Инженерная графика. Учебное пособие для студентов заочной формы обучения Москва 2013 2 ббк 30. 11 Удк 744 Рецензент заведующий кафедрой инженерной графики
 Скачать 4.04 Mb.
|
|
2.5. Определение угла наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций Для определения угла αнаклона плоскости треугольника BCD к гори- зонтальной плоскости проекций Н используем линию наибольшего наклона (ската) плоскости. Линиями наибольшего ската называют прямые данной плоскости, перпендикулярные к линиям уровня этой плоскости. Поэтому из точки d проводим горизонтальную проекцию линии наибольшего ската (ГП ЛНС) плоскости BCD под прямым углом к горизонтальной проекции горизон- тали – получаем точку 2 (рис. 2.7). Затем строим фронтальную проек- цию этой точки - 2 ′ . Фронтальная проекция линии наибольшего ската (ФП ЛНС) пройдет через точки d ′ и 2 ′ . Натуральную величину линии наибольшего ската DII определим способом прямoугольного треуголь- ника. Угол α между линией наибольшего ската и ее горизонталь- ной проекцией определяет наклон плоскости BCD к плоскости Н. 16 3. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ Наиболее простое и точное решение задач удается получить, если за- данные геометрические фигуры приведены в определенное частное по- ложение относительно плоскостей проекций. Это достигается следующими способами: 1. оставляя проецируемый объект (фигуру) в заданном положении, изменяют положение плоскостей проекций относительно объекта (способ замены плоскостей проекций); 2. оставляя плоскости проекций в заданном положении, изменяют положение проецируемого объекта (фигуры) относительно этих плоско- стей (способ вращения). 3.1. Способ замены плоскостей проекций Сущность способа замены плоскостей проекций состоит в том, что задан- ную систему плоскостей проекций заменяют новой системой так, что геометрические фигуры оказываются в частном положении относительно новой системы плоскостей проекций. Рис. 3.1 Проследим, как изменятся проекции точки B, если плоскость V заме- нить на новую плоскость проекций V 1 (рис. 3.1, а ) . Плоскость V 1 проводим перпендикулярно плоскости Н, положение которой остается без изменения. Плоскости Н и V 1 пересекутся по прямой 0х 1 , опреде- ляющей новую ось проекций. В новой системе плоскостей проекций вместо проекций b и b' получим новые проекции b и b 1 ′. Легко убе- диться, что расстояние от новой проекции точки b 1 ′ до новой оси 0х 1 17 Рис. 3.2 (координата Z) равно расстоянию от заменяемой проекции b' до заме- няемой оси 0х. Чтобы перейти от пространственного чертежа к эпю- ру, нужно совместить плоскость V 1 с плоскостью Н. На эпюре (рис. 3.1, 6 ) для построения новой проекции b 1 ′ используем неизменность координаты Z точки B. Для этого достаточно из горизонтальной про- екции b провести перпендикуляр к новой оси 0х 1 и от точки b X1 от- ложить координату Z, определяемую расстоянием b'b x (Z B ) в прежней системе. Замена горизонтальной плоскости Н новой плоскостью Н 1 (рис. 3.1, в) производится аналогично, с той лишь разницей, что те- перь не изменяется фронтальная проекция точки b', для построения новой горизонтальной проекции b 1 необходимо из сохраняемой фрон- тальной проекции b' провести линию связи к новой оси 0х 1 и отложить от новой оси расстояние, равное расстоянию от заменяемой проекции b до заменяемой оси 0х. Замена плоскостей проекций может осуществляться только по- следовательно, нельзя менять обе плоскости сразу. Рассмотрим на примерах, как производится замена плоскостей проекций и строятся новые проекции фигур. Задача 1. Определить длину отрезка прямой АВ общего положе- ния. Заменяем плоскость V плоскостью V 1 , параллельной отрезку АВ (рис. 3.2, а). Проводим новую ось Х 