Процессы и аппараты химической технологии. Учебнопрактическое пособие для самостоятельной работы студентов СанктПетербург 2017

• Название: Учебнопрактическое пособие для самостоятельной работы студентов СанктПетербург 2017
• Анкор: Процессы и аппараты химической технологии
• Дата: 03.10.2022
• Размер: 7.73 Mb.
• Имя файла: Процессы и аппараты химической технологии.pdf
• Тип: Учебно-практическое пособие; #711073
• страница: 2 из 5

3.1. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ХИМИЧЕСКИЕ
РЕАКТОРЫ»
Химическим реактором называется аппарат, в котором осуществляются химические процессы, сочетающие химические реакции массо- и теплопереноса. Одной из разновидностей химических реакторов является трубчатый реактор. Он представляется собой аппарат с множеством трубок, внутри которых находится катализатор. Трубки помещены в кожух. Таким образом в реакторе есть трубное и межтрубное пространство. В трубном пространстве происходит реакция, а межтрубное пространство заполняется хладагентом, отводящим тепло реакции.
Для трубчатого реактора при соотношении L/d 100 применима модель идеального вытеснения.
В таком реакторе приняты следующие допущения:
- все частицы движутся в заданном направлении, не перемешиваясь с движущимися впереди и сзади и полностью вытесняя подобно поршню находящиеся впереди частицы потока (плотность реакционной смеси по длине остаётся постоянной);
- время пребывания всех частиц внутри реактора одинаково;
- градиенты температур и концентраций по радиусу трубок отсутствуют.
В реакторе происходит реакция вида (рис. 3.1):

15
Рис. 3.1. Химическая реакция для реактора идеального вытеснения где А – исходная смесь, Б – целевой продукт, С – побочный продукт. w
1
, w
2
, w
3
– скорости реакций соответственно А Б, Б С и А С.
Физическую модель реактора можно представить следующим образом
(рис. 3.2)
Рис. 3.2. Физическая модель реактора
Графики распределения температур и концентраций по длине аппарата выглядят следующим образом (рис. 3.3):

16
Рис. 3.3. Графики распределения температур и концентраций по длине аппарата.
3.1.1.ЗАДАЧА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
Общая постановка задачи выглядит следующим образом: необходимо найти такие значения
d
L
l
T
G
C
,
),
(
,
,
0
А
, что критерий оптимальности
]
,
),
(
,
,
)[
(
А0
Б
d
L
l
T
G
C
L
C
достигает максимума при выполнении условий:
);
(
)
(
3 1
А
W
W
G
F
S
dl
l
dC




);
(
)
(
2 1
Б
W
W
G
F
S
dl
l
dC



;
0
;
0
)
0
(
;
)
0
(
Б
А0
А
L
l
С
С
С




;
;
)
(
max
0
А
0
А
min
0
А
max min
C
C
C
T
l
T
T




;
,
1
},
{
;
max min
m
n
d
d
G
G
G
n




;
*
1
;
;
1
c
А
Б
3 3
А
2 2
c
А
Б
1 1
C
b
C
K
W
C
K
W
C
b
C
K
W











3
,
1
,
exp
0






 


i
RT
E
K
K
i
i
i
(3.1)

17 где А, Б, В – реагенты: А - сырье, В - побочный продукт, Б - целевой продукт;
Б
А
, C
C
– концентрация сырья и целевого продукта;
3 2
1
,
,
W
W
W
– скорости химических реакций;
L – длина реакционной зоны;
d – диаметр трубы;
S – удельная поверхность катализатора;
F – площадь поперечного сечения трубы;
G – расход сырья;
T – температура в зоне реакций;


