Инженерная графика. Учебное пособие для студентов заочной формы обучения Москва 2013 2 ббк 30. 11 Удк 744 Рецензент заведующий кафедрой инженерной графики
 Скачать 4.04 Mb.
|
|
Задача 2. Рассмотрим две проецирующие поверхности призм, каждая из которых соответственно перпендикулярна только одной плоскости про- екций H, V, или W (рис. 6.4). Линия пересечения оп- ределена на двух плос- костях проекций. Требует- ся построить третью про- екцию линии Пересе-чения заданных поверхностей. Линии пересечения двух призм, боковые грани которых – проецирующие плоскости, строятся наибо- лее просто. На рис. 6.4 по- казано построение про- екций линии взаимного пе- ресечения прямой четы- рёхгранной призмы, сто- ящей на горизонтальной плоскости проекций Н, и прямой трехгранной приз- мы, боковые грани которой перпендикулярны к плос- кости проекций W. Рассматривая горизонтальную и профильную проекции, устанавливаем, что в данном примере имеет место частичное пересечение призм и, следовательно, получается одна замкнутая пространственная лома- ная линия пересечения их поверхностей. Переднее ребро трехгранной приз- мы и заднее ребро четырёхгранной призмы в пересечении не участвуют. Го- ризонтальная проекция линии пересечения располагается на сторонах четы- рёхугольника, в который проецируется на плоскость Н вертикальная призма, а профильная проекция – на сторонах треугольника, в который проецирует- ся на плоскость W горизонтальная призма. Остаётся построить фронтальную проекцию линии пересечения, для чего достаточно найти фронтальные про- екции точек пересечения ребёр одной призмы с гранями другой. Фронталь- ные проекции 1′ и 2′, 3′ и 4′, 5′ и 6′ точек пересечения ребёр вертикальной призмы находим по профильным проекциям 1′′, 2′′, … , 6′′ этих точек при помощи линий связи. Фронтальные проекции 7′ и 9′, 8′ и 10′ точек пересече- ния ребёр горизонтальной призмы с гранями вертикальной находим по их 38 Рис. 6.5 горизонтальным проекциям также при помощи линий связи. Соединив по- следовательно найденные точки прямыми с учётом их видимости, определя- ем фронтальную проекцию линии пересечения поверхностей заданных призм. Наглядное изображение пересекающихся призм показано также на рис. 6.4. 6.2.2. Пересечение призмы и пирамиды Задача 1. На рис. 6.5 дан пример пересечения двух гранных поверхно- стей (пирамиды и призмы), одна из ко- торых (призма) является проецирующей на плоскость Н. Поверхность пирамиды Пересе- кается с горизонтально проецирующей поверхностью призмы. В пересечении заданных поверхностей получается пространственная ломаная, звенья ко- торой представляют собой линии пере- сечения граней двух много-гранников. В данном варианте не все рёбра много- гранников участвуют в пересечении, поэтому искомая линия пересечения поверхностей представляет одну за- мкнутую пространственную ломаную. Поверхность призмы – проеци- рующая на Н, поэтому горизонтальные проекции 1, 2, 3, 4 точек пересечения двух рёбер пирамиды, участвующих в пересечении, с гранями призмы опре- деляем без вспомогательных построений, проецируем их на фронтальные проекции соответствующих рёбер пирамиды. Получаем, таким образом, че- тыре точки искомой ломаной. Далее проводим горизонтально проецирующие плоскости Q и R через вершину пирамиды S и через те рёбра призмы, которые участвуют в пересе- чении. Каждое из двух рёбер призмы пересекается с пирамидой в двух точ- ках (5′, 5), (6′, 6) и (7′, 7), (8′, 8). Таким образом, получим ещё четыре точки искомой ломаной. Остаётся соединить полученные точки с учётом видимо- сти. Соединять можно лишь те точки, которые одновременно принадлежат одним и тем же граням данных многогранников. Звено ломаной будет види- мым, если обе грани, которым оно принадлежит, видимые. 