекстным меню "Линий сетки оси ОХ" или самой оси вызываем опцию форматирования, на вкладке "шкала" задаем минимальное значение 140, максимальное 210, шаг 100. Затем с помощью контекстного меню форматируем сами ряды. На вкладке "Вид" задаем вид маркера и его размер в 3 пт. На вкладке "Подписи данных" для ряда 1 устанавливаем флаг на "значение Y", для ряда 2 − "значение Х". Форматируем подписи данных: размер шрифта 8, тип числовой с двумя или одним знаком после запятой. Мышью перетаскиваем подписи к данным на нужные места выше или ниже по диаграмме, чтобы не мешали дальнейшим построениям на рисунке. в) Достройка графика до нужного вида ступенчатой фигуры: Устанавливаем панель рисования (опции: Вид, Панель инструментов, Рисование). Инструментом "Линия" соединяем маркеры ряда 2 и ряда 1, устанавливаем тип штриха пунктирным. Затем инструментом "Линия" опускаем перпендикуляры из маркеров ряда 1 на штриховые линии справа. Устанавливаем для них "Вид стрелки" справа налево. 5. Строим полигон частот n(x) Полигон частот 5 9 12 13 21 15 14 7 2 2 203,8 196,4 189,7 183,5 177,5 171,1 164,2 156,6 151,5 141,0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 22,0 x n(x) Пояснения к построению графика График "Полигона частот" строится по данным из табл. Г аналогично предыдущему пункту со следующими уточнениями: тип диаграммы – точечная, на которой значения соединены отрезками. Данные для Y ряда 1 берем из столбца n i (B162-B171). В пункте в) выполняем только первую часть. 24 6. Строим полигон относительных частот w(x) Полигон относительных частот 0,05 0,09 0,12 0,13 0,21 0,15 0,14 0,07 0,02 0,02 203,8 196,4 189,7 183,5 177,5 171,1 164,2 156,6 151,5 141,0 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 x w (x) Пояснения к построению графика График "Полигона относительных частот" строится аналогично предыдущему со следующими уточнениями: данные для Y берем из столбца w i (E162-E171). 7. Строим гистограмму приведенных частот ñ(x) Гистограмма частот 0,30 0,30 1,07 2,13 2,28 3,20 1,98 1,83 1,37 0,76 0,00 0,30 0,60 0,90 1,20 1,50 1,80 2,10 2,40 2,70 3,00 3,30 141, 0 151, 5 156, 6 164, 2 171, 1 177, 5 183, 5 189, 7 196, 4 203, 8 ñ(x) Пояснения к построению гистограммы Гистограмма "Гистограмма частот" строится с помощью "Мастера диаграмм" со следующими уточнениями: данные для Y берем из столбца w i (F162-F171). 25 8. Строим гистограмму относительных частот ŵ(x) Гистограмма относительных частот 0,00 0,00 0,01 0,02 0,02 0,02 0,02 0,01 0,01 0,03 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 141, 00 151, 50 156, 56 164, 20 171, 12 177, 49 183, 52 189, 65 196, 41 203, 76 ŵ Пояснения к построению гистограммы Гистограмма "Гистограмма относительных частот" строится с помощью "Мастера диаграмм": данные для Y берем из столбца ŵ i (E162- E171). II. Точечные оценки параметров выборки Точечные оценки параметров выборки вычисляем по данным табл. Г согласно формулам (5-9). 9. Выборочное среднее x в = ∑w i x i ср ; 10. Выборочная дисперсия S 2 = D в = ∑w i (x i ср –x в ) 2 ; выборочное среднее квадратическое отклонение σ в =D в ½ ; 11. Исправленная выборочная дисперсия s 2 = D в n / (n–1); исправленное выборочное средне квадратическое отклонение s = (s 2 ) ½ III. Интервальные оценки параметров нормально распределенной случайной величины Данные для разделов III и IV берем из исходной выборки, ограничившись первыми 20 числами (табл. Д). x в 177,218 D в 190,743 σ в 13,811 s 2 192,670 s 13,881 26 Таблица Д 12. Найдем доверительный интервал для оценки математического ожидания при неизвестном среднем квадратическом отклонении с надежностью 0,95. Согласно формуле (10 ) при объеме выборки n = 20 и надежности γ = 0.95, нужно найти выборочное среднее x в и исправленное среднее квадратическое отклонение s x в = (∑x i ) / n = 174,23; s 2 = (∑(x i – x в ) 2 ) / (n – 1) = 159,11; s = (s 2 ) ½ = 2,61. По справочным таблицам для n = 20 и γ = 0,95 находим t γ : t γ = 2,09. Тогда доверительный интервал для математического ожидания a равен х в – t γ s / √n < a < х в – t γ s / √n или 174,2–2,1*12,6/√20 13. Найдем доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения σ с надежностью 0,95. Согласно формуле (11) при объеме выборки n = 20 и надежности γ = 0.95, s(1–q) < σ < s(1+q). Значение q находим из таблиц : q = 0,37. Тогда доверительный интервал для среднего квадратического отклонения σ равен 12,61 (1– 0,37) < σ < 12,61 (1+ 0,37); 7,94 < σ < 17,28 IV. Проверка статистических гипотез Используем данные выборки из предыдущего пункта (вариационный ряд в столбце С табл. Д). 14. Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости α = 0,05. В качестве нулевой A B C 337 i x i вариационный ряд 338 1 175,9 141 339 2 156,9 156,9 340 3 184 162 341 4 186,2 166,4 342 5 141 167,1 343 6 162 167,2 344 7 166,4 167,9 345 8 192,3 172,5 346 9 195,9 172,9 347 10 167,9 175,4 348 11 175,4 175,9 349 12 178 176,2 350 13 182,6 178 351 14 179,5 179,5 352 15 172,9 182,6 352 16 176,2 184 354 17 167,1 184,6 355 18 184,6 186,2 356 19 167,2 192,3 357 20 172,5 195,9 358 x в 174,23 174,23 359 s 2 159,11 360 s 12,6137 27 (основной) гипотезы H 0 примем предположение о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости α = 0,05. 1) Предварительно разобьем весь размах выборки на 5 равных частей длиной h точками x i *, i = 1,..,6. x min = 141,00; x max = 195,90; h = (195,9–141) / 5 = 10,98. Вычислим выборочную среднюю x в * и среднее квадратичное отклонение σ*, причем в качестве вариант x i , берем середины интервалов x i ср * = (x i * + x i+1 * )/2. Результаты сведены в табл. Е. Таблица Е x в * = (∑x i ср *n i *)/20 = 173,94; σ*=((∑(x i ср *–x в ) 2 n i *)/20) ½ =11,25 Замечание. Интервалы, где частоты малы, могут быть объединены с соседними. В этом случае частоты складываются. В примере можно было бы объединить первый и второй интервалы с объединенной частотой 1+ 2. 2) От случайной величины X перейдем к стандартной случайной величине Z из N(0,1), сдвинув математическое ожидание x в в начало координат и пронормировав по σ к единице: z i = (x i ср *–x в *) / σ*; i = 1, 2, 3, 4, 5; при этом полагаем z 1 = – ∞, а z 6 = ∞. Результаты сведены в табл. Ж. Таблица Ж A B C D E i- номер интерв. Границы интервалов X Границы интервалов Z 391 x i * x i+1 * z i z i+1 392 1 141,00 151,98 – ∞ -1,95 393 2 151,98 162,96 -1,95 -0,98 394 3 162,96 173,94 -0,98 0,00 395 4 173,94 184,92 0,00 0,98 396 5 184,92 195,90 0,98 ∞ 3) Вычислим теоретические частоты в предположении, что Z нормальная случайная величина. n i ' = nP i , где n – объем выборки ( в рассматриваемом случае n = 20 ), P i = Ф(z i+1 ) – Ф(z i ), вероятности попадания X на интервал (x i *,x i+1 *) или Z на (z i ,z i+1 ), а Ф(z i ) - функция Лапласа ( ее значения определяются по справочным таблицам ). Результаты вычислений сведены в табл. З. A B C D E 375 i-номер интерв. Границы интервалов x i ср * частоты 376 x i * x i+1 * n i * 377 1 141,00 151,98 146,49 1 378 2 151,98 162,96 157,47 2 379 3 162,96 173,94 168,45 6 380 4 173,94 184,92 179,43 8 381 5 184,92 195,90 190,41 3 x в *= 173,94 20 σ* = 11,25 28 Таблица З | Таблица И A B C D E F G H I i- номер интерв. Границы интервала Z Ф(z i ) Ф(z i+1 ) P i = n i ' = nP i частоты (n i *) 2 /n i ' z i z i+1 Ф(z i+1 )-Ф(z i ) n i * 406 1 – ∞ -1,95 -0,5000 -0,4744 0,0256 0,51 1 1,95 407 2 -1,95 -0,98 -0,4744 -0,3365 0,1379 2,76 2 1,45 408 3 -0,98 0,00 -0,3365 0,0000 0,3365 6,73 6 5,35 409 4 0,00 0,98 0,0000 0,3365 0,3365 6,73 8 9,51 410 5 0,98 ∞ 0,3365 0,5000 0,1635 3,27 3 2,75 411 m = 5 ∑= 1,00 20,00 20 21,01 412 χ 2 =∑(n i *) 2 /n i '-n = 1,01 4) Вычисляем эмпирическое значение χ 2 набл критерия Пирсона (13 ) ∑ = − = = m 1 i ' i 2 i 2 набл 01 , 1 n n / n χ и сравниваем его значение с критическим χ 2 кр значением, найденным по справочным таблицам "Критические точки распределения χ 2 " для уровня значимости α = 0,05 и числу степеней свободы k = m - 3 = 5 - 3 = 2 (m – число интервалов) χ 2 кр (0,05;2) = 6,0. Так как χ 2 набл < χ 2 кр , делаем вывод о том, что данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности. Нет оснований отвергнуть гипотезу H 0 15. Сформулировать нулевую гипотезу о величине генеральной средней (при неизвестной дисперсии) и проверить три альтернативные гипотезы для уровня значимости α = 0,05. Используем данные выборки и расчетов из предыдущего раздела ( ряд в столбце С табл. Д). В качестве нулевой (основной) гипотезы H 0 примем предположение о том, что генеральная средняя a равна числу a 0 . Для определенности в качестве a 0 возьмем полученное ранее выборочное среднее x в , округленное до ближайшего целого числа, кратного 5, т.