Учебнометодическое пособие Саратов 2008 2 Содержание содержание 2 теоретическая справка 4
 Скачать 0.74 Mb.
|
|
Оконное преобразование Фурье Спектральный анализ, позволяющий выделить присутствующие в сигнале гармоники, является эффективным средством анализа временных реализаций, частотный состав которых не изменяется с течением времени. В тех же случаях, когда в сигнале возникают (или исчезают) гармоники, или частота гармоник плавно изменяется с течением времени, необходим иной (хотя, может быть, в чем-то похожий на спектральный) метод анализа временного ряда. Невозможность отследить появление (исчезновение) или изменение частотных составляющих сигнала кроется в самом механизме спектрального анализа, а именно: при преобразовании Фурье интегрирование проводится по всей длине временной реализации (от до ∞ − ∞ + ) и каждая гармоника, присутствующая во временной реализации в тот или иной интервал времени, накладывает свой «отпечаток» на общий вид спектра. Следовательно, если возникает задача определять, как менялся частотный состав сигнала с течением времени, необходимо отказаться от интегрирования по всему временному интервалу ( ∞ − ; ) и рассматривать некоторый диапазон длительностью 2T [t ∞ + 0 – T; t 0 + T], где t 0 – интересующий нас момент времени, в который мы хотим локально определить частотные составляющие, присутствующие в сигнале: ∫ + − − = T t T t ft j dt e t x t f X 0 0 2 0 ) ( ) , ( π Для того, чтобы составить представление о всем сигнале, необходимо сдвигать «окно», длительностью 2T, вдоль временной реализации. В этом случае, в зависимости от выбора t 0 , получается «свой» спектр, изменяющийся по мере того, как «окно» Фурье-преобразования перемещается вдоль реализации. Фактически, t 0 является переменной величиной, и возникает необходимость рассматривать поверхность X(f, t 0 ). Литература [1] Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. – М.:Мир, 1978. – 21 – – 22 – [2] Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ. – М.: Мир, 1990. [3] Гольдберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н., Цифровая обработка сигналов. – М.: Радио и связь, 1990. [4] Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. – М.: Мир, 1982. III. Непрерывный вейвлетный анализ Непрерывное вейвлетное преобразование с комплексным материнским вейвлетом для хаотического временного ряда x(t) осуществляется [1]: ∫ ∞ ∞ − = dt t t x t s W t s ) ( ) ( ) , ( * , 0 0 ψ , (3.1) где ) ( 0 , t t s ψ – вейвлетная функция, получающаяся из материнского вейвлета: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = s t t s t t s 0 0 , 1 ) ( 0 ψ ψ . (3.2) Параметр s , называемый масштабом вейвлетного преобразования ( + ℜ ∈ s ), отвечает за ширину вейвлета ) ( 0 , t t s ψ , а ℜ ∈ 0 t – параметр сдвига, определяющий положение вейвлета на временной оси t . В формуле (3.1) символ «*» означает комплексное сопряжение. Необходимо отметить, что при проведении вейвлетного анализа термин «временной масштаб» используется вместо термина «частота», традиционного для Фурье-анализа. Множитель s / 1 в соотношении (3.2) введен для того, чтобы все вейвлетные функции ) ( 0 , t t s ψ имели постоянную (единичную) норму в пространстве ) ( 2 ℜ L 1 2 2 0 0 , = = L L t s ψ ψ , (3.3) где норма пространства определяется как ) ( 2 ℜ L 2 / 1 * ) ( ) ( 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ∫ ∞ ∞ − dx x f x f f L . (3.4) Из последних соотношений, в частности, следует, что непрерывное вейвлетное преобразование изометрически отображает пространство функций одной переменной в двухмерное вейвлетное пространство: ) ( ) ( : 2 + ℜ × ℜ → ℜ W L W и, следовательно, информация, содержащаяся в коэффициентах вейвлетного преобразования является избыточной. Отсюда следует, например, тот факт, что – 23 – непрерывное вейвлетное преобразование случайного сигнала будет показывать наличие корреляции, которой нет в сигнале, но которая естественным образом присутствует в самом преобразовании. Это является достаточно существенным недостатком вейвлетного преобразования и его необходимо учитывать при интерпретации вейвлетных спектров. Материнский вейвлет ψ 0 может быть выбран достаточно произвольно, однако при этом он должен удовлетворять ряду условий. Условие локализации. Базисная вейвлетная функция (материнский вейвлет) ψ 0 должна быть локализована как