Инженерная графика. Учебное пособие для студентов заочной формы обучения Москва 2013 2 ббк 30. 11 Удк 744 Рецензент заведующий кафедрой инженерной графики
 Скачать 4.04 Mb.
|
|
4.2. Пересечение многогранников плоскостью Линией пересечения поверхности многогранника плоскостью является плоский многоугольник. Его вершины являются точками пересечения ребер с заданной плоскостью, а стороны – линиями пересечения граней с плоско- стью. Сечение – это плоская фигура, которая получается при пересечении многогранника плоскостью. Построить сечение многогранника плоскостью − это значит опреде- лить точки пересечения прямой с плоскостью или определить линии пересе- чения плоскостей. 4.2.1. Пересечение пирамиды фронтально проецирующей плоскостью Р Фронтальная проекция сечения пирамиды (рис. 4.6) совпадает с фрон- тальным следом Р V секущей плоскости. Горизонтальную проекцию фигуры сечения строят по точкам, которые являются точками пересечения плоско- сти Р с ребрами пирамиды. Действительный вид фигуры сечения в этом случае определяется спо- собом замены плоскостей проекций или способом совмещения. На рис. 4.6 для этой цели применен способ замены плоскостей проек- ций. В качестве дополнительной плоскости следует принять плоскость Н 1 , б) 27 Рис. 4.6 Рис. 4.7 параллельную плоскости S и перпенди- кулярную плоскости V (в данном приме- ре Н 1 совпадает с S). Натуральный вид фигуры сечения - a 1 b 1 c 1 d 1 . 4.2.2. Пересечение прямой призмы плоско- стью общего положения Р Для того чтобы построить линию пересечения (рис. 4.7), нужно найти точ- ки пересечения боковых ребер призмы с данной плоскостью Р, используя их про- ецирующие свойства. Так как ребра призмы перпендикулярны к плоскости Н, то горизонтальные проекции (1, 2, 3, 4) точек пересечения совпадают с гори- зонтальными проекциями ребер (а, b, c, d ) призмы. Находим точку (1, 1′) пере- сечения ребра (а, а′)с плоско- стью Р. Горизонтальная проек- ция (1) этой точки совпадает с горизонтальной проекцией реб- ра. Пользуясь условием, что точка (1, 1′) лежит и на плоско- сти Р, находим фронтальную проекцию (1′) точки. Анало- гично находим точки (2, 2′), (3, 3 ′), (4, 4′ ) пересечений осталь- ных ребер с плоскостью Р, ис- пользуя фронтали плоскости Р. Соединив последовательно найденные точки, получаем фронтальную (1′2′3′4 ′ ) проек- цию искомой линии пересече- ния. Из чертежа видно, что две стороны фронтальной проекции линии пересечения (1′2′ и 1′4′) являются видимыми, а две другие стороны 28 Рис. 4.8 (2 ′3′ и 3′4′) − невидимыми. Находим натуральную величину линии пересечения способом совме- щения плоскости Р с плоскостью Н. 4.3. Пересечение поверхностей вращения плоскостью 4.3.1. Пересечение прямого кругового конуса фронтально проецирующей плоскостью Р Секущая плоскость Р пересекает боковую поверхность конуса по эл- липсу (α>β), фронтальная проекция которого совпадает с фронтальным сле- дом (Р V ) плоскости (рис. 4.8). Горизонтальную проекцию эллипса строим по точкам: задаем фронтальные проекции ряда его точек и находим их гори- зонтальные проекции. Сначала строим габаритные точки, т.е. точки, лежа- щие на большой и малой осях эллипса. На фронтальной проекции точки с′ и d ′ лежат на крайних образующих, горизонтальные проекции которых совпа- дают с центровой линией, параллельной оси Ох. Опустив из точек c′, d′ ли- нии проецирующей связи до пересечения с центровой линией на горизон- тальной проекции, получим точки c и d. Малая ось эллипса A−B перпендикулярна большой оси и делит ее попо- лам. Точки a и b строим с помощью параллели конуса. Для построения горизонтальной проекции малой оси A−B на фронталь- ной проекции через середину большой оси c′d′ эллипса проводим окружность, лежащую в горизонтальной плоскости Q ( Q V ) , диаметр которой будет равнять- ся малой оси эллипса. На горизонталь- ной плоскости проекций на пересече- нии линий проецирующей связи с окружностью получаем точки a и b. Промежуточные точки можно строить аналогично точкам А и B, а можно ис- пользовать образующие конуса, как это и сделано на рисунке. Через горизон- тальные проекции точек проводим по лекалу плавную кривую − эллипс. Для построения натуральной ве- личины сечения используем способ за- мены плоскостей проекций. 