Учебное пособие Москва Издательство мцнмо 2007 удк 512. 1517. 1511. 1 Ббк 22. 14122. 161 П70 Прасолов В. В
 Скачать 3.28 Mb.
|
|
В. В. Прасолов ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ, АРИФМЕТИКЕ И АНАЛИЗУ Учебное пособие Москва Издательство МЦНМО 2007 УДК 512.1+517.1+511.1 ББК 22.141+22.161 П70 Прасолов В. В. П70 Задачи по алгебре, арифметике и анализу Учебное пособие. — М МЦНМО, 2007. — 608 сил В книгу включены задачи по алгебре, арифметике и анализу, относящиеся к школьной программе, нов основном, несколько повышенного уровня по сравнению с обычными школьными задачами. Есть также некоторое количество весьма трудных задач, предназначенных для учащихся математических классов. Сборник содержит более 1000 задач с полными решениями. Для школьников, преподавателей математики, руководителей математических кружков, студентов пединститутов. ББК 22.141+22.161 ISBN 978-5-94057-263-3 © Прасолов В. В, 2007 © МЦНМО, 2007 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 12 Некоторые обозначения 14 Г лава. Квадратный трёхчлен 16 1.1. Наименьшее значение квадратного трёхчлена (16). 1.2. Дискриминант (16). 1.3. Разные задачи (17). 1.4. Теорема о промежуточном значении (18). 1.5. Уравнение касательной к конике (19). 1.6. Результант (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Уравнения. Замена переменных (26). 2.2. Угадывание корней (26). 2.3. Уравнения с радикалами (26). 2.4. Разные уравнения (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Системы уравнений. Нахождение всех решений (31). 3.2. Нахождение вещественных решений (31). 3.3. Положительные решения. Количество решений системы уравнений (32). 3.5. Линейные системы уравнений (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Делимость. Чти нечет (42). 4.2. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики (43). 4.3. Разложение на простые множители. Признаки делимости (44). 4.5. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное (45). Оглавление. Делимость нацело (46). 4.7. Делимость на степень простого числа (47). 4.8. Остатки отделения. Взаимно простые числа (49). 4.10. Простые числа (49). 4.11. Арифметика остатков (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Тождества. Разложение на множители (65). 5.2. Доказательство тождеств (65). 5.3. Суммы квадратов (65). 5.4. Вспомогательные тождества (66). 5.5. Разложения рациональных функций (67). 5.6. Разложения квадратичных функций. Тождества с целыми частями (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Рациональные и иррациональные числа. Сравнение чисел (74). 6.2. Иррациональности в знаменателях. Тождества с радикалами (75). 6.4. Доказательства иррациональности и рациональности (76). 6.5. Сопряжённые числа (76). 6.6. Последовательность Фа- рея (77). 6.7. Задачи с целыми частями (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Текстовые задачи. Решения без вычислений (88). 7.2. Вычисления (88). 7.3. Неравенства. Целочисленные приближения. Соответствия (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Неравенства. Неравенство x + 1/x > 2 (96). 8.2. Неравенство треугольника. Неравенство Коши (97). 8.4. Неравенство между средним арифметическими средним геометрическим. Неравенства, имеющие геометрическую интерпретацию (99). 8.6. Циклические неравенства (99). 8.7. Разные неравенства (100). 8.8. Выпуклость (101). 8.9. Неравенства Гёльдера и Минковского (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Оглавление 5 Г лава. Вычисление сумм и произведений. Арифметическая и геометрическая прогрессии (116). 9.2. Изменение порядка суммирования (117). 9.3. Суммы 1 k + 2 k + . . . + n k (117). 9.4. Разбиение на пары (118). 9.5. Вычисление одной суммы двумя способами (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Многочлены — I 125 10.1. Выделение полного квадрата (125). 10.2. Корни многочленов (125). 10.3. Коэффициенты многочлена (125). 10.4. Теорема Виета (126). 10.5. Делимость. Неравенства для корней (128). 10.7. Количество вещественных корней многочлена (128). 10.8. Разные задачи (128). 10.9. Интерполяционные многочлены (129). 10.10. Рациональные функции (130). 10.11. Целозначные многочлены. Многочлены от нескольких переменных (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Тригонометрия. Неравенства и сравнение чисел (142). 11.2. Тригонометрические тождества (143). 11.3. Уравнения (143). 11.4. Суммы синусов и косинусов, связанные с правильными многоугольниками. Вычисление сумм и произведений (144). 11.6. Выражения для cos n f и т. п. Вспомогательные тригонометрические функции (146). 11.8. Тригонометрические многочлены (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Уравнения в целых числах. Пифагоровы тройки (159). 12.2. Нахождение всех решений. Нахождение некоторых решений (160). 12.4. Доказательство конечности числа решений (161). 12.5. Уравнение Пелля (161). 12.6. Уравнение Марко- ва (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 6 Оглавление Г лава. Индукция. Вычисление сумм (171). 13.2. Неравенства (171). 13.3. Доказательство тождеств (172). 13.4. Разные задачи (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Комбинаторика. Элементы комбинаторики (178). 14.2. Тождества для биномиальных коэффициентов (179). 14.3. Бином Ньютона в арифметике (180). 14.4. Комбинаторика в арифметике. Неравенства для биномиальных коэффициентов. Арифметика биномиальных коэффициентов. Формула включений и исключений. Аналоги биномиальных коэффициентов. Числа Каталана (182). 