Геодезия. Учебное пособие 2е издание, переработанное рекомендовано методическим советом урФу для студентов, обучающихся по программе бакалавриата по направлению подготовки геодезия и дистанционное зондирование
 Скачать 3.89 Mb.
|
|
Астрономо-геодезическим уклонением отвесной линии называется угол u между нормалью к поверхности эллипсоида и отвесной линией в данной точке различают абсолютное и относительное уклонение отвесных линий. Под абсолютным уклонением отвесной линии в точке М понимают угол между нормалью М к общему земному эллипсоиду и направлением отвесной линии М в данной точке М рис. Относительным уклонением отвесной линии в точке М называется угол u 2 между нормалью М к поверхности референц- эллипсоида и отвесной линией М в данной точке M, по величине относительные уклонения больше абсолютных. наибольшие отклонения поверхности геоида (квазигеоида) от поверхности общего земного эллипсоида не превышают 120 м, те. они сравнительно малы, поэтому сравнительно малы и абсолютные уклонения отвесных линий. в равнинной местности уклонения отвесных линий составляют в среднем от 3" до 5", иногда достигают 10"–15", в горных районах, в районе озера байкал рис. 7. абсолютное и относительное уклонения отвесных линий 1 — физическая поверхность земли 2 — общий земной эллипсоид 3 — референц-эллипсоид M g n 1 n 2 u 1 u 2 1 2 3 самые большие уклонения отвесных линий наземном шаре обнаружены в районе гавайских островов (97"). 1.4. Влияние кривизны Земли на горизонтальные и вертикальные расстояния кривизна земли значительно влияет на точность построения карт, при производстве геодезических измерений и выполнении различных инженерных работ. докажем, что сравнительно небольшой участок уровенной поверхности земли с достаточной для практических целей степенью приближения можно считать плоскостью. следовательно, в этом случае можно пренебречь влиянием кривизны земли на горизонтальные расстояния. примем общую фигуру земли за сферу радиуса R. выберем две произвольные точки Аи В. расстояние между этими точками обозначим за d, а центральный угол, соответствующий дуге d, обозначим (рис. 8). риск определению поправок за кривизну земли [1, с. 25–28] ∆h A B C O R R d α t возьмем плоскость, касательную в точке Аи продолжим радиус ОВ до пересечения с этой плоскостью в точке С. если участок сферы, соответствующий дуге d, примем за плоскость, соответствующую отрезку касательной АС = t, то при этом допустим ошибку в горизонтальном расстоянии. подсчитаем, какая ошибка произойдет от замены дуги d отрезком касательной t. Δd = t – d — для горизонтального расстояния, (2) а в вертикальном расстоянии, например в превышении, она составит В, (3) t = R · tg α, d = R · α, где α выражен в радианах = R · (tg α – α). воспользуемся разложением tg α вряд по степеням аргумента функции (α) : tg α = α + 1/3 · α 3 + 2/15 · α 5 + .... так как d весьма незначительно в сравнении сто. тогда Δd = R · α 3 /3, где α = отсюда = 1/3 · относительная ошибка влияния кривизны земли на горизонтальные расстояния определится из следующей формулы = 1/3 (подсчитаем Δd и Δd/d для разных d и при R = 6371,11 км. в табл. 2 приведены значения Δd и Δd/d для расстояний от 1 км до 100 км Таблица Влияние кривизны Земли на вертикальные и горизонтальные расстояния для разных длин дуг горизонтальные расстояния вертикальные расстояния, км, см 0,0008 1/10000000 км см 5 0,102 1/5000000 км см 10 0,82 1/1250000 км мкм мкм мм см 50 102 1/49000 м мм 100 820 1/12195 м мм 1/84947 как видно из табл. 2, при относительной ошибке 1/1 250 000 дугу сферической поверхности земли d = 10 км можно заменить отрезком касательной в средней точке этой дуги, так как при этом относительная ошибка получается меньше, чем относительная ошибка 1/500 000 самых высокоточных измерений длин линий светодальномерами. замена дуги отрезком касательной в этом случае практически не будет ощутима. следовательно, участок сферической (уровенной) поверхности земли с длиной дуги d = 10 км можно с неощутимой погрешностью принять за плоский, а кривизной поверхности земли в пределах указанного участка можно пренебречь. Можно сделать следующий общий вывод на площади круга радиусом 10 км кривизна уровенной поверхности земли для горизонтальных расстояний практического значения не имеет. и вообще, в пределах круга радиусом d = 20 км, площадью 300– 320 км можно не принимать во внимание кривизну земли, если