1 параллельно ab и на перпендику- лярах, проведенных к ней из точек а и b, откладыва- ем а X1 а 1 ′ = а x а' и b X1 b 1 ′ = b x b'. Получаем новую про- екцию a 1 ′b 1 ′ = AB и од- новременно угол α наклона прямой к плос- кости Н. Если плоскость Н за- меним плоскостью H 1 па- раллельной отрезку АВ (рис. 3.2, б), то получим а 1 b 1 = АВ и угол β накло- на прямой к плоскости V. Задача 2. Определить натуральную величину треугольника ABC. Задача решается последовательной заменой двух плоскостей проек- ций. 18 Рис. 3.3 Сначала плоскость V заменяем плоскостью V 1 , перпендикулярной к плоскости треугольника (рис. 3.3). Для этого в плоскости треугольника проводим горизонталь AD (ad, a'd') и новую ось Х 1 располагаем перпен- дикулярно к ad. На но- вой плоскости проек-ций треугольник спро- ецируется в прямую b 1 ′а 1 ′с 1 . На втором этапе плоскость Н за- меняем плоскостью Н 1 , параллельной плоскости треугольника, располагая ось Х 2 параллельно прямой b 1 ′а 1 ′с 1 ′. По-строенная проекция a 1 b 1 с 1 определяет нату-ральную величину и форму треугольника ABC. Задача 3. Определить расстояние от точки А (а, а') до плоскости Р, заданной следами P H и P V (рис. 3.4). Задача решается путем замены одной из плоскостей проекций но- вой, относительно которой плоскость Р будет проецирующей. Заменим, например, плоскость V плоскостью V 1 , перпендикулярной к плоскости Р. Новую ось X 1 проводим перпендикулярно к следу Р Н . Выбираем на следе P V произвольную точку N (п, п') и находим ее новую проекцию п 1 ′, откладывая n X1 n 1 ′ = n x n' = y N . Через точки P X1 и п 1 ′ про- водим новый след P V1 . По- строив новую проекцию a 1 ′ и опустив из нее перпенди- куляр на P V1 , определяем расстояние от точки А до плоскости Р, которое равно отрезку a 1 ′k 1 ′. После этого опре-деляем на первона- чаль-ном чертеже положе- ние проекции основания перпендикуляра (k, k′). Рис.3.4 19 3.2. Способ вращения Сущность способа вращения состоит в изменении положения объекта, заданного на эпюре, таким образом, чтобы определенные его элементы за- няли относительно плоскостей проекций частное положение и проецирова- лись без искажений. Рассмотрим следующие разновидности способа вращения: вращение вокруг линий уровня и совмещение. При вращении важно правильно определить его элементы: ось, а также плоскость, центр, радиус и угол вращения. 3.2.1. Вращение вокруг линий уровня Одним поворотом вокруг горизонтали или фронтали можно распо- ложить плоскую фигуру или плоский угол параллельно одной из плоско- стей проекций и тем самым определить их натуральную величину. На рис. 3.5 показаны построения при вращении точки D вокруг го- ризонтали до положения, при котором радиус вращения R D = DO стано- вится параллельным плоскости H и проецируется на нее в натуральную величину, т.е. d 1 o = D 1 O = DO. Рис. 3.5 Построения на эпюре сводятся к определению способом прямоуголь- ного треугольника длины радиуса вращения R D и откладыванию ее на пер- пендикуляре, проведенном из точки d к горизонтали I (i , i ′). Точка D (d, d') перемещается в положение D 1 (d 1 , d 1 ′). Задача. Определить натуральную величину треугольника ABC (рис. 3.6). В плоскости треугольника АВС (аbс, а′b'с') проводим горизонталь СD (cd, c'd' ) и вращаем вокруг нее заданный треугольник до положения, при ко- тором он станет параллельным плоскости Н. Точки С (с, с') и D (d, d') непо- движны. Для определения повернутого положения вершины А определяем 20 Рис. 3.6 величину радиуса R A способом прямоугольного треугольника и откладываем ее на перпендикуляре к cd, опущенном из точки а. Получаем точку а 1 Положение точки b 1 определяем, проводя прямую а 1 d до пересечения с перпендикуляром, опущенным из точки b на cd. Горизонтальная проекция треуголь- ника а 1 b 1 c 1 по величине равна треуголь- нику AВС. Новая фронтальная проекция представляет собой прямую, совпадаю- щую с с'd'. 