,
,
c
– стехиометрические коэффициенты;
0
i
K
, i = 1,2,3 предэкспоненциальные множители;
i
E
, i = 1,2,3 - энергии активации реакций;
R - универсальная газовая постоянная;
b – константа.
Система (3.1) – математическая модель трубчатого реактора для задачи поиска максимального, теоретически возможного выхода целевого продукта.
Поставленная задача относится к классу вариационных задач, для решения которых чаще всего используются прямые вариационные методы ,
общая схема применения которых заключается в том, что исходная
(вариационная) постановка задачи сводится к постановке задачи в виде поиска экстремума функции многих переменных с ограничениями, т.е. к задаче математического программирования.
Постановка задачи для одной трубы фиксированного диаметра d сводится к поиску таких значений
L
C
G
l
T
),
0
(
,
),
(
А
, что функционал
)
(
]
),
0
(
,
),
(
[
Б
А
L
C
L
C
G
l
T
I

достигает максимума при выполнении условий
(3.1).
Зададим искомую экстремаль T(l) в какой-либо форме, удобной для дальнейшего применения, например, в виде степенного полинома:

18




n
i
i
i
l
a
l
T
0
)
(
C учетом ограничения выражение (3.2) примет следующий вид:
;
)
(
если
,
)
(
T
если
,
;
)
(
если
,
)
(
m ax m in m in m in
0
m ax m ax
T
T
l
T
T
l
T
l
a
T
l
T
T
l
T
n
i
i
i














Тогда критерий оптимальности
]
),
0
(
,
),
(
[
А
L
C
G
l
T
I
будет преобразован к функции многих переменных, т.е.:
n
,
i
],
n
,
a
,
L
),
(
C
,
G
[
I
]
L
),
(
C
,
G
),
l
(
T
[
I
i
0 0
0
А
А


Таким образом, вариационная задача сводится к задаче математического программирования: необходимо найти такие
n
,
i
,
a
,
n
,
L
),
(
C
,
G
i
0 0
А

, что критерий оптимальности
)
L
(
C
]
a
,
n
,
L
),
(
C
,
G
[
I
i
Б
А
0

достигает максимума при выполнении условий
(3.1), (3.3).
Решение этой задачи может быть осуществлено с применением одного из методов непрерывного нелинейного программирования, например методом наискорейшего спуска.
Функция T(l) может быть найдена как в классе непрерывных, так и в классе кусочно-постоянных функций. В последнем случае выражение (3.3) преобразуется к виду:








L
l
l
,
T
l
l
,
T
)
l
(
T
min
max
пер пер если
0
если
Или








L
l
l
,
T
l
l
,
T
)
l
(
T
max
min
пер пер если
0
если
,
(3.5) где l
пер
– координата "точки переключения".
(3.2)
(3.3)
(3.4)

19
При этом критерий оптимальности примет вид:
)
L
(
C
]
l
,
L
,
G
),
(
C
[
I
Б
пер
А
0

, а постановка задачи сведется к следующему: необходимо найти такие пер
А
,
,
),
0
(
l
L
G
C
, что критерий (3.6) достигает максимума при выполнении условий (3.1), (3.4) или (3.5).
Графическое представление решений математических моделей (3.1)-
(3.3) приведено на рис. 3.4.
Рис. 3.4. Результаты решения задачи теоретической оптимизации.
Решение задачи теоретической оптимизации позволяет получить верхнюю оценку выхода целевого продукта
)
(
Б
L
C
в трубчатом реакторе с заданным кинетическим механизмом протекания химических превращений.
Наличие такого решения дает проектировщику представление о том, насколько близко он находится к теоретически возможному выходу
)
(
Б
L
C
при решении реальной задачи. Очевидно, что этот показатель при любых ухищрениях проектировщика, связанных с конструкцией аппарата, не может быть превышен.
3.1.2. ЗАДАЧА РЕАЛИЗАЦИИ (ОПТИМИЗАЦИЯ ТРУБЧАТОГО
РЕАКТОРА)
Постановка задач реализации процесса в реакторе имеет следующий вид: необходимо найти такие значения
x
x
G
T
T
G
C
L
d
),
0
(
),
0
(
,
),
0
(
,
,
А
что
(3.6)