39 Рис. 6.6 Задача 2. На рис. 6.6 показан пример постро- ения проекций линии пе- ресечения поверхностей правильной трехгранной пирамиды, стоящей на плоскости проекций H, и прямой трехгранной призмы, основание кото- рой расположено в плос- кости проекций W. Про- фильная проекция пока- зывает, что поверх-ность призмы полностью пере- секает поверхность пи- рамиды, и, следова- тельно, имеем две лома- ные линии пересечения. Более того, устанавливаем, что поверхность призмы пересекается с левой и правой боковыми гранями пирамиды, а задняя грань пирамиды в пересечении не участвует. Следовательно, линии пересечения представляют собой плоские фигуры – треугольники. Профильные проек- ции линии пересечения совпадают с профильной проекцией призмы – тре- угольником 1′′3′′4′′. Для построения двух других проекций линии пересече- ния необходимо найти проекции точек пересечения ребер призмы с гранями пирамиды. Для определения проекций точек I и II пересечения верхнего ре- бра воспользуемся горизонтальной плоскостью-посредником Q. Она пересе- кает поверхность пирамиды по треугольнику ABC, подобному основанию. Его фронтальная проекция a′b′c′ лежит на следе (Q V ), а горизонтальная abc определяется посредством линии связи. Отметив горизонтальные проекции 1 и 2 искомых точек, при помощи линий связи строим их фронтальные про- екции 1′ и 2′. Аналогично при помощи плоскости Q 1 находим проекции то- чек пересечения III – VI двух других ребер призмы с гранями пирамиды. За- метим, что в плоскости Q 1 лежит вся нижняя грань боковой поверхности призмы. Поэтому решение этой части задачи можно рассматривать как ре- шение задачи на пересечение двух плоскостей – граней пирамиды и призмы. Соединив последовательно найденные одноименные проекции точек, полу- чаем проекции линии пересечения поверхностей данных многогранников. 6.2.3. Пересечение трехгранной призмы с конусом вращения Рассмотрим задачи, в которых одна из поверхностей является проеци- рующей по отношению к какой-либо из плоскостей проекций (например, прямая призма или цилиндр), а другая поверхность не обладает указанным 40 Рис. 6.7 Рис. 6.8 свойством (например, конус или пирамида). В этом случае линия пересечения поверхностей на одной из плоскостей проекций определяется без построений. Остаётся только построить вторую проекцию линии пересечения заданных поверхностей. Задача 1. На рис. 6.7 три боковые грани призмы являются фронтально проецирующими плоскостями, поэтому построение линии пересе- чения поверхностей сводится к решению задачи на пересечение поверхности проецирующей се- кущей плоскостью. Линия пересечения данных поверхностей представляет собой кривую, состоящую из не- полных эллипса, параболы и окружности. В данном случае вспомогательными плоско- стями можно не пользоваться, так как фронталь- ные проекции точек линии пере-сечения извест- ны. Горизонтальные проекции 1, 2, 3 характер- ных точек I, II, III линии пересечения строим с помощью двух па-раллелей, проведенных через эти точки. Для этого из центра s проводим гори- зонтальные проекции дуг окружностей и исполь- зуя линии связи находим горизонтальные проек- ции точек пересечения 1, 2 и 3. Точки 4, 4′ и 5, 5′ построены также с помощью параллели. При этом точка 4, 4′ выбрана посредине отрезка mn, который является большой осью эллипса. На горизонтальной проекции часть линии будет видимой, а часть − невидимой. Задача 2. На рис. 6.8 дан прямой кру- говой конус и фрон- тально проецирующая поверхность призмы. Линия пересечения определена на плос- кости V, на которую она спроецировалась в виде двух прямых, сов- падающих с очерком призмы. 41 Рис. 6.9 Требуется построить горизонтальную проекцию линии пересечения за- данных поверхностей, которая будет состоять из двух кривых линий: дуги окружности от нижней горизонтальной грани призмы и части параболы от наклонной левой грани призмы. Обе кривые строятся из условия принад- лежности их конической поверхности. На рисунке показано построение то- чек 3 и 4, принадлежащих параболе. 6.2.4. Пересечение цилиндра и сферы Боковая поверхность цилиндра является горизонтально проецирующей, следовательно, горизонтальная проекция линии пересечения известна. Она совпадает с проекцией боковой поверхности цилиндра (рис. 5.5). В качестве вспомогательных плоскостей используем фронтальные плоскости, которые пересекут цилиндр по образующим, а сферу − по окружностям, параллельным фронтальной плоскости проекций. Точки пере- сечения окружностей с прямыми − фронтальными проекциями образующих и будут фронтальными проекциями 1′, 2′, 3′ ,…, 8′ точек линии пересечения. Характерными (опорными) точками являются; 1) низшая точка 1 и высшая точка 4 определяются на плане с помощью меридиана сферы, проходящего через ось цилиндра. При этом фронтальная проекция 1 ′ низшей точки проецируется с очерка на осевую линию сферы, а фронтальная про- екция 4′ высшей точки определяется с по- мощью вспомогательной плоскости R (R H ). 