Учебнометодическое пособие Саратов 2008 2 Содержание содержание 2 теоретическая справка 4
 Скачать 0.74 Mb.
|
|
Исследуемые экспериментальные временные ряды (энцефалограммы) Frl_time.txt Сигнал с левой фронтальной коры головного мозга крысы vibl_time.txt Сигнал с левой сенсорной коры вибрисс HLL_time.txt Сигнал с левой сенсорной коры задней конечности EMGR_time.txt EMGL_time.txt Записи мышечной активности мышц, отвечающих за движение усов крысы (справа и слева) HipК_time.txt HipL_time.txt Сигнал из гиппокампа справа и слева OcL_time.txt OcR_time.txt Oc2L_time.txt Oc2R_time.txt Сигналы из различные областей затылочной коры справа и слева – 35 – Литература [1] Tass P.A. et al. // Phys. Rev. Lett. 90(8), (2003), 088101 [2] Казанцев В.Б., Некоркин В.И., Велардэ М.Г. // Изв. вузов. Радиофизика XLI (12), (1998), 1623–1635 [3] Nekorkin V.I., Kazantsev V.B., Velarde M.G. // Eur. Phys. J. B 16, (2000), 147 [4] Kazantsev V.B., Nekorkin V.I., Binczak S., Bilbaut J.M. // Phys. Rev. E 68, (2003), 017201 [5] Tass P.A. et al. // Phys. Rev. Lett. 81(15), (1998), 3291–3294 [6] Rosenblum M., Pikovsky A., Kurths J., Schafer C., Tass P. // In Handbook of Biological Physics, Elsiver Science, 2001, 279–321 [7] Van Luijtelaar E.L, Coenen A.M. // Neurosci Lett. 70(3), (1986), 393–397 [8] Hramov A.E., Koronovskii A.A., Midzyanovskaya I.S., Sitnikova E.Yu., van Rijn С.М. CHAOS. 16, (2006) 043111 [9] Короновский А.А., Кузнецова Г.Д., Мидзяновская И.С., Ситникова Е.Ю., Трубецков Д.И., Храмов А.Е. // Доклады Академии Наук. 409, 2 (2006) 274–276 ( http://nonlin.sgu.ru/db/viewall.php?lang=ru&type=year ) – 36 – Общие указания к выполнению практикума Для получения зачета по компьютерному практикуму к курсу «Самоорганизация» (допуска к экзамену) студенту необходимо, во-первых, пользуясь теоретической справкой, представленной в методическом пособии, освежить знания по основам прикладного анализа сигналов, и, во-вторых, полностью выполнить предлагаемые задания. По выполнению всех работ желающие могут получить усложненное задание, за выполнение которого ставится «автомат» по курсу «Физика открытых нелинейных систем». Задание направлено на самостоятельную работу учащегося – как изучение научной литературы, так и проведение своего исследования. Выполнение работ по компьютерному практикуму предусматривает написание программных модулей, производящих генерацию сигналов, расчет статистических характеристик, Фурье- и вейвлет-анализа. Язык программирования оставляется на выбор учащегося. Для визуализации данных рекомендуем использовать такие продукты как GNUPLOT, Grapher, Surfer и подобные графические построители для научно-технических задач. Акцент в выполнении заданий необходимо ставить на понимание полученных результатов и их возможное использование, а отнюдь не на оптимизации расчета характеристик. – 37 – Задание 1: Генерация модельных сигналов Численно сгенерируйте предложенные сигналы. Постройте временные зависимости исследуемых сигналов, при необходимости постройте фазовые портреты (для сигналов 9). Обратите внимание на то, что для упрощения дальнейшего анализа полученных сигналов необходимо реализовать запись полученных временных рядов в текстовые файлы, с записью как времени t, так и рассчитанных переменных f либо x , y , z. Кроме того, не забудьте, что любой прикладной метод анализа данных не «работает» для слишком коротких временных рядов. Для обеспечения корректного сравнения результатов анализа различных сигналов дискретные временные ряды данных должны содержать значения, рассчитанные как с одной и той же степенью точности, так и взятые через