во временном, так и в частотном представлении. Для этого необходимо, чтобы ψ 0 была задана на конечном интервале и обладала достаточной регулярностью. Условие допустимости. Материнский вейвлет должен быть выбран таким образом, чтобы его Фурье-образ ) ( 0 ω ψ удовлетворял условию ∞ < = ∫ ∞ ∞ − ω ω ω ψ π ψ d C 2 0 ) ( 2 . (3.5) Отметим, что для практического применения часто достаточно рассмотрения только положительных частот (следствие разумного условия s > 0), поэтому материнский вейвлет должен удовлетворять соотношению ∫ ∫ ∞ + ∞ + − × = × = 0 2 0 0 2 0 ) ( € 2 2 ) ( € 2 2 ω ω ω ψ π ω ω ω ψ π ψ d d C . (3.6) Подчеркнем также, что для всех практических целей условие (3.5) эквивалентно требованию нулевого среднего 0 ) ( 0 = ∫ +∞ ∞ − dt t ψ (3.7) или 0 ) 0 ( 0 = ψ , (3.8) что следует из соотношения (3.5). Иногда бывает необходимым, чтобы не только нулевой момент (3.7) обращался в ноль, но и все первые m моментов были равны нулю 0 ) ( 0 = ∫ +∞ ∞ − dt t t m ψ . (3.9) – 24 – Такие вейвлеты (вейвлеты m-ого порядка) позволяют анализировать мелкомасштабные флуктуации и особенности высокого порядка, игнорируя при этом наиболее регулярные (полиномиальные) составляющие сигнала. В этом случае коэффициенты вейвлетного преобразования будут малы в областях, где функция имеет гладкость до порядка обращающихся в нуль моментов, и вейвлетное преобразование будет реагировать только на изменения функции высокого порядка. Действительно, раскладывая в вейвлетном преобразовании (3.1) функцию f(t) в ряд Тейлора в окрестности точки t 0 , получим ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − K K dt s t t t t t f dt s t t t f s t s W n n 0 * 0 0 0 ) ( 0 * 0 0 0 ) ( ) ( 1 ) , ( ψ ψ . (3.10) В этом случае первые m слагаемых соотношения (3.10) в силу (3.9) обращаются в ноль и существенное влияние оказывают изменения высоких порядков. Заметим, что для практических целей иногда оказывается достаточным, чтобы условие (3.9) выполнялось приблизительно. Наконец, следует упомянуть еще условие ограниченности ∞ < ∫ +∞ ∞ − dt t 2 0 ) ( ψ (3.11) В качестве оценки хорошей локализации и ограниченности могут служить соотношения |ψ 0 ( t)| < 1/(1+|t| n ) или ) 1 /( 1 ) ( € 0 0 ω ω ω ψ − + < , где ω – доминантная частота вейвлета, а величина параметра n должна быть как можно больше. В том случае, если условие допустимости (3.5) выполняется, существует обратное вейвлетное преобразование ∫ ∫ +∞ +∞ ∞ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 0 0 0 0 0 2 ) , ( 1 ) ( dt t s W s t t s s ds C t x ψ ψ . (3.12) Таким образом, вейвлетное преобразование осуществляется с единственной материнской вейвлетной функцией, которая хорошо локализована и быстро стремится к нулю. С помощью нее покрывается вся ось ) ; ( ∞ −∞ ℜ за счет системы сдвигов (переносов). Пусть такие сдвиги являются целыми, то есть рассматриваются сдвиги вида ψ (η – k). Введем тогда аналог частоты, которую запишем для определенности через степени двойки: ψ (2 j η – k), где j, k – целые числа. Учитывая вышесказанное с помощью масштабных преобразований (1/2) j – 25 – и cдвигов k/2 j возможно описать все частоты и покрыть ими всю ось, имея единственную базовую вейвлетную функцию. Заметим, что норма (3.12) вейвлетной функции 2 2 ) ( 2 ) 2 ( 0 2 / 0 L j L j k η ψ η ψ − = − , поэтому, если базисная вейвлетная функция ψ 0 ( η) имеет единичную норму, то все функции {ψ jk }, порождаемые ею ψ jk (η) = 2 j/2 ψ 0 (2 j η – k) также будут иметь единичную норму. Базисная вейвлетная функция называется ортогональной и составляет ортонормированный базис в том случае, если km jl L lm jk δ δ ψ ψ = 2 2 . (3.13) Конкретный выбор анализирующего материнского вейвлета определяется тем, какую информацию необходимо извлечь из сигнала. Каждая базовая вейвлетная функция ψ 0 характеризуется различными свойствами, что позволяет, используя разные вейвлетный функции, выявить все особенности анализируемого сигнала f(t). Одним из наиболее часто используемых комплексных материнских вейвлетов является морлет–вейвлет ψ 0 (η) = π -1/4 exp(jω 0 η) exp(–η 2 /2), (3.14) где ω 0 – параметр вейвлета. Обычно рассматривается морлет–вейвлет с параметром ω 0 = 6.0. Морлет–вейвлет обладает хорошо локализованным в реальном и фурье-пространстве базисом, причем с увеличением ω 0 растет разрешение в фурье-пространстве, но ухудшается локализация во времени. Другим комплексным вейвлетом является вейвлет Паула ) 1 ( 0 ) 1 ( ) ! 