метрология. Учебное пособие метрология в вопросах и ответах
 Скачать 1.48 Mb.
|
|
Раздел 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ 2.1. Классификация погрешностей При любом измерении неизбежны обусловленные различными причи- нами отклонения результатов измерений от истинного значения измеряемой величины. Истинное значение является объективной оценкой объекта. Ре- зультаты измерения представляют собой приближѐнные оценки значений ве- личин, найденные путѐм измерения. Они зависят от метода измерения, от средств измерений, от оператора. Погрешностью называется отклонение результата измерений от ис- тинного значения измеряемой величины. Классификация погрешностей осу- ществляется по различным признакам. 1. В зависимости от условий применения средств измерения (СИ) погрешности делят на: 1) основную – составляющая погрешности измерения, которой обла- дает СИ в нормальных условиях эксплуатации; 2) дополнительную– погрешность СИ при отклонении условий из- мерений от нормальных. 2. В зависимости от слагаемых процесса измерения погрешности делят на: 1) погрешность меры; 2) погрешность преобразования; 3) погрешность сравнения измеряемой величины с мерой; 4) погрешность фиксации результатов измерения. 3. В зависимости от характера проявления погрешности делят на: 1) систематические погрешности – составляющие погрешности, ко- торые при повторных измерениях одной и той же физической вели- чины остаются постоянными, или изменяются по определѐнному закону; 2) случайные погрешности – составляющие погрешности, которые при повторных измерениях одной и той же физической величины изменяются случайным образом; 3) грубые погрешности – составляющие погрешности, которые су- щественно превышают ожидаемые. 4. В зависимости от причины возникновения погрешности делят на: 1) аппаратурная (инструментальная) погрешность, возникающая из-за несовершенства средства измерений, т.е. от погрешностей средств измерений. 2) внешние погрешности, зависящие от условий проведения измере- ний, т.е. от отклонения влияющих величин от нормальных значе- ний. 3) методическая погрешность, обусловленная несовершенством вы- бранного метода измерений или неполным знанием особенностей изучаемых явлений: 4) субъективные погрешности, обусловленные индивидуальными особенностями экспериментатора. 5. В зависимости от способа математического выражения погреш- ности делят на: 1) абсолютная погрешность ∆ х = х - х 0 (2.1) где x – результат измерения, x 0 – истинное значение измеряемой вели- чины; 2) относительная погрешность % 100 % 100 0 х х х х (2.2) На практике вместо истинного значения измеряемой величины исполь- зуют действительное значение, определяемое экспериментальным путѐм и максимально приближѐнное к истинному значению. 3) приведѐнная погрешность % 100 N х х (2.3) где x N –нормированный множитель, равный длине шкалы. х N = x k – x k0 (2.4) где x k 0 и x k – начальное и конечное значения на шкале прибора соот- ветственно. 2.2. Случайная погрешность Наличие случайных погрешностей в результате при повторении изме- рений в неизменных условиях эксперимента объясняется самой природой этих погрешностей. Строго говоря, условия не остаются неизменными и их колебания вызывают непостоянство результата, т.е. случайные погрешности всегда будут присутствовать в результате измерений. Характером проявления случайной погрешности определяется и способ их учета. Учесть влияние случайных погрешностей на результат измерения можно только путем анализа всей совокупности случайных погрешностей. Случайная погрешность считается случайной величиной, и поэтому ее оценивают методами математической статистики и теории вероятности. Наи- более полной характеристикой случайной погрешности является закон рас- пределения, представляющий собой зависимость вероятности появления случайной погрешности от величины этой погрешности. Большинство ре- зультатов измерений содержит случайную погрешность, подчиняющуюся нормальному закону распределения: 2 2 2 2 1 x x i е W , (2.5) где W( ) – плотность вероятности случайной погрешности отдельного измерения x x i i , это отклонение может быть вычислено для каждого измерения. Следует помнить, что сумма отклонений ре- зультата измерений от среднего значения равна нулю, а сумма их квадратов минимальна. Эти свойства используются при обработке результатов измерений для контроля правильности вычислений; – параметр, характеризующий степень случайного разброса ре- зультатов отдельных измерений относительно истинного значения Х 0 , называют средним квадратическим отклонением случайной ве- личины измерения; Х - математическое ожидание результатов наблюдений. Х , – являются точечными оценками случайной погрешности. При случайных погрешностях результат каждого измерения Х i будет отличаться от истинного значения Х 0 измеряемой величины: 0 X Х i (2.6) Эту разность называют случайной