е. a 0 = 175. Рассмотрим три варианта выбора альтернативной гипотезы Н 1 а) H 1 : генеральная средняя a не равна a 0 , т.е. a ≠ 175. Вычислим по результатам выборки значение критерия Стьюдента T (15) = − = ) n / s ( ) a x ( T 0 в выб – 0,2748. По таблице «Критические точки распределения Стьюдента», по заданному уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы k = n – 1 = 20 – 1 = 19 находится двустороннее критическое значение T: 29 T двустор.кр ( α;k) = T двустор.кр ( 0,05;19) = 2,09. Так как при этом | T выб | = 0,27 < T двустор.кр = 2,09, то основная гипотеза принимается, а конкурирующая – отвергается. б) H 1 : генеральная средняя a больше a 0 , т.е. a > 175. По таблице «Критические точки распределения Стьюдента», по заданному уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы k = n – 1 = 20 – 1 = 19 находится одностороннее критическое значение T: T правостор.кр (α;k) = T правостор.кр (0,05;19) = 1,73. Так как при этом T выб = –0,27 < T правостор.кр = 1,73, то основная гипотеза принимается, а конкурирующая - отвергается. в) H 1 : генеральная средняя a меньше a 0 , т.е. a < 175. По таблице «Критические точки распределения Стьюдента», по заданному уровню значимости α = 0,05 и и числу степеней свободы k = n – 1 = 20 – 1 = 19 находится одностороннее критическое значение T: T левостор.кр ( α;k) = – T одностор.кр ( 0,05;19) = –1,73. Так как при этом T выб = –0,27 > T правостор.кр = –1,73, то основная гипотеза принимается, а конкурирующая – отвергается. Замечание. Пункты б) и в) дали тривиальные результаты потому, что ранее в пункте а) уже было показано, что на уровне значимости 0,05 любое предположение о неравенстве a ≠ 175 должно быть отвергнуто ( в том числе и a < 175, и a > 175). 16. Сформулировать нулевую гипотезу о величине генеральной дисперсиии проверить три альтернативные гипотезы для уровня значимости α = 0,05. Используем данные выборки и расчетов из предыдущего раздела ( ряд в столбце С табл. Д). В качестве нулевой (основной) гипотезы H 0 примем предположение о том, что генеральная дисперсия σ 2 равна числу σ 2 0 . Для определенности в качестве σ 2 0 возьмем полученную ранее выборочную исправленную дисперсию s 2 , округленную до ближайшего целого числа, кратного 5, т.е. σ 2 0 = 160. Рассмотрим три варианта выбора альтернативной гипотезы Н 1 а) H 1 : генеральная дисперсия σ 2 не равна σ 2 0 , т.е. σ 2 ≠ 160. Для проверки этой гипотезы по результатам выборки вычисляется значение критерия (14) σ 1)s - (n χ 2 0 2 выб 2 = = 18,89. Затем по таблице «Критические точки распределения χ 2 », по заданному уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы k = n – 1 = 19 находятся левое критическое значение χ 2 лев.кр (1 – α/2;k) = χ 2 лев.кр (0,975;19) = = 8,91 и правое критическое значение χ 2 прав.кр (α/2;k) = χ 2 прав.кр (0,025;19) = 30 = 32,9. Так как при этом χ 2 лев.кр = 8,9 < χ 2 выб = 18,8 < χ 2 прав.кр = 32,9, то основная гипотеза принимается, а конкурирующая – отвергается. б) Пусть теперь H 1 : σ 2 > σ 0 2 , те σ 2 > 160. Для проверки этой гипотезы по результатам выборки вычисляется значение критерия (14) χ 2 выб .= 18,9 (вычислено в пункте а)). Затем по таблице «Критические точки распределения χ 2 », по заданному уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы k = n – 1 = 20 – 1 = 19 находится критическое значение χ 2 кр ( α;k) = χ 2 кр (0,05;19) = 30,1. В этом случае χ 2 выб = 18,9 < χ 2 кр = 30,1 , следовательно, нет оснований отвергнуть основную гипотезу, конкурирующая – отклоняется. в) Пусть теперь H 1 : σ 2 < σ 0 2 . Для проверки этой гипотезы по результатам выборки вычисляется значение критерия (13) χ 2 выб . =18,9. Затем по таблице «Критические точки распределения χ 2 » по заданному уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы k = n – 1 = 19 находится критическое значение χ 2 кр ( 1– α;k) = χ 2 кр ( 0,095;19) = 10,1. Так как χ 2 выб = 18,9 > χ 2 кр = 10,1, то основная гипотеза принимается, а конкурирующая – отвергается. 