2 ( ! 2 ) ( + − − = m m m j m m j η π η ψ , (3.15) где m – порядок вейвлета. Достаточно часто рассматривается вейвлет Паула порядка m = 4. Заметим, что чем больше параметр m, тем больше нулевых моментов имеет паул-вейвлет. В качестве действительных базовых вейвлетных функций широко используется семейство DOG вейвлетов, которые конструируются на базе производных функции Гаусса: – 26 – ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Γ − = + 2 exp 2 1 ! 1 ) ( 2 5 0 1 0 η η η ψ m m m m d d m m j . (3.16) Материнский вейвлет, соответствующий m = 1, называется WAVE вейвлетом; m = 2 – MHAT–вейвлетом (Mexican Hat – «Мексиканская шляпа»). Существуют и другие базовые вейвлетные функции, которые применяются для различных приложений. По аналогии со спектром мощности Фурье–преобразования ( ) ( ) 2 € ω ω f P = можно ввести в рассмотрение мгновенное ( ) ( ) 2 0 0 , , t s W t s E = (3.17) и интегральное ( ) ( ) ∫ = 0 2 0 , dt t s W s E (3.18) распределения энергии по масштабам вейвлетного преобразования. Интегральное распределение энергии по масштабам для вейвлетного преобразования связано с фурье-спектром мощности соотношением вида ( ) ( ) ( ) ∫ ≈ ω ω ψ ω d s P s s E 2 . (3.19) Из соотношения (3.19) следует, что распределение энергии по масштабам ( ) s E представляет собой сглаженный спектр мощности фурье--преобразования, причем характер сглаживания определяется фурье-образом материнского вейвлета ψ 0 – 27 – Рисунок 3.1. Частотно–временная локализация в фазовом пространстве (t, ω) для различных преобразований: (а) дискретная выборка (преобразование Шенона), (б) преобразование Фурье, (в) оконное фурье-преобразование, (г) вейвлетное преобразование. Для получения точной информации о высокочастотных гармониках исследуемого сигнала с высокой разрешающей способностью во времени нам необходимо извлекать ее из коротких временных интервалов, а не из всего сигнала, в то время как, информацию о низкочастотной части спектра необходимо получать, анализируя достаточно длительные интервалы времени. На рис. 3.1 иллюстрируются возможности частотно–временной локализации различных преобразований. На рис. 3.1 а показана схема разбиения фазового пространства (t, \ω) для выборки дискретных значений сигнала, где в качестве базисной функции служит δ–функция (преобразование Шеннона). В этом случае получаем, что сигнал оказывается хорошо локализован во времени и совершенно не разрешен по частоте. Из рис. 3.1 б, соответствующего преобразованию Фурье, видно, что мы имеем хорошее разрешение по частоте и не имеем локализации во времени. Рис. 3.1 в соответствует оконному – 28 – – 29 – ) преобразованию Фурье. Из рисунка понятно, что в данном случае временное разрешение на больших и малых масштабах постоянно и определяется размером окна. В случае же вейвлетного преобразования базисные функции имеют уменьшающееся с увеличением масштаба s временное разрешение (определяемое шириной вейвлетной функции ψ(t/s) и увеличивающееся с масштабом разрешение по частоте (определяемое шириной Фурье–образа вейвлетной функции ( ω ψ s € , что дает хорошую временную локализацию на малых масштабах и хорошее частотное разрешение при больших масштабах (рис. 3.1 г). Литература [1] Короновский А.А., Храмов А.Е. «Непрерывный вейвлетный анализ и его приложения», М.: Физматлит, 2003 [2] Lewalle J. Tutorial on Continuous Wavelet Analysis of Experimental Data. http://www.ecs.syr.edu/faculty/lewalle/tutor/tutor.html [3] Daubechies I. Ten Lectures on Wavelets. SIAM, 1991 (Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. М.–Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001) [4] Blatter C. Wavelets: A Primer, Natick, Mass.: A.K. Peters, 1998 (Блаттер Ч. Вейвлет–анализ. Основы теории, М.: Постмаркет, 2001) [5] Chui C.K. Introduction to Wavelets, Boston: Academic, 1992 (Чуи К. Введение в вейвлеты. M.: Mир, 2001) [6] Meyer Y. Wavelets: Algorithms and Applications. Philadelphia: SIAM. 1993 [7] Meyer Y. Wavelets and Operators. Cambridge: Cambridge University Press. 1992 [8] Chan Y.T. Wavelet Basics. Boston: Kluwer Acad., 1995 [9] Meyer Y. and Roques S. Progress in wavelets analysis and applications. Editions Frontieres. Gif–sur–Yvette. 