Учебное пособие Москва Издательство мцнмо 2007 удк 512. 1517. 1511. 1 Ббк 22. 14122. 161 П70 Прасолов В. В
 Скачать 3.28 Mb.
|
|
32.2. Пусть f(z) = z n + a 1 z n −1 + . . . + a n , где a i — комплексные числа. Докажите, что тогда внутри круга расположено ровно n корней многочлена f с учётом их кратности. Разделение корней Здесь мы обсудим различные утверждения, позволяющие вычислить или хотя бы оценить сверху количество вещественных корней многочлена, расположенных на интервале (a, b). Формулировки таких теорем часто используют понятие числа перемен знака в последовательности a 0 , a 1 , . . . , a n , где a 0 a n 6= 0. Это число определяется следующим образом. Все нулевые члены рассматриваемой последовательности исключаются, а для оставшихся Условия задач 435 ненулевых членов вычисляется количество пар соседних членов разного знака. Пусть N(x) — число перемен знака в последовательности, где f — многочлен степени Докажите, что тогда число корней многочлена f с учётом их кратности, заключённых между a и b, где f(a) 6= 0, f(b) 6= 0 и a < b, не превосходит N(a) − N(b), причём число корней может отличаться от N(a) − N(b) лишь нач тное число ( Фурье––Бюдан). 32.4. а) Докажите, что количество положительных корней многочлена f(x) = a 0 x n + a 1 x n −1 + . . . + a n , где a n 6= не превосходит числа перемен знака в последовательности, a 1 , . . ., правило Декарта). б) Докажите, что количество отрицательных корней многочлена, где a n 6= 0, не превосходит числа перемен знака в последовательности (−1) n a 0 , ( −1) n −1 a 1 , . . ., a n 32.5. Докажите, что если в многочлене f(x) = a 0 x n + + a 1 x n −1 + . . . + a n , где a n 6= 0, отсутствуют 2m последовательных членов (те. коэффициенты при этих членах равны нулю, то у этого многочлена не менее 2m мнимых (невещественных) корней, а если отсутствуют 2m + 1 последовательных членов, тов случае, когда их заключают члены разного знака, многочлен имеет не менее 2m мнимых корней, а в случае, когда их заключают члены одного знака, многочлен имеет не менее 2m + 2 мнимых корней (де Гуа). Рассмотрим многочлены f(x) и f 1 (x) = f ′ (x). Будем искать наибольший общий делитель многочленов f и по алгоритму Евклида Последовательность f, f 1 , . . . , f n −1 , f n называют последователь- ностью Штурма многочлена f. Глава 32. Многочлены — II 32.6. Пусть w(x) — число перемен знака в последовательности. Докажите, что количество корней многочлена f без учёта их кратности, заключённых между a и b, где f(a) 6= 0, f(b) 6= 0 ив точности равно w(b) Штурм. Докажите, что корни производной многочлена принадлежат выпуклой оболочке корней самого многочлена (Гаусс––Люк а. Пусть P(z) = (z − x 1 ) . . . (z − x n ), где x 1 < . . . < Докажите, что если некоторый корень заменяется на (x i , x i+1 ), то все корни производной многочлена P увеличиваются. Неприводимые многочлены Иногда возникает потребность рассматривать многочлены не только с действительными или целыми коэффициентами, но и с коэффициентами в произвольном поле или коммутативном кольце. Кольца и поля — это множества, в которых есть операции сложения и умножения. В кольцах, в отличие от полей, нет операции деления. Например, действительные или рациональные числа образуют поле, а целые числа — только кольцо, потому что отношение двух целых чисел не всегда является целым числом. Точные определения таковы. Кольцо K — это множество, в котором для любых двух элементов x и y определены их сумма+ y и произведение xy они тоже являются элементами K). Эти операции обладают следующими свойствами x + y = y + x коммутативность сложения (x + y) + z = x + (y + z) ассоциативность в K существует нулевой элемент 0, для которого x + 0 = для любого x из K; • для любого элемента x из K существует противоположный элемент −x, для которого x + (−x) = 0; • x(y + z) = xy + xz и (x + y)z = xz + yz (дистрибутивность умножения относительно сложения). Кольцо K называют коммутативным, если умножение в нём коммутативно, те для любых элементов x и y из Кольцо K называют ассоциативным, если умножение в нём ассоциативно, те) для любых x, y и z из K. Условия задач 437 Элемент 1 кольца K называют единицей, если 1x = x1 = x для любого элемента x кольца Говоря о кольцах, мы всегда будем подразумевать коммутативные ассоциативные кольца с единицей. Полем называют коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, в котором для каждого элемента x 6= 0 существует обратный элемент x −1 , для