20 критерий оптимальности
]
),
0
(
,
,
),
0
(
,
,
)[
(
А
Б
x
x
G
T
T
G
C
L
d
L
C
I

достигает максимума при выполнении условий математической модели.
Рассмотрим вид этих условий. Искомые параметры из условий физической реализуемости должны быть ограничены: max min
d
d
d


max min
L
L
L


max
А
А
min
А
)
0
(
)
0
(
)
0
(
C
C
C


max min
G
G
G


max min
)
0
(
)
0
(
)
0
(
T
T
T


max min
)
0
(
)
0
(
)
0
(
x
x
x
T
T
T


max min
x
x
x
G
G
G


Предположим, что все три реакции экзотермические, т.е. при превращении (расходовании, получении) одного моля реагента образуется
i
Q
количество тепла,
3
,
1

i
. Таким образом, в процессе получения веществ Б и С в реакционной зоне имеются внутренние источники тепла. C учетом принятых допущений уравнения, описывающие изменение концентраций и температур в зоне реакции и межтрубном пространстве, можно представить в следующем виде:
);
(
)
(
3 1
А
W
W
G
F
S
dl
l
dC




);
(
)
(
2 1
Б
W
W
G
F
S
dl
l
dC













3 1
);
(
П
)
(
i
x
T
i
i
T
T
c
G
K
Q
W
c
G
F
S
dl
l
dT
);
(
G
П
)
(
x
x
x
t
x
T
T
c
K
dl
l
dT




;
0
;
)
0
(
;
)
0
(
;
0
)
0
(
;
)
0
(
0 0
Б
А0
А
L
l
T
T
T
T
С
С
С
x
x






;
1
;
;
*
1
c
А
Б
3 3
А
2 2
c
А
Б
1 1
C
b
C
K
W
C
K
W
C
b
C
K
W











(3.7)
(3.8)

21 3
,
1
,
exp
0






 


i
RT
E
K
K
i
i
i
где С
А
, С
Б
– концентрации сырья и полезного продукта;
T(l) – температура в зоне реакции;
S
0
– удельная поверхность катализатора м
2
/м
3
;
F – поверхность раздела реакционной зоны и рубашки;
G – расход исходной смеси, поступающей в реактор;
L – длина реакционной зоны;
K
i0
– константы скорости i-й реакции, i=1,2,3;
γ, ν, c – стехиометрические коэффициенты;
R – универсальная газовая постоянная;
E
i
– энергия активации i-й реакции;
Q
i
– тепловой эффект i-й реакции.
Для решения уравнений математической модели (3.8) может быть использован метод Рунге-Кутта.
Таким образом, математическая модель трубчатого реактора с последовательно-параллельным кинетическим механизмом получения целевого продукта Б, предназначенная для поиска основных конструктивных и режимных характеристик аппарата, может быть представлена системой
(3.6),(3.7).
В окончательном виде формализованная постановка задачи поиска режимных и конструктивных характеристик реактора выглядит так: необходимо найти такие
x
x
G
),
(
T
),
(
T
,
G
),
(
C
,
m
,
L
,
d
0 0
0
А
что критерий оптимальности
]
G
),
(
T
),
(
T
,
G
),
(
C
,
m
,
L
,
d
)[
L
(
C
I
x
x
0 0
0
А
Б

достигает максимума. Здесь m – число труб реактора, которое определяет его производительность.
Далее расчетные соотношения приводятся для одной трубы.
Поставленная задача относится к классу задач непрерывного математического программирования и может быть решена одним из градиентных или безградиентных методов. В результате решения задачи