погрешностью отдельного измере- ния (результата наблюдения). Истинное значение Х 0 неизвестно, поэтому на практике его заменяют наиболее достоверным значением измеряемой величины, определяемым на основании экспериментальных данных. Если проводить серию измерений исследуемой величины и определить среднее арифметическое значение, то оно является наиболее достоверным значением измеряемой величины. При вычислении среднего арифметическо- го большого числа измерений погрешности отдельных измерений, имеющие разный знак, взаимно компенсируются. Среднее арифметическое значение принимают за результат измерения: n Х n Х Х Х Х Х n i i n 1 3 2 1 (2.7) где x i – численный результат отдельного измерения; n – число измерений. В теории случайных погрешностей вводится понятие о среднем квад- ратическом отклонении результата отдельного измерения (средняя квадра- тическая погрешность результата наблюдения) 1 ) ( 1 2 n x x S n i i (2.8) Характер кривых, описываемых (2.5), показан на рисунке 2.1а для трѐх значений . Функция (2.5) графически изображается колоколообразной кри- вой, симметричной относительно ординат, асимптотически приближающейся к оси абсцисс. Максимум этой кривой получается в точке =0, а величина этого максимума 2 1 ) ( W . Как видно из рисунка 2.1, чем меньше , тем уже кривая и, следовательно, реже встречаются большие отклонения, т.е. тем точнее выполняются измерения. Вероятность появления погрешности в пределах между 1 и 2 опреде- ляется площадью заштрихованного участка на рис. 4.1 б, т.е. определѐнным интегралом от функции W( ): 2 1 2 ) ( 2 1 ) ( 2 1 2 1 x x d e p (2.9) Значения интеграла вычислены для различных пределов и сведены в таблицы. Интеграл, вычисленный для пределов 1=– и 2=+ , равен еди- нице, т. е. вероятность появления случайной погрешности в интервале от – до + равна единице. Из таблиц, приведенных в математических справочниках, следует что: 9973 , 0 ) 3 3 ( P ; 683 , 0 ) ( P (2.10) Таким образом, с вероятностью 0,683 случайные погрешности измере- ния не выходят за пределы ± . С вероятностью 0,997 случайная погрешность Рисунок 2.1 находится в пределах ±3 , т.е. только 3 измерения из 1000 могут дать по- грешность, превышающую ±3 . Это соотношение называется законом трѐх сигм. Так как на практике число измерений не превышает нескольких десят- ков, то появление погрешности равной ±3 , маловероятно. Поэтому по- грешность ±3 считается максимально возможной случайной погрешностью. Погрешности более ±3 считаются промахами и при обработке результатов измерений не учитываются. В теории случайных погрешностей вводится также понятие о среднем квадратическом отклонении среднего арифметического х (средняя квадра- тическая погрешность результата измерений) 1 1 2 n n x x n S S N i i x x (2.11) где x S - оценка средней квадратической погрешности х ряда из n измерений. Рассмотренные оценки результатов измерений Х , , выражаемые од- ним числом, называют точечными оценками случайной погрешности. Поскольку подобную оценку обычно принимают за действительное значе- ние измеряемой величины, то возникает вопрос о точности и надежности полученной оценки. Судят об этом по вероятности того, что результат измерений (действительное значение) отличается от истинного не более чем на . Это можно записать в виде X A X P (2.12) Вероятность называется доверительной вероятностью или ко- эффициентом надежности, а интервал значений от Х – до Х + — доверительным интервалом. Обычно его выражают в долях средней квадратической погрешности x a n t ) ( (2.13) где t α (n) - табулированный коэффициент распределения Стъюдента, ко- торый зависит от доверительной вероятности и числа измерений n, значения которого можно найти в математиче- ских справочниках. Доверительную вероятность и доверительный интервал называют интервальными оценками случайной погрешности. 2.3. Методы обнаружения и исключения систематических погрешностей Для учѐта и устранения систематических погрешностей применяют методы, которые условно можно разбить на две группы: теоретические и экспериментальные способы. 1. Теоретические способы возможны, когда может быть получено ана- литическое выражение для искомой погрешности на основании апри- орной информации. 2. Экспериментальные способы также предполагают наличие априор- ной информации, но лишь качественного характера. Для получения количественной оценки необходимо проведение дополнительных ис- следований. Для устранения систематических погрешностей применяются следую- щие методы: 1. Постоянные систематические погрешности. а) Метод замещения - осуществляется путем замены измеряемой ве- личины известной величиной так, чтобы в состоянии и действии средства измерений не происходило изменений; б) Метод противопоставления. Измерения выполняются с двумя наблюдениями, проводимыми так, чтобы причина постоянной погрешности оказывала разные, но известные по закономерности воздействия на результаты наблюдений. в) Метод компенсации погрешности по знаку. Измерения также проводятся дважды так, чтобы постоянная система- тическая погрешность входила в результат измерения с разными знаками. За результат измерения принимается среднее значение двух измерений. 