выполняются работы, не требующие высокой точности. величина Δh выражает влияние кривизны земли на высоты точек и называется поправкой за кривизну земли. картина влияния кривизны земли на вертикальные расстояния (в нашем случае это высоты точек) совершенно другая. из рис. 8 имеем (R + Δh) 2 = R 2 + t 2 , (10) 2Δh · R + Δh 2 = t 2 , заменяя t на d, получим (2R + Δh) = d 2 (11) отсюда Δh = d 2 / (2R + Δh), поскольку Δh мала, по сравнению сто ей можно пренебречь, тогда = d 2 / 2R. из табл. 2 видно, что при длине дуги в 10 км величина Δh оказывается около 8 м, составляя 1/1274 длины линии. такой величиной пренебрегать нельзя для инженерных целей, в частности, придорожных изысканиях. высоты точек необходимо измерять сот- носительно высокой точностью, допуская на 1 км ошибку не более 2 см. прим мм. отметки точек (высоты) местности необходимо знать с точностью до 1 мм. поэтому даже при коротких расстояниях (50–100 м) влияние кривизны земли наверти- кальные расстояния необходимо учитывать. Вопросы 1. какие вызнаете доказательства шарообразности земли и других небесных телу пифагора и аристотеля? 2. в чем заключается определение Эратосфеном радиуса земли. какие вызнаете современные способы определения размеров земли. как влияет кривизна уровенной поверхности земли на горизонтальные и вертикальные расстояния 41 2.1. Изображение земной поверхности в целом и по частям самым правильными точным изображением земного шара в уменьшенном виде является глобус, но пользоваться им, а тем более производить какие-либо измерения и составлять на нем проекты неудобно или совсем невозможно. C этой целью поверхность земли изображают на плоскости в уменьшенном виде и называют планом или картой. известно, что поверхность шара нельзя развернуть в плоскость без складок и разрывов. Чтобы на плане сохранить непрерывность изображения, пользуются методом проекций, те. все точки земного шара проектируют по определенным математическим законам на какую-либо вспомогательную поверхность, которая без труда может быть развернута в плоскость. Чаще всего пользуются поверхностью цилиндра, конуса или просто горизонтальной плоскостью, причем проектирование осуществляется таким образом, чтобы каждой точке земного шара соответствовала бы только одна точка вспомогательной поверхности. однако какой бы закон не был применен для перенесения точек шара на плоскость, на ней всегда происходит изменение взаиморасположения точек эллипсоида, те. получаются искажения. пусть сферическая поверхность KMN в точке М касается плоскости Р. если дугу АВСДМ спроектировать перпендикулярными лучами на плоскость Р, то получим точки abcdm. такая проекция называется горизонтальной ортографической. равные отрезки проекций соответствуют неравным отрезкам сферы АВ > ВС > СД > ДМ. Это свидетельствует о наличии искажений, которые будут увеличиваться по мере удаления проектируемой точки от точки касания М. при перенесении участков земли со сферы 2. ИЗображенИе Земной ПоВерхноСТИ на СФере И на ПЛоСКоСТИ на плоскость искажаются не только линии, но и углы, и площади. размеры этих искажений могут быть определены по соответствующим формулам в зависимости от вида проекции. метод проекций в геодезии при изображении на бумаге физической поверхности земли, тех или иных пространственных форм (предметов) в геодезической практике пользуются методом проекций, в частности ортогональной (прямоугольной) проекцией при этом линии проектирования должны быть перпендикулярны плоскости или поверхности, на которую проектируют. Линиями проектирования в геодезии являются отвесные линии. Проектирование производят на горизонтальную уровенную поверхность Земли, которую на данном участке считают совпадающей с поверхностью сферы определенного радиуса и по отношению к которой отвесные линии являются нормальными. В геодезии эта проекция называется горизонтальной. пусть Q — часть воображаемой уровенной поверхности земли рис. 9). пространственный многоугольник ABCEF, расположенный на физической поверхности земли, проектируют на поверхность отвесными линиями. точки a, b, c, е, f, в которых отвесные линии пересекают уровенную поверхность Q, называются горизонтальными проекциями соответствующих точек местности, а многоугольник abcef — горизонтальной проекцией многоугольника. Чтобы по горизонтальной проекции abcef можно было судить о форме соответствующего ему пространственного многоугольника, очевидно, необходимо