4.3.2. Пересечение прямого кругового конуса 29 горизонтально проецирующей плоскостью S На рис. 4.9 показано построение сечения конуса горизонтально проеци- рующей плоскостью S. Искомое сечение – гипербола. 4.3.3. Пересечение цилиндра вращения фронтально проецирующей плоскостью Р Фронтальная проекция сечения цилиндра изобразится прямой линией, совпадающей с фронтальным следом P V (рис. 4.10). Горизонтальная проек- ция сечения – круг, совпадающий с горизонтальной проекцией основания цилиндра. Строим только профильную проекцию сечения (см. рисунок). Рис. 4.9 Рис. 4.10 4.3.4. Пересечение цилиндра вращения плоскостью общего положения Р Боковая поверхность цилиндра пересекается плоскостью Р по эллипсу (рис. 4.11). Большая ось этого эллипса пересекается с осью цилин- дра и имеет направление линии наибольшего ската плоскости, а малая ось пересекается с большой в ее середине и имеет направление горизонтали плоскости. Характерными точками будут высшая и низшая точки линии пересече- ния, являющиеся конечными точками большой оси эллипса, и точки, деля- щие линию пересечения на две части − видимую и невидимую. 30 Важно определить также концы малой оси эллипса, ко- торые необходимы для постро- ения его натуральной величи- ны. Для нахождения высшей и низшей точек используем гори- зонтально проецирую-щую плоскость Q , проходящую че- рез ось цилиндра перпендику- лярно к следу Рн. Эта плос- кость пересекает плоскость Р по линии EF (ef, e′f′ ) , а по- верхность цилиндра по обра- зующим,которые в пересече- нии дают искомые точки I (1, 1 ′)и II (2, 2').Точка О (о, о'), лежащая на середине найденной большой оси I II эллипса, является его центром. Концы III (3, 3')и IV (4, 4′)ма- лой оси эллипса находим с помощью горизонтально проецирующей плоскости Т, проходящей через центр О эллипса перпендикулярно плоско- сти Q Плоскость Т пересекает плоскость Р по горизонтали, а цилиндр − по образующим, в пересечении которых и находим точки III и IV. Нату- ральная величина малой оси эллипса, как видно, равна диаметру цилин- дра. Определим теперь границы видимости фронтальной проекции кри- вой сечения. Точки, являющиеся границей видимости кривой, лежат на очерковых образующих. Отмечаем горизонтальные проекции этих точек (5 и 6) и находим фронтальные проекции ( 5 ′ и 6'),проведя через эти точки фронталь плоскости Р. Характерные точки VII(7, 7′ ) и VIII(8, 8′ ) находим аналогично точ- кам V и VI. Для построения натуральной величины сечения совмещаем плос- кость Р с плоскостью Н, вращая ее вокруг следа Рн. В совмещенном положении строим след Pv 0 , а затем точки I 0 , II 0 , III 0 ,…, VIII 0 , исполь- зуя горизонтали плоскости Р. По этим точкам строим искомый эллипс. Рис. 4.11 31 Рис. 5.1 Рис. 5.2 5. ПРОЕКЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ С ВЫРЕЗАМИ 5.1. Построение проекций пирамиды с вырезом Рассмотрим построение проекций пирамиды с вырезом при помощи вспомогательных секущих плоскостей, параллельных плоскостям проекций. На рис. 5.1 показано по- строение выреза в тре- угольной пирамиде. В этом случае удобно применять го- ризонтальные секущие плос- кости Р и Q. В резуль-тате пересечения пирамиды этими плоскостями получа-ются два треугольника, подобные ос- нованию. Пересечение рёбер пира- миды с этими треуголь- никами дает точки I, III, V, VI. Соединяя проекции этих то- чек, с точками 2, 7 и 4, 8 по- лучаем горизонтальную про- екцию выреза на поверхности пирамиды. На рис. 5.2 показано построение линий пересе- чения треугольной пира- миды с гранями отверстия в виде трехгранной призмы (три фронтально проеци- рующие плоскости). В дан- ном случае удобно исполь- зовать прямые, про- ходящие через вершину пирамиды (SM и SN). Про- водим их фронтальные проекции через фронталь- ные проекции ребер приз- мы (1′1′ и 2′2′). Строим го- ризонтальные проекции этих образующих и нахо- 32 Рис. 5.3 дим на них проекции точек входа и выхода ребер призмы. Проекции точек III, III и IV отмечаем на профильном виде (3′′, 3′′, 4′′) и переносим их на вид сверху. Все полученные точки на плоскостях проекций соединяем с учетом их видимости. 