1993 [10] Ogden R.T. Essential wavelets for statistical applications and data analysis. Birkhauser, Boston, Basel, Berlin. 1997 [11] Ruskai M.B., Beylkin G., Coifman R., Daubechies I., Mallat S., Meyer Y. and Raphael L. Wavelets and their applications and data analysis. Boston: Jones and Bartlett. 1992 – 30 – [12] Carmonia R. Practical Time-Frequency Analysis. Academic Press. 1998 [13] IEEE Transacton Theory. Special issue on wavelet transforms and multiresolution signal analysis. Vol. 38, № 2. March 1992 [14] Applied and Computational Harmonic Analysis. Special Issue on Wavelet Applications in Engineering. Vol. 10, № 3, May 2001 [15] Holschneider M. Wavelets, An Analysis Tool. Clarendon Press, 1993 [16] Farge M., Hunt J.C.R. and Vassilicos J.C. Wavelets, Fractals and Fourier Transforms. Oxford: Oxford University Press, 1995 – 31 – IV. Краткое описание экспериментальных сигналов Изучение сложного поведения ансамблей нейронных элементов привлекает в последнее время значительный интерес со стороны исследователей. С этой точки зрения, головной мозг, являющийся чрезвычайно сложным нейронным ансамблем, представляется интересным объектом для исследования. Изучение головного мозга представляет собой теоретический интерес и имеет большое прикладное значение, поскольку выявление основных закономерностей функционирования мозга позволяет выявить причины возникновения и развития патологий центральной нервной системы [1]. При исследовании процессов, происходящих в головном мозге, часто используются теоретические подходы, основанные на построении относительно простых моделей отдельных нейронов [2], которые затем связываются друг с другом [3]. Следующим шагом в сторону усложнения рассматриваемых моделей является рассмотрение цепочек, решеток и сетей из таких элементов, моделирующих отдельные мозговые структуры [4]. Очевидно, что результаты, полученные из рассмотрения таких моделей, должны сопоставляться с результатами экспериментальных наблюдений. Несколько другим подходом является изучение экспериментальных временных рядов и анализ их методами нелинейной динамики [5,6]. С помощью вейвлет-анализа удается провести диагностирование динамического поведения в случае спонтанной судорожной активности неконвульсивного типа. Для этой цели используются долговременная регистрация пароксизмальной активности у животных, генетически предрасположенных к абсанс эпилепсии (крысы линии WAG/Rij). Судорожная активность оценивалась экспертом по электрокортикограмме (ЭКоГ), записанной у интактных свободно-подвижных животных с хронически вживлёнными электродами, как описано в [7]. Длительность ЭКоГ записей варьировала от 6 часов до 4х суток. В работе использовались как самцы, так и самки данной линии крыс. Фрагмент типичного временного ряда (энцефалограммы) представлен на рисунке 4.1. Видно, что судорожный разряд пик-волнового типа, характерный для этого вида эпилепсии [7], представляет из себя вспышку генерализованной – 32 – синхронной активности участков головного мозга, что находит свое отражение в увеличении амплитуды регистрируемых колебаний. Таким образом, типичная энцефалограмма, регистрируемая в ходе наших наблюдений, представляет собой чередование низкоамплитудных полиритмических участков ЭКоГ, соответствующих «нормальному» функционированию головного мозга (будем называть такие участки ламинарными), и участков высокоамплитудной генерализованной активности с относительно стабильной несущей частотой и высокой амплитудой (условимся называть эти участки турбулентными фазами), соответствующих эпилептическим припадкам. Подробное исследование аналогичных временных рядов проводится в [8, 9]. Студент, освоивший на модельных сигналах инструменты статистического, спектрального и вейвлетного методов прикладного анализа, без труда сможет разработать алгоритм, позволяющий с хорошей точностью отделить на временных рядах участки, соответствующие сонным веретенам и пик-волновым разрядам. Особое внимание необходимо уделить обоснованию того, почему именно вейвлетное преобразование должно стать основой такого алгоритма. Рисунок 4.1. Отрезок исследуемого временного ряда электроэнцефалограммы крысы линии WAG/Rij, больной абсанс эпилепсией. На ЭЭГ, снятой из области фронтальной коры, на фоне нормальной активности головного мозга наблюдаются характерные временные паттерны – сонное веретено и пик-волновой разряд – 33 – |