знать величины Aa, Bb, ..., Ff, те. расстояния от точек местности до уровенной поверхности земли, называемые высотами точек местности. следовательно, имея горизонтальную проекцию участка местности и зная высоты точек этого участка, можно получить полное представление о характере местности на соответствующем участке физической поверхности земли рис. 9. проектирование точек местности на часть воображаемой уровенной поверхности земли [12, снами было показано, что небольшой участок сферической и уровенной поверхности земли можно заменить плоскостью, касающейся поверхности в центре этого участка. поэтому если участок местности, заключенный в многоугольнике ABCEF, имеет небольшие размеры, то при проектировании уровенную поверхность Q заменяют горизонтальной плоскостью Р. линии проектирования перпендикулярны плоскости Р, стороны ас. Си углы между ними являются горизонтальными проекциями соответствующих сторон и углов местности, а плоский многоугольник abcef — горизонтальной проекцией многоугольника ABCEF, расположенного на физической поверхности земли. кроме горизонтальной проекции, в геодезии широкое распространение получила центральная проекция (рис. 10). при фотографировании местности центром проекции S является оптический центр объектива фотоаппарата, а плоскостью проекции Р — сни- мок. рис. 10. центральная проекция [12, с. Высотой точки называется расстояние между уровенной поверхностью этой точки и уровенной поверхностью, принятой за начало счета высот Высоты бывают абсолютные, условные и относительные или превышения счет абсолютных высот ведется от среднего уровня океана или моря. наблюдение за средним уровнем воды в океане производится при помощи футштока (название образовалось путем соединения английского слова foot — фут с немецким палка, шест, представляющего собой рейку с делениями, устанавливаемую неподвижно на водомерном посту. В нашей стране счет абсолютных высот ведется от нуля Кронштадтского футштока. он представляет собой медную пластину, замурованную в гранитный устой моста нанесенная на пластине горизонтальная черта является нулем футштока. на рис. 11, представляющем сечение земли отвесной плоскостью, проходящей через точки Аи В, расстояние АК является абсолютной высотой НА точки А. началом отсчета условных высот может являться любая условно принятая уровенная поверхность. условной высотой НА точки А является отрезок АА 1. рис. 11. виды высот [12, с. 16] A h H' A H A K C B 0 B 1 B A 1 высота одной точки (В) относительно уровенной поверхности другой точки (А) называется относительной отметкой или превышением h этих точек. таким образом, превышение равно разности абсолютных или условных высот двух точек. Геодезические измерения, в результате которых определяются превышения точек местности, называются нивелированием 2.3. Понятие о картографических проекциях Уменьшенное изображение на плоскости части или всей земной поверхности называется картой. на практике применяют различные способы изображения сферической поверхности земли на плоскости. все они сводятся к построению по определенному математическому закону сетки прямых или кривых линий, изображающих параллели и меридианы. совокупность этих линий на карте носит название картографической сетки, а способ, примененный для их изображения, называют картографической проекцией. в любом случае изобразить сферическую поверхность на плоскости невозможно без разрывов и складок. поэтому все картографические проекции имеют те или иные искажения, которые следует учитывать при работе с картой. по характеру искажений картографические проекции делятся натри основные группы. Равноугольными или конформными называются проекции, на которых углы между направлениями на какие-либо ориентиры равны углам между теми же направлениями на местности на этих проекциях сохраняется подобие очертаний небольших фигур при их проектировании. поэтому они дают правильное представление о форме участков земной поверхности, например, островов, заливов и т. д. в тоже время линейные размеры фигур на этих проекциях искажены. поэтому два одинаковых по форме и размерам участка земли, но лежащие на разной широте, изобразятся на карте подобными по форме контурами, нос различными размерами Равновеликими или эквивалентными называются проекции, сохраняющие пропорциональность площадей изображенных на них участков тем же площадям на местности следовательно, два