5.2. Построение проекций конуса с вырезом На рис. 5.3 изобра- жен конус с вырезом, по- лученным от двух про- ецирующих секущих плоскостей Р и Q. Плоскость Р - гори- зонтальная, располо- жена параллельно осно- ванию конуса, пересекая который даст в сечении окружность радиуса R. Плоскость Q – про- ецирующая, имеет угол наклона меньший, чем угол наклона образу- ющей к горизонтальной плоскости проекций. Прямая АВ является ли- нией пересечения этих плоскостей. В сечении получают неполный эл- липс. 5.3. Построение проекций сферы с вырезом На рис. 5.4 показано построение проекций шара (сферы) с вырезом, по- лученным от проецирующих секущих плоскостей P и Q. Для построения наклонного сечения плоскостью Q определяем харак- терные точки, расположенные на очерковых окружностях. Точка I (1′) – наивысшая точка сечения. На виде сверху её проекция 1 находится на осевой линии. Точки А и В (а, b) лежат на очерковой окружности шара. На фронталь- ном виде их проекции а′, b′ расположены на осевой линии шара. Для определения большой оси эллипса, в который проецируется окружность сечения плоскостью Q на горизонтальную плоскость проекций, на фронтальном виде из центра О опускают к следу Q V перпендикуляр О′3′. 33 Рис. 5.4 Рис. 5.5 33 – большая ось эллипса. Для нахож- дения промежуточ- ных точек исполь- зуют вспомогатель- ные горизонтальные секущие плоскости, которые рассекают шар по окружнос- тям. Эти окруж- ности на главном (фронтальном) виде проецируются в ви- де прямых линий, а на виде сверху – в натуральную вели- чину. Имея фронтальные проекции 2′2′ точек, определяют их горизонталь- ные проекции на соответствующих проекциях окружностей вида сверху. На рис. 5.5 даны проекции полушара с выемкой, форма которой задана на вертикальной проекции. Горизонтальные проекции е и f точек E и F по- строены по их фронтальным проекциям. Для получения горизонтальных проекций точек A, B, C и D нижнего основания выемки проводим через эти точки горизонтальную плоскость P, которая рассекает поверхность полуша- ра по окружности M (m′, m). На горизонтальную проекцию этой окружности переносим иско- мые точки. Полученные на го- ризонтальной проекции точки выемки соединяем между со- бою, как указано на рисунке. Профильную проекцию полу- шара с выемкой получим на ос- новании фронтальной и гори- зонтальной проекций. При этом следует иметь в виду, что линия AEB (aeb, а′е′b′) и симметрич- ная ей линия CFD (cfd, с′f′d′) представляют собою дуги окружности, и при построении этих точек на бо- ковом виде целесообразно на горизонтальной плоскости провести профиль- ную секущую плоскость (Q H ), проходящую через указанные точки A, E, B. Плоскость рассечет полушар по кругу N (n, n′, n′′), на котором и будут полу- чены искомые точки A, E, B. Аналогично строятся боковые проекции точек C, F, D. 34 Рис. 6.1 6 . ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ 6.1. Общие сведения Для того чтобы построить линию пересечения двух поверхностей, нуж- но найти ряд общих точек, принадлежащих им, а затем соединить эти точки в определенной последовательности. Линия пересечения не должна выхо- дить за очерки наложения двух поверхностей. Линией пересечения может быть: 1) пространственная кривая − при пересечении двух кривых поверхно- стей или кривой поверхности и многогранника; 2) пространственная ломаная линия − при пересечении двух много- гранников. Иногда линия пересечения двух поверхностей может оказаться плос- кой − прямой линией, окружностью, эллипсом и т. д. Построение линии пересечения поверхностей в общем случае осу- ществляется при помощи вспомогательных секущих поверхностей − по- средников. Чтобы найти точки линии пересечения двух поверхностей А и В (рис. 6.1), проводим вспомогательную поверхность Р и находим линии К и L пересечения поверхностей А и В с поверхностью P. Точки M и N пере- сечeния найденных линий будут искомыми. Проведя несколько вспомога- тельных поверхностей, найдем требуемое количество точек, определяющих линию пересечения заданных поверхностей. Вспомогательную поверхность следует выбирать так, чтобы ее линия пересечения с каждой поверхностью проецировалась на плоскости проекций в виде графически простых линий − прямой или окружности. В качестве вспомогательных поверхностей можно использовать плоскости или сферы. Если в качестве