3.2.2. Способ совмещения Вращение плоскости вокруг оси, совпадающей с плоскостью проекций, т.е. вокруг следа плоскости, является частным случаем вращения вокруг ли- нии уровня плоскости. Способ совмещения заключается в том, что заданную плоскость Р вместе с расположенными в ней геометрическими элементами вращают во- круг одного из ее следов Р Н или Р V до совмещения с соответствующей плоскостью проекций Н или V. Все геометрические элементы (прямые и другие линии, фигуры), ле- жащие в заданной плоскости, изображаются в натуральную величину на плоскости проекций, с которой производится совмещение. Совмещение позволяет найти величину плоской фигуры по ее проекциям или построить проекции плоской фигуры, лежащей в какой-либо плоскости, по заданным ее размерам. Если плоскость задана следами, то задача совмещения ее с плос- костью проекций сводится к построению совмещенного положения одного из следов, так как другой след, принимаемый за ось вращения, не меня- ет своего положения. Как видно из рис. 3.7, для определения совмещенного следа Pv 0 при вращении плоскости Р вокруг следа Р H достаточно найти совмещен- ное положение N 0 любой точки N следа Р V . На рис. 3.7 показано так- же совмещение точки А (а, а'), лежащей в плоскости Р,с плоскостью Н при использовании горизонтали. Задача. Найти натуральную величину треугольника ABC,распо- ложенного в плоскости Р общего положения (рис. 3.8). 21 Рис. 3.7 Плоскость Р совмещаем с плоскостью Н вращением вокруг следа Р Н .. Используя горизонталь плоскости, на которых лежат вершины тре- угольника, находим совмещенные положения В 0 , С 0 этих вершин и по- лучаем треугольник А 0 В 0 С 0 , равный заданному. Рис. 3.8 22 4. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ ПЛОСКОСТЯМИ 4.1. Общие сведения В общем случае, для того чтобы построить линию пересечения поверх- ности с плоскостью, нужно найти ряд точек, принадлежащих как поверхно- сти, так и плоскости, а затем эти точки соединить плавной кривой или лома- ной линией. Для нахождения произвольной точки линии пересечения, необходимо: 1. рассечь заданные фигуры вспомогательной плоскостью; 2. найти линии пересечения этой плоскости с поверхностью и с задан- ной плоскостью; 3. на пересечении найденных линий получить искомые точки (чаще всего - две). Последовательно проводя ряд вспомогательных плоскостей, можно найти необходимое число точек. Вспомогательную плоскость следует выбирать так, чтобы ее линия пе- ресечения с поверхностью проецировалась на плоскости проекций в виде простейших линий - прямой или окружности. При построении линии пересечения находят, прежде всего, ее харак- терные (опорные) точки, а затем, по мере необходимости, промежуточные точки. Характерные точки определяют характер линии пересечения и ее види- мость. К ним относятся: экстремальные точки (высшая и низшая, крайняя левая и крайняя правая, ближняя и дальняя); точки, лежащие на проекциях очерка поверхности; точки, лежащие на проекциях осей поверхности. Среди характерных точек выделяются очевидные точки, которые для своего нахождения не требуют дополнительных построений, а определяются при помощи линий проекционной связи. В некоторых случаях одна и та же точка может выполнять несколько функций. Промежуточные точки выделяются на заданной линии для более точно- го графического построения искомой проекции линии. Если заданная поверхность имеет прямолинейные образующие, то ли- нию пересечения можно найти также следующим образом: нанести на по- верхности ряд образующих и найти точки их пересечения с плоскостью, а затем соединить эти точки плавной кривой линией. При построении сечения гранных поверхностей плоскостью использу- ют два способа: способ граней – определяются стороны многоугольника се- чения; способ ребер – определяются вершины многоугольника сечения. Построение сечений значительно упрощается, если секущая плоскость является проецирующей. В этом случае одна проекция сечения совпадает с проецирующим следом плоскости. 