31 Пример выполнения расчетной части работы (вариант табличных расчетов с использованием калькулятора) Выполнение всех расчетов и построений разбито по шагам 1-16, как это приведено в задании на работу в главе 2. 0. Исходные данные по выборке (100 чисел из табл. 1 задания на работу сведены в табл. А). Таблица А 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 175,9 175,4 180,8 195,5 156,3 173,1 160,9 193,8 180,4 189,6 156,9 178 172,5 200,8 179,6 152,9 194,8 179,2 171,6 190 184 182,6 180,8 157,9 185,5 155,4 162,4 174,4 186,1 167,8 186,2 179,5 167,7 199,3 191,7 183,4 179,5 150,1 169,9 161,8 141 172,9 179,2 162,5 204,2 187,7 175,1 165,7 165,4 170,6 162 176,2 176,2 159 170,8 166,2 165,5 196,2 191 163,6 166,4 167,1 180,2 172,2 182 204,5 154,6 177,4 155,8 190,5 192,3 184,6 206,7 177,3 162,1 188,9 185,2 175,7 173,2 181,1 195,9 167,2 178,9 189,6 141 199,4 189,6 196,8 171,2 187,7 167,9 172,5 172,9 176,8 202,6 187,2 176,7 183,4 175,7 196 I. Графическое представление выборки 1. Размах выборки R и объем выборки n Просматривая все элементы табл. А, находим x min = 141 и x max = 206,7. Тогда размах выборки R = x min – x max = 65,7. По условию задачи объем выборки n = 100. 2. Разбиваем значения выборки на 10 интервалов (для упрощения расчетов полагая их длины одинаковыми и равными ∆ = R/10 = 65,7/10 = = 6,57; n инт = 10). Результаты сведены в табл. Б. Таблица Б 1 ∆ 1 = 141 147,57 6 ∆ 6 = 173,85 180,42 2 ∆ 2 = 147,57 154,14 7 ∆ 7 = 180,42 186,99 3 ∆ 3 = 154,14 160,71 8 ∆ 8 = 186,99 193,56 4 ∆ 4 = 160,71 167,28 9 ∆ 9 = 193,56 200,13 5 ∆ 5 = 167,28 173,85 10 ∆ 10 = 200,13 206,70 3. Строим вариационный ряд выборки, для чего результаты выборки следует упорядочить (отсортировать) по возрастанию. В табл. В вариационный ряд приведен во втором столбце. Для удобства расчетов в третьем столбце приведены интервалы ∆ i и их границы. 32 Далее находим количество n i (частоты) вариант, попавших на интервалы ∆ i и среднее значение x i ср = (∑x i ) ∆i / n i случайной величины на соответствующем интервале. Таблица B i варианты ∆ i n i (∑x i ) ∆i x i ср 1 141,0 141,00–147,57 2 242,0 141,00 141,0 2 150,1 147,75–154,14 2 303,0 151,50 152,9 3 154,6 154,14–160,71 7 1095,92 156,56 155,4 155,8 156,3 156,9 157,9 159,0 4 160,9 160,71–167,28 14 2298,8 164,20 161,8 162,0 162,1 162,4 162,5 163,6 165,4 165,5 165,7 166,2 166,4 167,1 167,2 167,7 167,8 167,9 169,9 170,6 170,8 171,2 171,6 172,2 172,5 172,5 172,9 33 Продолжение табл. Б i варианты ∆ i n i (∑x i ) ∆i x i ср 172,9 173,1 5 173,2 167,28–173,85 15 2566,8 171 174,4 175,1 175,4 175,7 175,7 175,9 176,2 176,2 176,7 176,8 177,3 177,4 178,0 178,9 179,2 179,2 179,5 179,5 179,6 180,2 6 180,4 173,85–180,42 21 3727,29 177,49 180,8 180,8 181,1 182,0 182,6 183,4 183,4 184,0 184,6 185,2 185,5 186,1 7 186,2 180,42–186,99 13 2385,76 183,52 187,2 187,7 187,7 188,9 189,6 189,6 189,6 190,0 190,5 191,0 34 Окончание табл. Б i варианты ∆ i n i (∑x i ) ∆i x i ср 191,7 8 192,3 193,56–200,13 12 2275,8 189,65 193,8 194,8 195,5 195,9 196,0 196,2 196,8 199,3 9 199,4 193,56–200,13 9 1767,69 196,41 200,8 202,6 204,2 204,5 10 206,7 200,13–206,70 5 1018,8 203,76 ∑ n i = 100 Пояснения к построению табл. В и расчетов по ней Копируем во второй столбец табл. В данные по выборке из табл. А в возрастающем порядке. Выделяем жирной границей строки с вариантами, попавшими на последовательные интервалы ∆ 1 = [141,00;147,57), ∆ 2 = [147,57;154,14), ... , ∆ 10 =[200,13;206,70) Интервалы ∆ i и их границы удобно записать рядом в третьем столбце, объединив соответствующие строки столбца. Во всех остальных столбцах таблицы также производится объединение строк, попадающих в один интервал ∆ i В столбце с обозначением n i подсчитываем число вариант, попавших на соответствующий интервал ∆ i . Подсчет проводим непосредственно. В столбце с обозначением (∑x i ) ∆i вычисляем сумму вариант, попавших на соответствующий интервал ∆ i В столбце с обозначением x i ср вычисляем среднее значение вариант, попавших на соответствующий интервал ∆ i по формуле x i ср = (∑x i ) ∆i / n i По найденным значениям n i и x i ср составляем табл. Г, где проводим подсчет нужных статистических параметров выборки. 