которого xx −1 = Поле k называют подполем поля K обозначение k ⊂K; K при этом называют расширением поля k), если каждый элемент поля k одновременно является элементом поля K, причём операции сложения и умножения для элементов k будут теми же самыми, если мы рассмотрим их как элементы K; нулевой элемент и единица в k те же самые, что ив. Например, поле рациональных чисел является подполем поля действительных чисел. Пусть f и g — многочлены с коэффициентами из поля k. Говорят, что многочлен f делится на многочлен g, если f = gh, где — некоторый многочлен (с коэффициентами из поля Многочлен d называют общим делителем многочленов f и если f и g делятся на d. Общий делитель d многочленов f и g называют наибольшим общим делителем многочленов f и если он делится на любой общий делитель многочленов f и Ясно, что наибольший общий делитель определён однозначно с точностью до умножения на ненулевой элемент поля Наибольший общий делитель d=НОД(f, g) многочленов f и можно найти с помощью следующего алгоритма Евклида. Для определённости будем считать, что deg f > deg g, где deg обозначает степень многочлена. Пусть r 1 — остаток отделения на g, r 2 — остаток отделения на r 1 , . . . , r k +1 — остаток отделения на r k . Степени многочленов строго убывают, поэтому для некоторого n получим r n +1 = 0, те. делится на r n . При этом и g делятся на r n , так как на делятся многочлены r n −1 , r n −2 , . . . Кроме того, если f и g делятся на некоторый многочлен, то делится на h, так как на h делятся многочлены, r 2 , . . . Таким образом, r n = (f, Непосредственно из алгоритма Евклида вытекают важные следствия, которые мы сформулируем отдельно. а) Если d — наибольший общий делитель многочленов f и то найдутся такие многочлены a и b, чтоб) Пусть f и g многочлены над полем k ⊂ K. Тогда если умно- гочленов f и g есть нетривиальный общий делитель над полем то у них есть нетривиальный общий делитель и над полем k. Глава 32. Многочлены — Многочлен f с коэффициентами из кольца k называют приводимым над k, если f =gh, где g и h — многочлены положительной степени с коэффициентами из кольца k. В противном случае многочлен f называют неприводимым над Пусть f = f 1 . . . f s — некоторое разложение многочлена f над полем k на множители f 1 , . . . , f s , являющиеся многочленами над полем k. От разложения на множители с произвольными коэффициентами можно перейти к разложению со старшим коэффициентом. В самом деле, если f i (x) = a i x i + . . . — многочлен над полем k, то g i = a −1 i f i — тоже многочлен над полем k, причём его старший коэффициент равен 1. Поэтому разложение f = f 1 . . . можно заменить на разложение f = ag 1 . . . g s , где a = a 1 . . . a s . Мы не будем различать два разложения такого вида, отличающиеся лишь порядком множителей. Докажите, что если многочлен qr делится на неприводимый многочлен p, то один из многочленов q и r делится на p. 32.10. Пусть k — поле. Докажите, что у многочлена с коэффициентами из k есть разложение на неприводимые множители, причём это разложение единственно. Для кольца целых чисел неприводимость многочленов определяется точно также, как ив случае поля, те. многочлен) с целыми коэффициентами неприводим над кольцом целых чисел, если его нельзя представить в виде произведения многочленов положительной степени с целыми коэффициентами. Нов случае кольца целых чисел не всегда можно поделить коэффициенты многочлена на старший коэффициент можно лишь поделить коэффициенты на наибольший общий делитель всех коэффициентов. Это приводит к следующему определению. Пусть f(x) = P a i x i , где a i — целые числа. Наибольший общий делитель коэффициентов a 0 , . . . , a n называют содержанием многочлена. Содержание многочлена f обозначают cont(f). Ясно, что f(x) = cont(f)g(x), где g — многочлен с целыми коэффициентами и с содержанием 1. 32.11. Докажите, что cont(fg) = cont(f) cont(g) (лемма Гаусса). 32.12. Докажите, что многочлен с целыми коэффициентами неприводим над кольцом целых чисел тогда и только тогда, когда он неприводим над полем рациональных чисел Условия задач. Пусть f(x) = a 0 + a 1 x + . . . + a n x n — многочлен с целыми коэффициентами, причём для некоторого простого числа p коэффициент не делится на p, коэффициенты, . . ., делятся на p, но коэффициент не делится на p 2 . Докажите, что тогда f — неприводимый многочлен ( признак Эйзенштейна). 