2. Прогрессирующие систематические погрешности. а) Метод симметричных наблюдений. Измерения производят с несколькими наблюдениями, проводимыми через равные интервалы времени, затем обрабатывают результаты, вычисля- ют среднее арифметическое симметрично расположенных наблюдений. Тео- ретически эти средние значения должны быть равны. Эти данные позволяют контролировать ход эксперимента, а также устранять систематические по- грешности. б) Метод рандомизации. Этот метод основан на переводе систематических погрешностей в слу- чайные. При этом измерение некоторой физической величины проводят ря- дом однотипных приборов с дальнейшей статистической обработкой полу- ченных результатов. Уменьшение систематической погрешности достигается и при изменении случайным образом методики и условий проведения изме- рений. При определѐнии значений систематической погрешности, результаты измерений исправляют, то есть вносят либо поправку, или поправочный множитель, но исправленные результаты обязательно содержат не исклю- ченные остатки систематических погрешностей (НСП) 2.4. Методы обнаружения и исключения грубых погрешностей При измерении физической величины может появиться результат на- блюдения х В , резко отличающийся от остальных, который называют анор- мальным. При этом необходимо проверить, не является ли он промахом, который следует исключить. При обнаружении грубых погрешностей ставится вопрос об учѐте или отбрасывании анормального результата наблюдения. Решение этой задачи осуществляется статистическими методами теории вероятности и зависит от проведенного числа измерений. Если проведено большое число измерений (n≥30), то пользуются кри- терием грубых погрешностей. 3 х х В - такой результат отбрасывают. При малом числе измерений (n < 30) пользуются критерием, рекомен- дуемым положениями ГОСТ 8.207 – 76. Для исключения грубых погрешно- стей из результатов измерений по этому критерию проводят следующие опе- рации. 1. Результаты группы из n наблюдений упорядочивают по возрастанию и по формулам (4.7) и (4.8) вычисляют оценки среднего арифметического х и среднеквадратического отклонения наблюдений σ данной выборки. Для анормального результата рассчитывается коэффициент х х t В (2.14) 2. Задаются уровнем значимости критерия ошибки ά, т.е. наибольшей ве- роятностью того, что используемый критерий может дать ошибочный ре- зультат. Этот уровень должен быть достаточно малым (0.05-0,1), чтобы веро- ятность ошибки была невелика. Далее по справочным данным для заданных значений n и ά находят предельное (граничное) t гр 3. Выполняют сравнение коэффициентов t гр и t: если t > t гр – анормальный результат относят к промахам и исключают; если t < t гр – анормальный результат учитывают при обработке результа- тов наблюдений. 2.5. Суммирование систематических и случайных погрешностей Погрешность сложных измерительных приборов зависит от погрешно- стей отдельных его блоков. Суммирование погрешностей производится по определенным правилам. В общем случае измерительный прибор состоит из n блоков, каждый из которых обладает как систематической Δ í , так и слу- чайной среднеквадратической σ ί погрешностями. 1. Суммирование систематических погрешностей производится по ал- гебраическому закону с учѐтом знаков n i i 1 2. Суммирование случайных погрешностей производится по квадрати- ческому закону с учѐтом коэффициента корреляции. На практике обычно пользуются двумя крайними случаями, когда корреляция отсутствует, т. е. к= 0, тогда n i i 1 2 2 2 2 1 2 1 2 (2.15) к=1 - жѐсткая корреляция. n i i n i 1 2 1 1 (2.16) 3. Результирующая погрешность определяется квадратическим сумми- рованием систематической и случайной погрешностей с учѐтом коэффици- ента корреляции. При суммировании погрешностей используют критерий ничтожной по- грешности: если частная погрешность меньше 0,3 общей погрешности, то этой частной погрешностью можно пренебречь. 2.6. Погрешности косвенных измерений Погрешность косвенных измерений находится в соответствии с теоре- мой: пусть физическая величина Z, значение которой определяют косвен- ным путѐм, представляет собой нелинейную дифференцируемую функцию Z=f(x 1 ,x 2 …x q ) и X 1, X 2,… q X - независимые результаты прямых измере- ний значений аргументов X 1 , X 2 ,…,X q , полученные с абсолютными средне- квадратическими случайными погрешностями 1 , 2 ,…, q , и содержащие соответственно абсолютные систематические погрешности 1 , 2 ,…, q Тогда результат косвенного измерения, определяемый из выражения А = f (X 1 , X 2 ,…, X q ) содержит абсолютную систематическую погрешность, определяемую соот- ношением: , (2.17) относительную систематическую погрешность: , (2.18) абсолютную случайную среднеквадратическую погрешность: , (2.19) относительную случайную погрешность: (2.20) При оценке погрешности косвенных измерений необходимо пользо- ваться критерием ничтожных погрешностей. Если частная погрешность составляет менее 30% от результирующей - еѐ отбрасывают (на практике используют даже 40%). 