35 Таблица Г i n i x i ср ñ i = n i /∆ w i = n i /n ŵ i = w i /∆ F* i 1 2 141,00 0,30441 0,02 0,00304 0,02 2 2 151,50 0,30441 0,02 0,00304 0,04 3 7 156,56 1,06545 0,07 0,01065 0,11 4 14 164,20 2,1309 0,14 0,02131 0,25 5 15 171,12 2,28311 0,15 0,02283 0,4 6 21 177,49 3,19635 0,21 0,03196 0,61 7 13 183,52 1,97869 0,13 0,01979 0,74 8 12 189,65 1,82648 0,12 0,01826 0,86 9 9 196,41 1,36986 0,09 0,0137 0,95 10 5 203,76 0,76104 0,05 0,00761 1 Пояснения к построению табл. Г и расчетов по ней Переписываем данные из столбцов с именами i, n i , x i ср табл. В в новую табл. Г и проводим подсчеты для относительных частот w i = n i /n, приведенных частот ñ i =n i /∆ и приведенных относительных частот ŵ i =w i /∆, отвечающих соответствующим интервалам ∆ i Проводим подсчеты для эмпирической функции распределения вероятностей согласно формуле (4) ∑ = = i 1 k k i w * F , i = 1, 2, … , 10. 4. Строим график эмпирической функции распределения вероятностей F*(x) Эмпирическая функция распределения вероятностей F*(x) 1 0,95 0,86 0,74 0,61 0,4 0,25 0,11 0,04 0,02 203,8 196,4 189,7 183,5 177,5 171,1 164,2 156,6 151,5 141,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 x F(x) 36 Пояснения к построению графика а) Предварительные построения Вводим ось ОХ со шкалой так, чтобы поместился весь диапазон значений x i ср , начиная от x min до x max . Начало отсчета выбирается левее x min Ось OY выбирается со шкалой делений от 0 до 1. На двумерный график наносятся точки с координатами (x i ср ;F i *) табл. Г. б) Преобразования графика Из построенных точек графика опускаем перпендикуляры на ось OX и достраиваем его до ступенчатой фигуры. Наносим на график информацию о значениях координат, названиях осей, самого графика. Замечание. Удобно графики строить, используя графические редакторы или прикладные графические мастера Word, Excel и т.п. 5. Строим полигон частот n(x) Полигон частот 5 9 12 13 21 15 14 7 2 2 203,8 196,4 189,7 183,5 177,5 171,1 164,2 156,6 151,5 141,0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 22,0 x n(x) Пояснения к построению графика График "Полигона частот" строится по данным из табл. Г аналогично предыдущему пункту со следующими уточнениями: вид графика – ломаная, на которой точки с координатами (x i ср ;n i ) соединены отрезками. 37 6. Строим полигон относительных частот w(x). Полигон относительных частот 0,05 0,09 0,12 0,13 0,21 0,15 0,14 0,07 0,02 0,02 203,8 196,4 189,7 183,5 177,5 171,1 164,2 156,6 151,5 141,0 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 x w (x) Пояснения к построению графика График "Полигона относительных частот" строится аналогично предыдущему со следующими уточнениями: данные для Y берем из столбца w i табл. Г. 7.Строим гистограмму приведенных частот ñ(x). Гистограмма частот 0,30 0,30 1,07 2,13 2,28 3,20 1,98 1,83 1,37 0,76 0,00 0,30 0,60 0,90 1,20 1,50 1,80 2,10 2,40 2,70 3,00 3,30 141, 0 151, 5 156, 6 164, 2 171, 1 177, 5 183, 5 189, 7 196, 4 203, 8 ñ(x) Пояснения к построению гистограммы а) Предварительные построения 38 Вводим ось ОХ, разбив ее на 10 равных частей (по числу интервалов ∆ i ) и подписав каждый из них числом x i ср . Начало отсчета выбираем левее x min Ось OY выбирается со шкалой делений от 0 до max (ñ 1 , ñ 2 , … , ñ 10 ). На двумерный график наносятся точки с координатами (x i ср ; ñ i ). Гистограмма – это объединение прямоугольников, в основании которых лежат интервалы ∆ i , а высоты равны ñ i Наносим на график информацию о значениях координат, названиях осей, самого графика. Замечание. Удобно графики строить с использованием графических редакторов или прикладных графических мастеров Word, Excel и т.п. 8. Строим гистограмму относительных частот ŵ(x) Гистограмма относительных частот 0,00 0,00 0,01 0,02 0,02 0,02 0,02 0,01 0,01 0,03 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 141, 00 151, 50 156, 56 164, 20 171, 12 177, 49 183, 52 189, 65 196, 41 203, 76 ŵ Пояснения к построению гистограммы Гистограмма "Гистограмма относительных частот" строится аналогично предыдущему случаю. Данные для Y берем из столбца ŵ i табл. Г. II. Точечные оценки параметров выборки Значения для точечных оценок параметров находим по формулам (10 −11) для данных представленных в табл. Г. 9. Выборочное среднее x в = ∑w i x i ср 10. Выборочная дисперсия