22 реализации исследователь получает следующие результаты: максимальное значение
)
(
Б
L
C
, величины
d
T
G
G
T
C
x
x
),
0
(
,
,
),
0
(
),
0
(
А
, проскок сырья
)
(
А
L
C
распределения
)
(
),
(
),
(
),
(
Б
А
l
C
l
C
l
T
l
T
x
по длине реакционной зоны, предельное значение температуры в зоне реакции, длину реакционной зоны
L. На рис. 3.5 приводится графическая иллюстрация решения задачи реализации. Температурный "выброс" в начале реакционной зоны объясняется экзотермическим характером всех трех реакций.
Рис. 3.5. Решение задачи реализации режимных и конструктивных характеристик трубчатого реактора
Решение задачи реализации учитывает реальные условия теплообмена.
Как частный случай решения задач теоретической оптимизации и реализации можно осуществлять при фиксированной, т.е. задаваемой заранее проектировщиком длины реакционной зоны.
3.1.3. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ ТРУБЧАТОГО РЕАКТОРА
ПУТЁМ УПРАВЛЕНИЯ АКТИВНОСТЬЮ КАТАЛИЗАТОРА
Рассмотрим ситуацию, когда кроме перечисленных выше параметров, в качестве варьируемой величины используется активность катализатора, изменяющаяся по длине реакционной зоны. Подобный подход позволяет устранить перегрев в реакционной зоне и устранить его отрицательное

23 влияние на выход целевого продукта. Естественно, что осуществить загрузку катализатора с различной активностью при числе труб более тысячи штук затруднительно, а порой невозможно. Поэтому постановку задачи поиска режимных и конструктивных характеристик трубчатого реактора будем осуществлять в классе непрерывных и кусочно-постоянных функций, которые характеризуют изменение активности катализатора по длине реакционной зоны.
Постановка задачи управления активностью катализатора в реакторе имеет следующий вид: необходимо найти такие значения
x
x
G
T
T
G
C
L
d
l
),
0
(
),
0
(
,
),
0
(
,
,
),
(
À

, что критерий оптимальности
]
),
0
(
,
,
),
0
(
,
,
),
(
)[
(
À
Á
x
x
G
T
T
G
C
L
d
l
L
C
I


достигает максимума при выполнении условий математической модели. В случае задания распределения активности катализатора в виде непрерывной функции будет получена верхняя оценка решения задачи (теоретически возможная, но на практике неприменимая). Введем понятие функции распределения активности катализатора по длине реакционной зоны:
1
)
(
0
,
0
),
(




l
L
l
l


(3.9)
За меру активности катализатора в рассмотренных выше примерах использовалась удельная поверхность S. Тогда
,
0
),
(
0
L
l
l
S
S





(3.10) где
0
S
- удельная поверхность катализатора при загрузке; S - текущее значение удельной поверхности катализатора.
Если
)
(l

непрерывная функция, то ее вид может быть следующим:




K
i
i
i
l
b
l
0
)
(

(3.11)
Тогда постановка задачи поиска режимных и конструктивных характеристик трубчатого реактора примет следующий вид: необходимо найти такие
,
,
,
),
0
(
,
),
(
),
(
А
m
d
L
C
G
l
l
T

что критерий оптимальности
)
L
(
C
]
m
,
d
,
L
),
(
C
,
G
),
l
(
),
l
(
T
[
I
б
А
0


достигает максимума.

24
Эта постановка задачи (вариационной) позволяет найти теоретически возможный выход целевого продукта
)
(
Б
L
C
при произвольном, независящим от условий реализации
)
(l
T
и
)
(l

изменении этих величин.
В реальных условиях число зон с различной активностью катализатора может колебаться от двух до трех-пяти, так как в промышленном реакторе провести более мелкое разбиение рабочей зоны трубы весьма трудно.
Таким образом, постановка задачи реализации условий теплопередачи и распределения активности катализатора по длине реакционной зоны сводится к следующему: необходимо найти такие пер
1
А
0 0
0
l
,
,
m
,
d
,
L
,
G
),
(
T
,
G
),
(
C
),
(
T
x
x