2) точки видимости 2, 2′ и 5, 5′ опреде- лены с использованием вспомогательной плоскости Р (Р H ); 3) фронтальные проекции 3′, 6′ точек определены с помощью вспомогательных плоскостей Q ( Q H ) и S (S H ). Проекции 7′ и 8′ промежуточных точек определяются попутно с высшей точкой и с использованием вспомогательной плоско- сти Т (Т H ). Точки 1′, 2′, 3′ ,…, 8′ соединяют плав- ной кривой, получают фронтальную проек- цию линии пересечения. 42 Рис. 6.10 6.2.5. Пересечение круговых цилиндра и конуса Как видно из чертежа (рис. 6.10), основания обеих поверхностей лежат в плоскости Н, и поэтому точки пересечения окружностей оснований при- надлежат искомой линии пересечения (точки 1 и 2). Определим види- мость этих точек на эпю- ре. Как известно, точка, принадлежащая линии пересечения, видима в том случае, когда она лежит на видимых частях обеих пересекающихся поверхностей. На горизонтальной плоскости проекций обе точки видимы, а на фронтальной плоскости про-екций точка 1 види- ма, а точка 2 невидима, так как она лежит на зад- ней, невидимой половине по-верхности цилиндра (го-ризонтальная проек- ция точки 2 расположена выше горизонтального диаметра окружности его основания). Обозначения проекций невидимых точек будем заключать в скобки. При проведении проекций линии пересечения это позволит сразу устано- вить их видимость. Найдём точки линии пересечения, расположенные на очерках заданных поверхностей. Очерковые образующие (правая и левая) конической поверхности про- ецируются на плоскость Н прямыми линиями, совпадающими с горизон- тальным диаметром окружности основания конуса. Точки пересечения этого диаметра с окружностью основания цилиндра, в которую проецируется вся поверхность этого цилиндра (точки 3 и 4), являются горизонтальными про- екциями точек встречи очерковых образующих конуса с поверхностью ци- линдра. Фронтальные проекции 3′ и 4′ найдутся в проекционной связи на фронтальных проекциях этих образующих. Поскольку рассматриваемые точки расположены на задней половине поверхности цилиндра, на фрон- тальной плоскости проекций они будут невидимы. Рассмотрим очерковые образующие цилиндра. 43 Как видно из чертежа, правая образующая цилиндра не пересекает по- верхность конуса, так как точка, в которую она проецируется на плоскость Н, лежит вне окружности основания конуса. Для нахождения точки встречи левой образующей цилиндра с поверхностью конуса необходимо заключить образующую во вспомогательную плоскость, построить проекции сечения конуса этой плоскостью и зафиксировать точку пересечения одноимённых проекций этого сечения и образующей. Эта точка и будет проекцией иско- мой точки встречи. Заключаем левую образующую цилиндра в горизонтально проецирую- щую плоскость Р, проходящую через ось конуса. Эта плоскость рассекает поверхность конуса по образующей AS. Фронтальная проекция этой обра- зующей – прямая a′s′ – пересечёт одноимённую проекцию левой образую- щей цилиндра в точке 5′, являющейся фронтальной проекцией искомой точ- ки встречи. Найденная точка 5 важна тем, что является границей видимости линии пересечения на фронтальной плоскости проекций. Участок этой линии, заключенный между видимыми точками 1′ и 5′, видим, а за проекцией 5′ линия пересечения переходит на заднюю, невиди- мую половину поверхности цилиндра и становится невидимой. Плоскость Р мы провели через ось конуса потому, что эта плоскость да- ёт наиболее простое сечение конуса (он рассекается по образующим). Любая другая плоскость, заключающая в себе левую образующую цилиндра, рас- секла бы конус по гиперболе, построение которой затруднило бы решение. Для нахождения наивысшей точки линии пересечения проведём гори- зонтально проецирующую плоскость К, проходящую через оси заданных конуса и цилиндра. Эта