S 2 = D в = ∑w i (x i ср –x в ) 2 Выборочное среднее квадр-ское отклонение σ в = D в ½ 11. Исправленная выборочная дисперсия s 2 = D в n / (n – 1). Исправленное выборочное средне квадратическое отклонение s = (s 2 ) ½ x в = 177,218 D в = 190,743 σ в = 13,811 s 2 = 192,670 s = 13,881 39 III. Интервальные оценки параметров нормально распределенной случайной величины Данные для разделов III и IV берем из исходной выборки (табл. А), ограничившись первыми 20 числами (табл. Д). В табл. Д второй столбец это первые 20 чисел выборки, заданной в табл. А, третий столбец получен упорядочением выборочных данных, записанных во втором столбце. Таблица Д 12. Найдем доверительный интервал для оценки математического ожидания при неизвестном среднем квадратическом отклонении с надежностью 0,95. Согласно формуле (10 ) при объеме выборки n = 20 и надежности γ = 0.95, нужно найти выборочное среднее x в и исправленное среднее квадратическое отклонение s x в = (∑x i ) / n = 174,23; s 2 = (∑(x i – x в ) 2 ) / (n – 1) = 159,11; s = (s 2 ) ½ = 2,61. По справочным таблицам для n = 20 и γ = 0,95 находим t γ : t γ = 2,09. Тогда доверительный интервал для математического ожидания a равен х в – t γ s / √n < a < х в – t γ s / √n или 174,2–2,1*12,6/√20 13. Найдем доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения σ с надежностью 0,95. Согласно формуле (11) при объеме выборки n = 20 и надежности γ = 0.95, s(1 – q) < σ < s(1 + q). Значение q находим из справочных таблиц : q = 0,37. Тогда доверительный интервал для среднего квадратического отклонения σ равен 12,61 (1 – 0,37) < σ < 12,61 (1 + 0,37); 7,94 < σ < 17,28. i x i вариационный ряд 1 175,9 141 2 156,9 156,9 3 184 162 4 186,2 166,4 5 141 167,1 6 162 167,2 7 166,4 167,9 8 192,3 172,5 9 195,9 172,9 10 167,9 175,4 11 175,4 175,9 12 178 176,2 13 182,6 178 14 179,5 179,5 15 172,9 182,6 16 176,2 184 17 167,1 184,6 18 184,6 186,2 19 167,2 192,3 20 172,5 195,9 x в 174,23 174,23 s 2 159,11 s 12,6137 40 IV. Проверка статистических гипотез Используем данные выборки из предыдущего пункта (вариационный ряд в третьем столбце табл. Д). 14. Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости α = 0,05. В качестве нулевой (основной) гипотезы H 0 примем предположение о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости α = 0,05. 1) Предварительно разобьем весь размах выборки на 5 равных частей длиной h точками x i *, i = 1, … , 6. x min = 141,00; x max = 195,90; h = (195,9–141) / 5 = 10,98. Вычислим выборочную среднюю x в * и среднее квадратичное отклонение σ*, причем в качестве вариант x i берем середины интервалов x i ср * = (x i * + x i+1 * )/2. Результаты сведены в табл. Е. Таблица Е x в * = (∑x i ср *n i *)/20 = 173,94; σ*=((∑(x i ср *–x в ) 2 n i *)/20) ½ =11,25. Замечание: Интервалы, где частоты малы, могут быть объединены с соседними. В этом случае частоты складываются. В примере можно было бы объединить первый и второй интервалы с объединенной частотой 1+ 2. 2) От случайной величины X перейдем к стандартной случайной величине Z из N(0,1), сдвинув математическое ожидание x в в начало координат и пронормировав по σ к единице: z i = (x i ср *–x в *) / σ*; i = 1, 2, 3, 4, 5; при этом полагаем z 1 = – ∞, а z 6 = ∞. Результаты сведены в табл. Ж. Таблица Ж Номер интерв. Границы интервалов X Границы интервалов Z x i * x i+1 * z i z i+1 1 141,00 151,98 – ∞ -1,95 2 151,98 162,96 -1,95 -0,98 3 162,96 173,94 -0,98 0,00 4 173,94 184,92 0,00 0,98 5 184,92 195,90 0,98 ∞ Номер интерв. Границы интервалов x i ср * Частоты x i * x i+1 * n i * 1 141,00 151,98 146,49 1 2 151,98 162,96 157,47 2 3 162,96 173,94 168,45 6 4 173,94 184,92 179,43 8 5 184,92 195,90 190,41 3 x в *= 173,94 20 σ* = 11,25 41 3) Вычислим теоретические частоты в предположении, что Z нормальная случайная величина. n i ' = nP i , где n – объем выборки (в рассматриваемом случае n = 20), P i = Ф(z i+1 ) – Ф(z i ), вероятности попадания X на интервал (x i *,x i+1 *) или Z на (z i ,z i+1 ), а Ф(z i ) - функция Лапласа (ее значения определяются по справочным таблицам). Результаты вычислений сведены в табл. З. Таблица З | Таблица И Номер интерв. Границы интервала Z Ф(z i ) Ф(z i+1 ) P i = n i ' = nP i Частоты (n i *) 2 /n