23 Сечение многогранников. При пересечении многогранника плоско- стью в сечении получается многоугольник. Количество вершин и размеры многоугольника зависят от формы и размеров многогранника, а также рас- положения секущей плоскости. На рис. 4.1 показаны примеры сечений призмы, а на рис. 4.2 − пирами- ды. Рис. 4.1 Рис. 4.2 Сечение цилиндра. Плоскость пересекает поверхность прямого круго- вого цилиндра: 1) по окружности, если она перпендикулярна оси цилиндра (рис. 4.3, а); 2) по эллипсу (части эллипса), если она произвольно наклонена к оси цилиндра (рис. 4.3, б, г, д); 3) по прямоугольнику, если она параллельна оси цилиндра и отстоит от нее на расстоянии, которое меньше радиуса цилиндра (рис. 4.3, в). 24 Рис. 4.3 Сечение конуса. На рис. 4.4 показаны примеры пересечения конуса плоскостями различного положения, где каждому наглядному изображению соответствует фронтальная проекция конуса со следами секущей плоскости. Обозначим угол наклона образующей конуса к его основанию через β, а угол наклона плоскости к основанию конуса – через α. Рис. 4.4 25 Плоскость, проходящая через вершину прямого кругового конуса, пере- секает его поверхность по треугольнику, если α больше β или α = 90°, т.е. когда плоскость проходит через ось конуса (рис. 4.4, в). Плоскость, не проходящая через вершину прямого кругового конуса, пересекает его поверхность: 1) по окружности, если плоскость перпендикулярна оси конуса, т. е. α = 0 (рис. 4.4, а); 2) по эллипсу, если α меньше β (рис. 4.4, б); 3) по гиперболе, если α больше β или α = 90°, т. е. когда плоскость па- раллельна оси конуса (рис. 4.4, г); 4) по параболе, если α = β, т. е. плоскость параллельна одной из обра- зующих конуса (рис. 4.4, д). Для выявления вида линии пересечения, когда секущая плоскость - об- щего положения, вращают ее вокруг оси конуса до такого положения, чтобы она стала фронтально проецирующей, если ось конуса перпендикулярна го- ризонтальной плоскости проекций, и горизонтально проецирующей, если ось конуса перпендикулярна фронтальной плоскости проекций. Сечение сферы. Любая плоскость пересекает поверхность сферы по окружности, если расстояние l от плоскости до центра сферы меньше ради- уса R сферы (рис. 4.5). Если плоскость занимает положение плоскости уровня, то на парал- лельную плоскость проекций эта окружность сечения будет проецироваться без искажения, а на перпендикулярную плоскость проекций – в отрезок прямой, равный по длине диаметру окружности. На рис. 4.5, а Р V – горизонтальная плоскость уровня. Линия пересече- ния проецируется на горизонтальную плоскость проекций Н без искажения в окружность, а на плоскость проекций V – в отрезок прямой. Если секущая плоскость R V занимает проецирующее положение, то на плоскость проекций, перпендикулярную плоскости R V , линия сечения (окружность) будет проецироваться в отрезок прямой, равный по длине диаметру окружности, а на другую плоскость проекций – в эллипс, большая ось которого равна диаметру окружности (рис. 4.5, б). В частном случае плоскость является касательной к поверхности сфе- ры, если l = R. В дальнейшем при решении задач придется задавать точку на поверх- ности. Для этого поступают так: проводят на поверхности вспомогательную линию (прямую, окружность) и затем на этой линии берут точку. |