плоскость пересекает конус по образующей BS, го- ризонтальная проекция которой пересечёт очерк поверхности цилиндра в точке 6. Проекция 6′ найдётся в проекционной связи на фронтальной проек- ции образующей BS. Проекция 6′ и будет наивысшей точкой линии пересе- чения. Теперь, после нахождения главных точек линии пересечения, можно найти несколько промежуточных точек. Может оказаться, что характер ли- нии пересечения, расположенной между уже построенными точками, недо- статочно ясен. На этих участках и следует проводить вспомогательные се- кущие плоскости, выбирая их так, чтобы заданные поверхности рассекались ими по наиболее простым сечениям. Для заданных поверхностей такими плоскостями будут плоскости горизонтальные, так как они рассекут обе по- верхности по окружностям. Для уточнения линии пересечения на участке между точками 3 и 5, а также точками 4 и 6 проводим вспомогательную горизонтальную плоскость Е на этом уровне. Эта плоскость пересечет конус по окружности указанного радиуса R, а цилиндр – по окружности, совпадающей с горизонтальной про- екцией этой поверхности. Строим горизонтальные проекции этих сечений и 44 Рис. 6.11 фиксируем точки их пересечения – точки 7 и 8. Фронтальные проекции этих точек найдутся на фронтальном следе вспомогательной плоскости Е. Рассекая заданные поверхности другими горизонтальными плоскостя- ми, мы можем получить неограниченное число промежуточных точек иско- мой линии пересечения, однако уже построенных точек достаточно для её уверенного проведения. Построенные точки в правильной последовательности соединяем меж- ду собой плавной кривой, с учётом видимости. Невидимые точки 2, 4, 8, 6, 3 и 7 соединяются штриховой линией невидимого контура, которая продол- жается до видимой точки 5. В точке 5, как уже упоминалось, линия пересе- чения становится видимой, и поэтому участок её между точками 5 и 1 обво- дится линией видимого контура. 6.2.6. Пересечение сферы с конусом вращения Для построения линии пересечения заданных поверхностей удобно в качестве вспомогательных поверхностей использовать ряд горизонтальных плоскостей, перпендикулярных оси конуса, которые пересекают сферу и ко- нус по окружностям. На пересечении этих окружностей находят точки ис- комой линии пересечения. Так как пересекаются две поверх- ности второго порядка, линией пересе- чения будет пространственная кривая четвертого порядка. На рис. 6.11 сначала отметим оче- видные общие точки I и II поверхностей в пересечении их фронтальных проек- ций очерков, так как центр сферы и ось конуса лежат в плоскости, параллельной плоскости V. Эти характерные точки яв- ляются высшей и низшей точками линии пересечения. Их горизонтальные 1, 2 проекции находим в проекционной свя- зи. Для определения точек видимости III (3, 3 ′) и III 1 (3 1 , 3 1 ′), лежащих на эква- торе сферы, используем горизонтальную плоскость Р (Р V ), проходящую через центр сферы О (о′). Она пересекает сфе- ру по экватору, а конус по окружности радиуса R P , в пересечении горизонталь- ных проекций которых и находим гори- зонтальные проекции 3, 3 1 точек иско- 45 Рис. 6.12 мой линии пересечения. Горизонтальные проекции 3 и 3 1 этих точек явля- ются границами видимости участков линии пересечения на этой проекции. Проекции промежуточных точек 4, 4′ и 4 1 , 4 1 ′ найдены с помощью вспомогательной горизонтальной плоскости Q ( Q V ). Их построение ясно из чертежа. Аналогично построены точки V (5, 5′) и V 1 (5 1 , 5 1 ′); VI (6, 6′) и VI 1 (6 1 , 6 1 ′). 6.3. Построение линии пересечения поверхностей способом вспомогательных концентрических сфер Для построения линии пересечения поверхностей вместо вспомогатель- ных секущих плоскостей при определенных условиях удобно применять вспомогательные сферические поверхности. При этом могут быть использо- ваны концентрические и эксцентрические сферы. В отличие от метода вспомогательных секущих плоскостей метод вспомогательных сфер имеет преимущество, так как при построении фрон- тальной проекции линии пересечения поверхностей не используются две другие проекции пересекающихся поверхностей (рис. 6.12). Условия применения способа вспомогательных концентрических |