равные промежутки времени. Сигналы для исследования: 1. Периодический одночастотный сигнал 2. Периодический сигнал с двумя частотами 3. Периодический сигнал с двумя частотами, заменяющими друг друга с течением времени: f(t) = (1–H(t))cos(ω 1 t)+ H(t) cos(ω 2 t), H(t) – функция Хевисайда, H(t) = 0 при t ≤ 0 и 1 при t > 0 4. Сигнал, частота которого линейно возрастает с течением времени: f(t) = cos(ωt) где ω = ω 1 + a (ω 2 – ω 1 )t 5. Квазипериодический сигнал 6. Сигнал в виде последовательности прямоугольных импульсов 7. Шумовые сигналы с равномерной и нормальной функциями распределения вероятности (смотрите теоретическую справку) 8. Экспериментальный сигнал (файлы с экспериментально снятыми временными рядами прилагаются к методическому пособию) 9. Хаотический сигнал, порожденный какой-либо из нижеприведенных систем (на выбор студента исследуются две системы) 1) система Рёсслера ; ; xz rz b z ay x y z y x + − = + = − − = & & & 2) система Лоренца ; ); ( xy bz z xz y rx y x y x + − = − − = − = & & & σ 3) осциллятор Уеды или осциллятор Дуффинга τ Ω = + + sin 3 A x x x & && 4) генератор Кияшко-Пиковского-Рабиновича где ε = 0,2, нелинейная характеристика f (z) задается кубической параболой: f (z) = 8,592 z – 22 z ), ( ; ; 2 z f x z x y gz y hx x − = − = − + = & & & ε 2 + 14,408 z 3 5) генератор с инерционной нелинейностью , ) ( 1 ; ; 2 x x gz z x y xz y mx x + − = − = − + = & & & ε где 1( x) обозначает ступенчатую функцию Хевисайда, 1(x) = 0 при x ≤ 0 и 1 при x > 0. Параметр g считается положительным. – 38 – 6) кольцевой генератор Дмитриева–Кислова ; ); exp( 2 Q z y z z x y z Mz x x T − = − = − = + & & & Величину Q будем считать фиксированной и равной 10, параметры T и M считаем положительными. 7) схема Чуа , ; )); ( ( y z z y x y x h y x β α − = − + = − = & & & где α и β – параметры, а функция h(x) традиционно задается в виде: ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − < < − − ≤ + = 1 , 7 3 2 , 1 1 , 7 , 1 , 7 3 2 x x x x x x h 8) генератор «Torus» , ; ) ( ); ( y z z x y y x y x γ γ η η γ α − = + − − = − − = & & & где |). 1 | | 1 (| 4 3 2 1 ) ( − − + + = ξ ξ ξ ξ ξ η Хаотические динамические системы должны быть тщательно численно проинтегрированы, выбор алгоритма численного интегрирования и точность алгоритма должны быть обоснованы. – 39 – – 40 – Также не забывайте про то, что любая динамическая система не попадает на аттрактор (режимы стационарной динамики) сразу же после старта с произвольного начального условия. Подумайте о том, каким образом исключить из рассмотрения переходной процесс. В каких случаях рассмотрение динамики системы на стадии переходного процесса может быть полезно? – 41 – Задание 2: Статистический и корреляционный анализ предложенных сигналов По временным рядам предложенных в задании 1 сигналов вычислите среднее арифметическое, первый начальный момент, вторые центральный и начальный моменты сигнала; оцените плотность распределения вероятности; постройте двумерную плотность распределения вероятности и автокорреляционную функцию (двумя способами). Являются ли хаотические сигналы, сгенерированные динамическими системами (например, системой Рёсслера), стационарными и/или эргодическими? Почему? Могут ли сигналы, порожденные реальными системами, являться стационарными и/или эргодическими? Ответ обоснуйте. Аналитически найдите выражение, определяющее автокорреляционную функцию для произвольного детерминированного периодического сигнала. Сформулируйте центральную предельную теорему. Численно на компьютере реализуйте алгоритм на её основе, позволяющий получить случайную последовательность