32.14. Докажите, что если p — простое число, томного- член f(x) = x p −1 + x p −2 + . . . + x + 1 неприводим. Симметрические многочлены Многочлен f(x 1 , . . . , x n ) называют симметрическим, если для любой перестановки выполняется равенство, . . . , x s (n) ) = f(x 1 , . . . , Основным примером симметрических многочленов служат элементарные симметрические многочлены (элементарные симметрические функции, . . . , x n ) = X i 1 < ...<i k x i 1 . . . где 1 6 k 6 n; удобно считать, что s 0 = 1 и s k (x 1 , . . . , x n ) = 0 при > Элементарные симметрические многочлены можно задавать с помощью производящей функции+ Если x 1 , . . . , x n — корни многочлена x n + a 1 x n −1 + . . . + a n , то s k (x 1 , . . . , x n ) = Другим примером симметрических многочленов служат пол- ные однородные симметрические многочлены, . . . , x n ) = X i 1 +...+i n =k x i 1 1 . . . Им соответствует производящая функция tx i ) −1 Глава 32. Многочлены — Важным примером симметрических многочленов служат также степенные суммы, . . . , x n ) = x k 1 + . . . + Им соответствует производящая функция Иногда используются мономиальные симметрические многочлены. Докажите, что если a+b+c+d=2 и 1/a+1/b+1/c+ + 1/d = 2, то 1 − a + 1 1 − b + 1 1 − c + 1 1 − d = 2. * * * 32.16. Докажите, что 0. 32.17. Докажите, что. Пусть s k = x k 1 + . . . + x k n . Докажите, что s 1 s n −1 − s 2 s n −2 + . . . + формулы Ньютона. Сумма трёх целых чисел x, y, z равна нулю. Докажите, что 2(x 4 + y 4 + z 4 ) — квадрат целого числа. Целые числа x 1 , . . ., таковы, что x 1 + . . . + и x 2 1 + . . . + x 2 делятся на нечётное число n. Докажите, что 1 + . . . + x 5 5 − 5x 1 . . . тоже делится на n. * * * 32.21. Пусть x 1 , x 2 , x 3 — корни многочлена x 3 + px + Вычислите s n = x n 1 + x n 2 + для n = 1, 2, . . ., 10. Условия задач. Пусть x 1 = b + c + d, x 2 = −(a + b + c), x 3 = a − d, y 1 = a + c + d, y 2 = −(a + b + d) и y 3 = b − c. Пусть, далее+ p 1 t + и t 3 + p 2 t + q 2 — многочлены с корнями x 1 , x 2 , и y 1 , y 2 , соответственно. Докажите, что p 1 = тогда и только тогда, когда ad = bc. 32.23. Пусть (b + c + d) 2n + (a + b + c) 2n + + (a − d) 2n − (a + c + d) 2n − (a + b + d) 2n − (b − c) 2n , причём ad = bc. Докажите, что f 2 = f 4 = 0 и 64f 6 f 10 = 45f 2 тождества Рамануджана). * * * 32.24. а) Пусть f(x 1 , . . . , x n ) — симметрический многочлен. Докажите, что существует многочлен g(y 1 , . . . , для которого f(x 1 , . . . , x n ) = g( s 1 , . . . , s n ). При этом многочлен единствен (основная теорема о симметрических многочленах). б) Докажите, что если f(x 1 , . . . , x n ) — симметрический многочлен с целыми коэффициентами, то f(x 1 , . . . , x n ) = = g( s 1 , . . . , s n ), где g — тоже многочлен с целыми коэффи- циентами. Из основной теоремы о симметрических многочленах следует, что если x 1 , . . . , x n — корни многочлена x n + a 1 x n −1 + . . . + a n , то величина представляющая собой симметрический многочлен от x 1 , . . . , x n , полиномиально выражается через a 1 , . . . , a n . Эту величину называют дискриминантом многочлена. Назовём многочлен f(x 1 , . . . , x n ) кососимметрическим, если. . . , x i , . . . , x j , . . .) = −f(. . . , x j , . . . , x i , . . те. при перестановке любых двух переменных и многочлен меняет знак. Примером кососимметрического многочлена служит ∆ = Q i<j (x i − x j ). Глава 32. Многочлены — II 32.25. Докажите, что любой кососимметрический многочлен) можно представить в виде, . . . , x n )g(x 1 , . . . , где g — симметрический многочлен. Пусть l = ( l 1 , . . . , l n ) — разбиение, те. упорядоченный набор целых неотрицательных чисел l 1 > l 2 > . . . > l n > 0. Положим. Будем считать, что l > m , если l 1 + . . . + l k > m 1 + . . . при k = 1, 2, . . . , Каждому набору можно сопоставить однородный симметрический многочлен, . . . , x n ) = 1 n! X s ∈S n x l s (1) 1 . . . x l Степень этого многочлена равна Например, если l = (1, . . . , 1), то M l (x 1 , . . . , x n ) = x 1 . . . В самом деле, сумма (1) в этом случае состоит из n! слагаемых. А если l = (n, 0, . . . , 0), то M l (x 1 , . . . , x n ) = = (x n 1 + . . . + x n n )/n. В самом деле, сумма (1) в этом случае состоит из (n − 1)! слагаемых x n 1 , (n − 1)! слагаемых и т. д. Докажите, что неравенство M l (x) > M m (x) выполняется при всех x = (x 1 , . . . , x n ) с положительными x 1 , . . . . . . , в томи только том случае, когда | l | = | m | и l > m . При этом равенство достигается лишь в том случае, когда l = m и x 1 = . . . = x n ( Мюрхед). |