2.7 Вопросы и ответы по погрешностям измерений 2.1. Источником погрешности измерения не является … 1. возможное отклонение измеряемой величины 2. примененный метод измерения 3. примененное средство измерений 4. отклонение условий выполнения измерений от нормальных 2.2. Погрешность результатов косвенных измерений определя- ется… 1. наибольшей погрешности из всех измеряемых величин 2. суммой произведений погрешностей измеряе- мых величин на коэффициенты их влияния 3. суммой погрешностей измеряемых величин 4. произведением погрешностей измеряемых ве- личин 2.3. Доверительными границами результата измерения называ- ют… 1. предельные значения случайной величины Х при заданной вероятности Р 2. возможные измерения случайной величины 3. границы, за приделами которых погрешность встретить нельзя 4. результаты измерений при допускаемых от- клонениях условий измерений от нормальных 2.4. По характеру изменения ре- зультатов измерений погрешно- сти разделяют на… 1. систематические, случайные и грубые 2. методические, инструментальные и субъек- тивные 3. основные и дополнительные 4. абсолютные и относительные 2.5. Основой описания случайных погрешностей является… 1. матричная алгебра 2. операционное исчисление 3. математическая физика 4. математическая статистика 2.6. В основе определения преде- ла допускаемой погрешности из- мерения лежит принцип… 1. пренебрежимо малого влияния погрешности измерения на результат измерения 2. реальная погрешность измерения всегда имеет предел 3. случайности значения отсчета 4. погрешность средства измерения значительно больше других составляющих 2.7. При измерении физической величины прибором погреш- ность, возникающую при откло- нении температуры среды от нормальной, следует рассматри- вать как… 1. относительную 2. методическую 3. субъективную 4. инструментальную 2.8. Интервальными оценками случайной погрешности называ- ют… 1. среднее арифметическое значение 2. результат отдельного измерения 3. доверительный интервал 4. среднее квадратическое отклонении результата отдельного измерения 2.9. Интервальными оценками случайной погрешности называ- ют… 1. среднее квадратическое отклонение результата отдельного измерения 2. доверительную вероятность 3. среднее арифметическое значение 4. результат отдельного измерения 2.10. Точечными оценками слу- чайной погрешности называют… 1. плотность вероятности случайной погрешно- сти отдельного измерения 2. результат отдельного измерения 3. среднее арифметическое значение 4. доверительную вероятность 2.11. Точечными оценками слу- чайной погрешности называют… 1. результат отдельного измерения 2. среднее квадратическое отклонение результата измерения 3. плотность вероятности случайной погрешно- сти отдельного измерения 4. среднее квадратическое отклонение результата отдельного измерения 2.12. За результат многократных равноточных измерений прини- мают… 1. среднее арифметическое значение результатов отдельных измерений 2. среднее квадратическое отклонение результата отдельного измерения 3. среднее квадратическое отклонение результата измерения 4. плотность вероятности случайной погрешно- сти отдельного измерения 2.13. Появление результата на- блюдения, резко отличающегося от остальных, свидетельствует о наличии… погрешностей 1. случайных 2. систематических 3. грубых 4. нормальных 2.14. В соответствии с критерием ничтожных погрешностей част- ную погрешность отбрасывают, если она составляет… от резуль- тирующей 1.50% 2. 70% 3. 20% 4. 60% 2.15. Суммирование систематиче- ских погрешностей производит- ся… 1. по критерию ничтожных погрешностей 2. по алгебраическому закону 3. по квадратическому закону 4. суммированием коэффициентов корреляции 2.16. Действительным значением величины не является значение, которое… 1. воспроизводит или хранит единицу величины 2. имеет нормированные метрологические харак- теристики 3. имеет измеряемая величина 4. близко к истинному 2.17. При контроле линейных размеров ГОСТ 8.051 рекоменду- ет принимать предел допускае- мой погрешности измерения рав- ным… 1. величине допуска контролируемого размера 2. погрешности используемого средства измере- ния 3. 0,5 величины допуска контролируемого разме- ра 4. 0,35…0,2 величины допуска контролируемого размера 2.18. Составляющая погрешности средства измерения, принимаемая постоянной или закономерно из- меняющейся,- … погрешность 1. относительная 2. случайная 3. частная 4. систематическая |