i ' z i z i+1 Ф(z i+1 )-Ф(z i ) n i * 1 – ∞ -1,95 -0,5000 -0,4744 0,0256 0,51 1 1,95 2 -1,95 -0,98 -0,4744 -0,3365 0,1379 2,76 2 1,45 3 -0,98 0,00 -0,3365 0,0000 0,3365 6,73 6 5,35 4 0,00 0,98 0,0000 0,3365 0,3365 6,73 8 9,51 5 0,98 ∞ 0,3365 0,5000 0,1635 3,27 3 2,75 m = 5 ∑= 1,00 20,00 20 21,01 χ 2 =∑(n i *) 2 /n i '-n = 1,01 4) Вычисляем эмпирическое значение χ 2 набл критерия Пирсона (13 ) ∑ = − = = m 1 i ' i 2 i 2 набл 01 , 1 n n / n χ и сравниваем его значение с критическим χ 2 кр значением, найденным по справочным таблицам "Критические точки распределения χ 2 " для уровня значимости α = 0,05 и числу степеней свободы k = m – 3 = 5 – 3 = 2 (m – число интервалов) χ 2 кр (0,05;2) = 6,0. Так как χ 2 набл < χ 2 кр , делаем вывод о том, что данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности. Нет оснований отвергнуть гипотезу H 0 15. Сформулировать нулевую гипотезу о величине генеральной средней (при неизвестной дисперсии) и проверить три альтернативные гипотезы для уровня значимости α = 0,05. Используем данные выборки и расчетов из предыдущего раздела (ряд в третьем столбце табл. Д). В качестве нулевой (основной) гипотезы H 0 примем предположение о том, что генеральная средняя a равна числу a 0 . Для определенности в качестве a 0 возьмем полученное ранее выборочное среднее x в , округленное до ближайшего целого числа, кратного 5, т.е. a 0 = 175. Рассмотрим три варианта выбора альтернативной гипотезы Н 1 а) H 1 : генеральная средняя a не равна a 0 , т.е. a ≠ 175. 42 Вычислим по результатам выборки значение критерия Стьюдента T (15) = − = ) n / s ( ) a x ( T 0 в выб – 0,2748. По таблице «Критические точки распределения Стьюдента», по заданному уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы k = n – 1 = 20 – 1 = 19 находится двустороннее критическое значение T: T двустор.кр (α;k) = T двустор.кр (0,05;19) = 2,09. Так как при этом | T выб | = = 0,27 < T двустор.кр = 2,09, то основная гипотеза принимается, а конкурирующая - отвергается. б) H 1 : генеральная средняя a больше a 0 , т.е. a > 175. По таблице «Критические точки распределения Стьюдента», по заданному уровню значимости α = 0,05 и и числу степеней свободы k = n – 1 = 20 - 1 = 19 находится одностороннее критическое значение T: T правостор.кр ( α;k) = T правостор.кр ( 0,05;19) = 1,73. Так как при этом T выб = = – 0,27 < T правостор.кр = 1,73, то основная гипотеза принимается, а конкурирующая – отвергается. в) H 1 : генеральная средняя a меньше a 0 , т.е. a < 175. По таблице «Критические точки распределения Стьюдента», по заданному уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы k = n – 1 = 20 – 1 = 19 находится одностороннее критическое значение T: T левостор.кр ( α;k) = –T одностор.кр ( 0,05;19) = – 1,73. Так как при этом T выб = –0,27 > T правостор.кр = – 1,73, то основная гипотеза принимается, а конкурирующая – отвергается. Замечание. Пункты б) и в) дали тривиальные результаты потому, что ранее в пункте а) уже было показано, что на уровне значимости 0,05 любое предположение о неравенстве a ≠ 175 должно быть отвергнуто (в том числе и a < 175, и a > 175). 16. Сформулировать нулевую гипотезу о величине генеральной дисперсиии проверить три альтернативные гипотезы для уровня значимости α = 0,05. Используем данные выборки и расчетов из предыдущего раздела (ряд в третьем столбце табл. Д). В качестве нулевой (основной) гипотезы H 0 примем предположение о том, что генеральная дисперсия σ 2 равна числу σ 2 0 . Для определенности в качестве σ 2 0 возьмем полученную ранее выборочную исправленную дисперсию s 2 , округленную до ближайшего целого числа, кратного 5, т.е. σ 2 0 = 160. Рассмотрим три варианта выбора альтернативной гипотезы Н 1 а) H 1 : генеральная дисперсия σ 2 не равна σ 2 0 , т.е. σ 2 ≠ 160. 43 Для проверки этой гипотезы по результатам выборки вычисляется значение критерия (14) σ 1)s - (n χ 2 0 2 выб 2 = = 18,89. Затем по таблице «Критические точки распределения χ 2 », по заданному уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы k = n – 1 = 19 находятся левое критическое значение χ 2 лев.кр (1 – α/2; k) = = χ 2 лев.кр (0,975; 19) = 8,91 и правое критическое значение χ 2 прав.кр (α/2; k) = = χ 2 прав.