одинаковых по размерам участка земли изображаются на них в искаженном виде. например, остров, имеющий на местности круглую форму, изображается на карте эллипсом. Произвольными называются проекции, не сохраняющие ни равенства углов, ни пропорциональности площадей. Линия, пересекающая все меридианы под постоянным углом, называется локсодромией (рис. 12). на поверхности земного шара локсодромия в общем случае изображается в виде спирали, стремящейся к полюсу, которого она не достигнет. однако локсодромия не является кратчайшим расстоянием между двумя точками Аи В на сфере. рис. 12. локсодромия Кратчайшим расстоянием между выбранными точками наземном шаре является меньшая из дуг большого круга, проходящего через эти точки. Эта дуга называется ортодромией. ортодромия P P α α α α пересекает все меридианы под разными углами. в частных случаях, при плавании по экватору или курсами 0° иона может совпадать с экватором или меридианами, которые одновременно являются локсодромиями. при небольших переходах разница в длине между локсодромией и ортодромией незначительная. только в случае длительных океанских путешествий переход осуществляют по дуге большого круга. для судовождения требуется особая картографическая проекция, которая должна быть удобной для ведения графического счисления пути судна и определения его места. поэтому к морским картам предъявляют следующие основные требования) линия пути судна, идущего постоянным курсом, те. полок- содромии, должна изображаться на карте прямой линией, что обеспечит удобство прокладки курсов судна) углы и направления на местности должны быть равны соответствующим углами направлениям на морской карте, те. карта должна быть равноугольной (конформной. Это позволит определять место судна в море по углам, измеренным между береговыми ориентирами, а также опознавать берег по его изображению на карте. проекцию, удовлетворяющую этим требованиям, создал в 1569 г. голландский картограф герард кремер, известный под именем Меркатора. предложенная им проекция получила название меркаторской. по способу построения она относится к нормальным (прямым) цилиндрическим проекциям, а по характеру искажений — к равноугольным, те. конформным. картографическую сетку меркаторской проекции строят следующим образом. условный глобус заключают в цилиндр, касательный к глобусу по экватору (рис. Меридианы, нанесенные на глобус, распрямляются до тех пор, пока они не коснутся внутренней поверхности цилиндра. при этом меридианы образуют на поверхности цилиндра ряд прямых линий, параллельных между собой. при распрямлении меридианов параллели растягиваются и становятся равными по длине экватору. удлинение параллелей будет более значительным, чем ближе они к полюсу. следует заметить, что удлинение пропорционально секансу широты данной параллели. рис. 13. проекция Меркатора разрежем цилиндр по образующей и развернем его на плоскость. полученная картографическая сетка удовлетворяет первому требованию к морской карте, так как все меридианы параллельны, а локсодромия изобразится на ней прямой линией. однако проекция не является равноугольной, поскольку участки земной поверхности при проектировании будут вытягиваться на ней вдоль параллелей произвольно. растягиваясь вдоль параллели, остров круглой формы принимает форму эллипса (рис. 14). Чтобы сделать проекцию равноугольной, необходимо в каждой точке также растянуть меридианы, как в этой точке растянулась параллель, те. пропорционально секансу широты точки рис. 14. изменение формы одной и той же фигуры в разных местах карты в проекции Меркатора [1, с. изображение круглого острова сохранит свою форму, те. проекция будет обладать свойством равноугольности. построенная таким методом картографическая проекция носит название мер- каторской. 