что критерий оптимальности
)
L
(
C
]
l
,
,
m
,
d
,
L
,
G
),
(
T
,
G
),
(
C
),
(
T
[
I
x
x
Б
пер
1
А
0 0
0


(3.12) достигает максимума при выполнении условий - математической модели трубчатого реактора, учитывающей реальное распределение
)
(l
T
и
)
(l

по длине реакционной зоны.
Таким образом, поиск функции
)
(l

осуществляется в классе кусочно- постоянных функций. Представим
)
(l

в следующем виде:








L
l
l
l
l
l
пер пер
1
если
,
1 0
если
,
)
(


или (3.13)








L
l
l
l
l
l
пер
1
пер если
,
0
если
,
1
)
(


Условие (3.9) записано для случая, когда число зон с различной активностью катализатора равно двум. Для трех зон условие (3.13) примет следующий вид:












L
l
l
l
l
l
l
l
l
пер2
пер2
пер1 2
пер1 1
если
,
1
если
,
0
если
,
)
(



или (3.14)

25












L
l
l
l
l
l
l
l
l
пер2 2
пер2
пер1 1
пер1
если
,
если
,
0
если
,
1
)
(



Аналогично можно записать условие определения
)
(l

при четырех или пяти зонах.
В условиях (3.13), (3.14) верхняя запись представляет возрастающую функцию
)
(l

, нижняя – убывающую. Использование той или другой формы записи для определения
)
(l

зависит от характера тепловых эффектов реакций и конструкции теплообменных устройств реактора. Уточним условия, входящие в математическую модель реактора в соответствии с поставленной задачей. Математическая модель трубчатого реактора для приведенной выше постановки задачи примет следующий вид:
);
(
)
(
3 1
А
W
W
G
F
S
dl
l
dC




);
(
)
(
2 1
Б
W
W
G
F
S
dl
l
dC













3 1
);
(
П
)
(
i
x
T
i
i
T
T
c
G
K
Q
W
c
G
F
S
dl
l
dT
);
(
G
П
)
(
x
x
x
t
x
T
T
c
K
dl
l
dT




;
0
;
)
0
(
;
)
0
(
;
0
)
0
(
;
)
0
(
0 0
Б
А0
А
L
l
T
T
T
T
С
С
С
x
x






;
1
;
;
1
c
А
Б
3 3
А
2 2
c
А
Б
1 1
C
b
C
K
W
C
K
W
C
b
C
K
W












3
,
1
,
exp
0






 


i
RT
E
K
K
i
i
i








L
l
l
l
l
l
пер пер
1
если
,
1 0
если
,
)
(


;
)
0
(
)
0
(
)
0
(
;
;
max
А
А
min
А
max min max min
С
С
С
L
L
L
d
d
d






;
;
)
0
(
)
0
(
)
0
(
;
max min max min max min
x
x
x
С
С
С
T
T
T
G
G
G






(3.15)

26 0
;
1 0
;
)
0
(
)
0
(
)
0
(
пер
1
max min
L
l
T
T
T
x
x
x







При разработке математической модели (3.15) сделано дополнительное допущение, что число зон с различной активностью катализатора равно двум, а функция
)
(l

- возрастающая.
Таким образом, формализованная (окончательная) постановка задачи поиска конструктивных и режимных характеристик трубчатого реактора сводится к следующему: необходимо найти такие пер
1
А
,
,
,
,
,
),
0
(
,
),
0
(
),
0
(
l
n
d
L
G
T
G
C
T
x
x

что критерий оптимальности (3.13) достигает своего максимума при ограничениях (3.15).
Решение подобной задачи позволяет "разгрузить" лобовой слой катализатора при сильно экзотермических реакциях и упростить систему теплоотвода. Кроме этого количество катализатора, необходимое для загрузки в реактор, снизилось. Выравнивание температурного режима и снижение количества катализатора в реакционной зоне способствует снижению себестоимости готовой продукции.