вспомогательных секущих поверхностей используются плоскости, то способ построения называют способом вспомогательных плоскостей. Если используются сферы − способом вспомогательных сфер. Построение линии пересечения поверхностей начинают с определения характерных ее точек − экстремальных (высшей и низшей) и точек види- мости, отделяющих видимую часть линии пересечения от невидимой. Видимыми являются те точки, которые принадлежат видимой части как первой, так и второй поверхности. Так, на рис. 6.2 видимыми на фронтальной проекции линии пересечения будут только те 35 Рис. 6.2 точки, которые принадлежат заштрихованным ча- стям конуса и сферы одновременно. Порядок построения линии пересечения двух многогранников (А и В): 1. находят точки пересечения ребер одного многогранника (А) с гранями другого (В); 2. находят точки пересечения ребер второго многогранника (В) с гранями первого (А); 3. найденныеточки последовательно соединя- ют между собой прямыми линиями. Указание. Соединяют между собой обязатель- но только те точки, которые лежат на одних и тех же гранях каждого многогранника. Если одна из пересекающихся поверхностей является проецирующей (цилиндр, призма), то за- дача на пересечение поверхностей сводится к более простой задаче на принадлежность линии поверх- ности, ибо одна из проекций искомой линии в этом случае известна. 6.2. Построение линии пересечения поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей При построении линии пересечения двух поверхностей способом вспо- могательных секущих плоскостей секущие плоскости, принятые в качестве посредников, могут быть как общего, так и частного положения. Более ши- рокое применение находят плоскости частного положения. Плоскости общего положения применяются в ограниченных случаях. Например, их удобно использовать при построении линии пересечения ко- нических и цилиндрических, а также пирамидальных и призматических по- верхностей общего вида, когда основания этих поверхностей расположены в одной и той же плоскости. 6.2.1. Пересечение двух призм При пересечении гранных поверхностей линия пересечения представ- ляет собой пространственную ломаную линию с точками излома на ребрах призм. Задача 1. На рис. 6.3 представлен пример неполного пересечения по- верхностей, так как у каждой из призм не все ребра участвуют в пересече- нии. В результате получается одна замкнутая ломаная линия. В случае пол- ного пересечения получаются две замкнутые ломаные линии. Поверхность шестигранной призмы − проецирующая на плоскость Н, 36 Рис. 6.3 поэтому горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с очерком шестигранной призмы, и задача решается только на фронтальной проекции. Левая передняя грань шестигранной призмы представляет собой гори- зонтально проецирующую плоскость (плоскость Q). В сечении плоскости Q с четырехгранной призмой получается четырехугольник, показанный штрихпунктирной линией. Построив аналогично пересечение правой перед- ней грани шестигранной призмы, можно добавить к полученным точкам еще две - точки пересечения ребра DD 1 (точки E и E 1 ) и затем последовательно, с учетом видимости, соединить их. Соединение точек не вызывает затруднений, если использовать способ сетки. Вертикальные линии сетки соответствуют, например, ребрам наклон- ной призмы, а горизонтальные – ребрам шестигранной призмы, причем пер- вое ребро изображается дважды. Первым ребром обычно выбирается то реб- ро, которое не участвует в пересечении (например такие ребра как ВВ 1 и III). Далее все ребра обозначают последовательно, читая их на горизонтальной проекции в одном направлении, по часовой стрелке или против нее. Затем отмечают на сетке все полученные точки в соответствии с их принадлежно- стью грани или ребру. Например, точка Е принадлежит ребру DD 1 и нахо- дится в грани II-III. Отметив на сетке все точки, соединяют их между собой так, чтобы соединяющая линия не пересекала линии сетки. 37 Рис. 6.4 Пользуясь сеткой, в той же последовательности соединяют точки на фронтальной проекции с учетом видимости граней. Звено ломаной считает- ся видимым, если обе грани, которым оно принадлежит, видимы. Если хотя бы одна из граней является невидимой, звено ломаной также будет невиди- мым. |