2.4. Проекция Гаусса — Крюгера в этой проекции в нашей стране составляются все топографические карты, кроме карт масштаба 1 : 1 000 000 в видоизмененной простой поликонической проекции. проекция гаусса — крю- гера — это равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция. разграфка и номенклатура многолистных топографических карт являются простой и одновременно строгой системой, в которой каждому листу отведено определенное место. и, казалось бы, 75 60 45 30 15 0 15 30 45 60 75 75 60 45 30 15 0 15 30 45 60 75 180 150 120 90 60 30 0 30 60 90 120 150 180 180 150 120 90 60 30 0 30 60 90 120 150 180 не составляет никакого труда путем склеивания между собой граничных листов карты одного итого же масштаба получить изображение на плоскости значительных участков сферической поверхности земли. однако если каждый лист топографической карты получать как плоское изображение соответствующей сферической проекции АВСД (риса, у которой дуги меридианов и параллелей заменены стягивающими их хордами, а поверхность — плоскостью, то сферическая поверхность земли, будучи изображенной по частям на многих таких листах, представляется в виде многогранника (рис. 15, б). рис. 15. изображение сферической поверхности земли в виде многогранников [12, с. при склеивании даже сравнительно небольшого количества листов (граней многогранника) на плоскости между ними появляются разрывы, с увеличением же числа склеиваемых листов разрывы возрастают (рис в. указанное обстоятельство явилось одной из причин введения в нашей стране с 1928 г. специальной проекции для топографических карт, предложенной гауссом в х гг. XIX в. Часто она называется проекцией гаусса — крюгера, поскольку крюгер предложил формулы для вычислений в этой проекции. при помощи проекции гаусса — крюгера получают плоские изображения отдельных участков уровенной поверхности земли, ограниченных двумя меридианами, например, PGT 1 и PMT 2 . такой участок называется зоной (рис. 16). б а в A B C D рис. сущность проекции гаусса — крюгера [12, с. для топографических карт масштабов 1 : 1 000 000 и мельче разность долгот этих меридианов равна 6°. таким образом, вся поверхность земли разбивается на 60 зон. границы зон совпадают с границами колонн в разграфке листов карт масштаба 1 : 1 000 000. счет зон ведется от гринвичского меридиана на восток. следовательно, номер зоны и номер колонны миллионного листа карты всегда разнятся на 30. средний меридиан в каждой зоне называется осевым меридианом (РОТ — см. на рис. 16). долгота осевого меридиана любой зоны восточного полушария подсчитывается по формуле = 6°· n – 3°, где n — номер зоны. сущность проекции гаусса — крюгера состоит в следующем. представим, что земной шар вписан в цилиндр, который касается его по осевому меридиану зоны РОТ. ось цилиндра НН 1 расположена в плоскости экватора Си проходит через центр С шара. плоское изображение каждой зоны получают путем проектирования ее определенным образом на боковую поверхность цилиндра, касающегося осевого меридиана зоны, после чего цилиндр разрезается по образующей КК 1 и его боковая поверхность развертывается на плоскости при проектировании зоны на боковую поверхность цилиндра гаусс поставил условие чтобы изображение малого участка наци- линдре было подобно соответствующему участку на сфере, следовательно, углы между соответствующими направлениями наша- реи на проекции равны между собой (такая проекция называется конформной или равноугольной. выполнение этого условия приводит к искажению длин линий на проекции оказалось, что все линии на проекции гаусса — крюгера длиннее по сравнению сих горизонтальными проекциями на уровенную поверхность, а вся зона на проекции получается несколько увеличенной. величину искажения (удлинения) линий на проекции Δs можно подсчитать по формуле Δs = S – s = y 2 /2R 2 · S, где s — длина кривой на шаре (уровенной поверхности — длина соответствующей ей линии на проекции (на плоскости расстояние от осевого меридиана зоны до средней точки линии — радиус земного шара. отношение Δs/S назовем относительным искажением длин линий на проекции. из (15) имеем = на осевом меридиане у = 0, поэтому он изобразится без искажений, так как цилиндр касается шара по осевому меридиану. наиболее удаленными от осевого меридиана являются точки экватора G и M. для этих точек у = 111,1 км · 3 км в соответствующих им точках G и M относительное искажение ΔS/s = 1/800. в пределах территории россии, расположенной по широте от φ = 36° (у = 90 км · 3 = 270 км) до φ = 70° (у = 38 км · 3 = 114 км, относительное искажение колеблется в пределах от 1/1100 до такие искажения находятся в пределах ошибок графических построений при создании карт масштабов 1 : 10 000 и мельче. поэтому на картах, составленных в проекции гаусса, в любом месте практически сохраняется один и тот же масштаб. для карт крупных масштабов (1 : 5000) и крупнее такие искажения превосходят ошибки графических построений и потому не могут быть допущены. поэтому для крупномасштабных карт применяют аналогичную зональную