с нормальным распределением вероятности (гауссов шум). Покажите с помощью расчета одномерной плотности распределения вероятности оптимальное число членов суммируемого ряда. Особо внимательно рассмотрите проблему отличия статистических характеристик детерминированных хаотических сигналов от шумовых. Можно ли четко оценить сигнал, полученный экспериментально, как хаотический или как шумовой? – 42 – Задание 3: Спектральный анализ Для временных рядов предложенных сигналов численно рассчитайте действительную и мнимую части преобразования Фурье, а также спектральную плотность мощности. Сравните полученные результаты с теоретическими. Поясните появляющиеся численные артефакты (например, для одночастотного сигнала) и расскажите о путях их устранения. При оценке преобразования Фурье периодической реализации рассмотрите случаи, когда преобразование Фурье выполняется для реализации, содержащей: 1) целое число периодов; 2) нецелое число периодов. Сравните спектры, рассчитанные по одной реализации и по нескольким фрагментам реализации с применением процедуры усреднения спектра. Выполните усреднение по 5, 20 и 100 фрагментам реализации анализируемого сигнала. Выполните оконное преобразование Фурье предлагаемых сигналов. Попробуйте разную ширину «окон» – выберите оптимальную. Покажите, что для сигналов 3 и 4 оконное преобразование даёт более полную информацию. Обсудите вопрос выбора размера «окна» преобразования для различных сигналов. Назовите достаточные условия существования прямого и обратного преобразования Фурье. Аналитически проведите прямое преобразование Фурье для детерминированного квазипериодического сигнала. Запишите равенство Парсеваля. Как определить полезный диапазон частот Фурье-спектра, содержащий неизбыточную информацию о сигнале? – 43 – Задание 4: Вейвлетный анализ временных рядов Проведите вейвлетный анализ для предложенных сигналов, постройте проекции распределения амплитуды |W(t 0 , s)| вейвлетного преобразования, распределение энергии по масштабам, полученные с помощью различных базисных вейвлетов: 1. морлет 2. паул 3. DOG Особое внимание уделите экспериментальному сигналу. Какой базисный вейвлет дает лучший результат при анализе энцефалограммы? В чем принципиальное различие морлет- и DOG- вейвлетов? Для каких сигналов применение вейвлет-анализа дает более полную информацию? Почему? Для каких сигналов выбор метода анализа не принципиален? Подумайте, каким образом можно провести модернизацию алгоритма расчета вейвлет-преобразования в целях увеличения скорости анализа сигналов? С математической точки зрения каким условиям должен удовлетворять материнский вейвлет? Запишите условия локализации, допустимости и ограниченности в строгом смысле и для численного расчета. С помощью какого класса материнских вейвлетов удобно рассмотреть мелкомасштабные флуктуации и особенности высоких порядков, игнорируя при этом наиболее регулярные (полиномиальные) составляющие сигнала? Докажите это, показав для каких вейвлетов существенное влияние будут оказывать изменения высоких порядков. Каким образом и с помощью каких соотношений можно оценить локализацию и ограниченность материнского вейвлета? – 44 – Схематично изобразите частотно-временную локализацию в фазовом пространстве ( t , ω ) для различных преобразований: преобразования Фурье, оконного преобразования Фурье, вейвлетного преобразования. Запишите выражения для мгновенного и интегрального распределений энергии по масштабам вейвлетного преобразования. Как связано интегральное распределение энергии по масштабам для вейвлетного преобразования с фурье- спектром мощности? |