кр (0,025; 19) = 32,9. Так как при этом χ 2 лев.кр = 8,9 < χ 2 выб = 18,8 < < χ 2 прав.кр = 32,9, основная гипотеза принимается, а конкурирующая – отвергается. б) Пусть теперь H 1 : σ 2 > σ 0 2 , те σ 2 > 160. Для проверки этой гипотезы по результатам выборки вычисляется значение критерия (14) χ 2 выб .= 18,9 (вычислено в пункте а)). Затем по таблице «Критические точки распределения χ 2 », по заданному уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы k = n – 1 = 20 – 1 = 19 находится критическое значение χ 2 кр ( α;k) = χ 2 кр (0,05;19) = 30,1. В этом случае χ 2 выб = 18,9 < χ 2 кр = 30,1, следовательно, нет оснований отвергнуть основную гипотезу, конкурирующая – отклоняется. в) Пусть теперь H 1 : σ 2 < σ 0 2 . Для проверки этой гипотезы по результатам выборки вычисляется значение критерия (13) χ 2 выб . =18,9. Затем по таблице «Критические точки распределения χ 2 » по заданному уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы k = n – 1 = 19 находится критическое значение χ 2 кр ( 1– α;k) = χ 2 кр ( 0,095;19) = 10,1. Так как χ 2 выб = 18,9 > χ 2 кр = 10,1, то основная гипотеза принимается, а конкурирующая – отвергается. 44 Литература 1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для вузов. Изд. 7, стер. – М.: Высш. шк., 2004. 2. Гмурман В.Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Учебное пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 2004. 3. Серебряный М.С. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Учебное пособие. – Новогорск, 2001. 45 Приложение 1 Министерство Российской Федерации по делам гражданской обороны, чрезвычайным ситуациям и ликвидации последствий стихийных бедствий АКАДЕМИЯ ГРАЖДАНСКОЙ ЗАЩИТЫ Кафедра 14 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА К КУРСОВОЙ РАБОТЕ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Руководитель Исполнитель « » учебная группа 46 Химки – 200 АКАДЕМИЯ ГРАЖДАНСКОЙ ЗАЩИТЫ Кафедра _______________________________________________ (наименование или номер кафедры) (гриф секретности) Экз. № ______ УТВЕРЖДАЮ начальник кафедры____________________________________________ (должность, воинское звание, подпись, фамилия) «______» _______________________ 200 г. ЗАДАНИЕ на курсовую работу (задачу) по дисциплине______________________________________ (наименование учебной дисциплины) Курсанту (слушателю) факультета ____________________________________ (воинское звание, фамилия, имя, отчество) Тема________________________________________________________________ Обсуждено на заседании кафедры «______»____________ 200____г. Протокол №__________________ 47 Химки – 200 I. Целевая установка:_____________________________________________ II. Основные вопросы:_____________________________________________ ________________________________________________________________ III. Исходные данные (обстановка):___________________________________________ ________________________________________________________________ IV. Перечень материалов, представляемых к защите:___________________________________________________ ________________________________________________________________ IV. Перечень экспериментальных работ и расчетов на ЭВМ, проводимых в процессе работы над темой: _________________________ ________________________________________________________________ VI. Общий объем и требования к оформлению отчетных материалов: ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ VII. Перечень литературы: ______________________________________ ________________________________________________________________ VIII.Сроки представления выполненной работы руководителю и готовность ее к защите __________________________________________ _______________________________________________________________ Руководитель____________________________________________________ (должность, воинское звание, подпись, фамилия) «_____» _______________ 200 г. Консультант _________________________________________________________ (должность, воинское звание, подпись, фамилия) «_____»_______________ 200 г. Задание получил _____________________________________________________ 48 (воинское звание, подпись, фамилия курсанта (слушателя)) «_____»_______________200 г. |