проекцию гаусса с трехградусными зонами на краях этих зон имеют место значительно меньшие (в 4 раза) искажения линий. так как в рассмотренной проекции получается плоское изображение зоны как единое целое, то листы топографических карт соответствующих масштабов, относящиеся к одной зоне, могут быть склеены между собой без каких-либо разрывов. правда, между соседними зонами разрывы имеют место, но некоторый выход из этого положения имеется. осевой меридиан зоны РОТ и часть экватора GM изобразятся на плоскости взаимно перпендикулярными прямыми РР 1 и Меридианы и параллели зоны в проекции гаусса изобразятся в виде кривых линий. G 1 M 1 = 670 км, РР 1 = 20 000 км, те примерно враз меньше, чем РР 1 те. на рис. 17 искажено соотношение между протяжением зоны с запада на восток и с севера на юг. однако на листах топографических карт меридианы и параллели (в том числе и рамки трапеций) проводят в виде прямых линий, так как в пределах одного листа карты эти искривления фактически незаметны. отсюда ясно, что крайние меридианы зоны на плоскости весьма близки к прямым линиям, а разрывы между смежными зонами не столь велики. из-за разрывов между соседними зонами в проекции гаусса при работе на границе смежных зон возникают некоторые неудобства. они усугубляются тем, что координатные сетки смежных зон располагаются под углом одна к другой. Эти осложнения устраняются в большей мере введением полосы перекрытия шириной в 4°. полоса шириной в 2° устанавливается вдоль западной и восточной границ каждой зоны. на рис. 18 эти границы показаны пунктиром. на всех листах топографических карт, расположенных в пределах этой полосы, даются выходы линий координатной сетки двух зон своей и соседней с ней рис. 17. изображение зоны в проекции гаусса — крюгера [12, с. рис. 18. полоса перекрытия на границах смежных зон [12, со сев ой меридиан осевой меридиан исходя из вышеизложенного, можно сказать, что проекция гаусса крюгера определяется следующими условиями. проекция конформная (равноугольная, те. масштаб изображения постоянен в данной точке и зависит только от координат пункта. осевой или центральный меридиан зоны изображается на плоскости прямой линией и принимается за ось абсцисс. ось ординат совпадает с изображением экватора. Масштаб изображения на осевом меридиане равен единице, те. для точек осевого меридиана абсциссы равны дугам меридиана, отсчитанным от экватора. порядковый номер зоны определяется по формуле = N – 30, где N — номер колонны листа карты масштаба 1 : 1 000 000. порядок переноса геодезической сети с эллипсоида на плоскость в проекции гаусса — крюгера складывается из следующих действий от геодезических координат для пункта B и L переходят к прямоугольным координатами на плоскости, одновременно вычисляя сближение меридианов на плоскости γ; — от длины геодезической линии и азимута в данном пункте переходят к дирекционному углу хорды изогнутой геодезической линии на плоскости — от углов между геодезическими линиями переходят к углам между хордами. во многих европейских, американских, азиатских и африканских странах применяются другие конформные проекции эллипсоида на плоскость, которые имеют свои ценные свойства. наиболее распространенными из этих проекций являются конформная проекция ламберта и стереографическая проекция руссиля, атак- же проекция Меркатора. проекция ламберта применяется в сШа, канаде, Франции, Мексике проекция руссиля — во Франции, испании, бельгии. проекция ламберта удобна для стран, вытянутых по параллели небольшой широтной полосой. ось абсцисс направляют по осевому меридиану на север, ось ординат — пока- сательной к изображению параллели касания. Масштаб по этой параллели принимают равным либо единице, либо 0,999. проекция руссиля удобна для стран круглого очертания. за начало координат в этой проекции принимают центральную точку изображения территории. за ось абсцисс — осевой меридиан. искажение длин в целом в проекции руссиля несколько меньше, чем в проекции гаусса крюгера (примерно в два раза. однако проекция руссиля пригодна для ограниченных территорий округлых очертаний, тогда как проекция гаусса — крюгера может применяться для всего земного шара. в проекции гаусса — крюгера составляются все топографические карты, кроме карт масштаба 1 : 1 000 000, которые составляются в проекции международной карты мира масштаба (видоизмененная проекция — простая поликони- ческая). |