14.10. Элементы теории вероятностей (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Рекуррентные последовательности. Общие свойства (201). 15.2. Числа Фибоначчи (201). 15.3. Числа Фибоначчи и алгоритм Евклида (203). 15.4. Числа Фибоначчи в комбинаторике (203). 15.5. Специальные рекуррентные последовательности (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Примеры и конструкции. Наборы чисел (210). 16.2. Бесконечные последовательности. Последовательности операций (211). 16.4. Многочлены и рациональные функции. Разные примеры и конструкции (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Принцип Дирихле. Правило крайнего. Остатки отделения. Разные задачи (219). 17.3. Приближения иррациональных чисел рациональными. Правило крайнего (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Оглавление 7 Г лава. Инварианты и полуинварианты 228 18.1. Остатки отделения. Полуинвариан- ты (229). 18.3. Чётность перестановки (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Логика. Логические задачи. Логические парадоксы (237). 19.3. Логика высказываний (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Стратегии. Турниры. Таблицы. Выбор стратегии (242). 20.2. Переливания (243). 20.3. Турниры (243). 20.4. Взвешивания (244). 20.5. Таблицы (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Системы счисления. Последние цифры (256). 21.2. Первые цифры (256). 21.3. Другие цифры. Сумма цифр. Разные задачи о десятичной записи. Периоды десятичных дробей и репьюниты (258). 21.7. Определение d-ичной записи числа (259). 21.8. Двоичная система (259). 21.9. Другие системы счисления (260). 21.10. Другие представления чисел (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Графы. Обходы графов (270). 22.2. Ориентированные графы. Паросочетания (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Комплексные числа. Тождества и неравенства для комплексных чисел. Формула Муавра (276). 23.3. Корни из единицы. Корни многочленов (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 8 Оглавление Г лава. Уравнения, разрешимые в радикалах. Решение кубических уравнений (286). 24.2. Дискриминант кубического многочлена (286). 24.3. Решение уравнений й степени (287). 24.4. Другие уравнения, разрешимые в радикалах (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Предел последовательности. Свойства пределов (293). 25.2. Теорема Вейерштрасса. Вычисление пределов (295). 25.4. Число. Сопряжённые числа (297). 25.6. Точная верхняя грань (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Непрерывные и разрывные функции. Монотонные функции (310). 26.2. Периодические функции (310). 26.3. Предел функции (310). 26.4. Непрерывность. Теорема о промежуточном значении. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Выпуклые функции (313). 26.8. Равномерная непрерывность (314). 26.9. Функции ограниченной вариации (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Логарифм и показательная функция. Определение показательной функции и логарифма. Показательная функция (323). 27.3. Тождества для логарифмов (323). 27.4. Неравенства и сравнение чисел (324). 27.5. Иррациональность логарифмов (324). 27.6. Некоторые замечательные пределы (324). 27.7. Гиперболические функции (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Производная. Определение производной (331). 28.2. Производные элементарных функций. Кратный корень многочлена (333). 28.4. Производная многочлена (333). 28.5. Тождества (334). 28.6. Касательная и нормаль (335). 28.7. Функции, дифференцируемые на отрезке. Неравенства (337). 28.9. Правило Лопиталя (338). Оглавление 28.10. Количество корней уравнения (338). 28.11. Периодические функции. Нормированные симметрические функции (339). 28.13. Алгебраические и трансцендентные функции. Формула Тейлора (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Интеграл. Неопределённый интеграл (361). 29.2. Определён- ный интеграл (362). 29.3. Вычисление интегралов (364). 29.4. Вычисление площадей (365). 29.5. Вычисление объ- ёмов (365). 29.6. Длина кривой (366). 29.7. Площадь поверхности. Неравенства (367). 29.9. Вычисление пределов (368). 29.10. Тождества (369). 29.11. Примеры и конструкции (369). 29.12. Несобственные интегралы (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Ряды. Вычисление бесконечных сумм (384). 30.2. Вычисление бесконечных произведений (384). 30.3. Гармонический ряд (384). 30.4. Ряд для логарифма (386). 30.5. Ряды для числа p (387). 30.6. Экспонента в комплексной области. Доказательства неравенств (388). 30.8. Сходящиеся и расходящиеся ряды (388). 30.9. Сходимость бесконечных произведений (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Элементы теории чисел. Малая теорема Ферма (399). 31.2. Псевдопростые числа (399). 31.3. Функция Эйлера (400). 31.4. Теорема Вильсона (400). 31.5. Задачи о сравнениях (401). 31.6. Функция s k (n). Делители (402). 31.7. Квадратичные вычеты (403). 31.8. Квадратичный закон взаимности. Гауссовы суммы (406). 31.10. Суммы двух квадратов (406). 31.11. Суммы четырёх квадратов (407). 31.12. Первообразные корни по простому модулю (408). 31.13. Первообразные корни по составному модулю (409). 31.14. Теорема Чебышева о простых числах (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 10 Оглавление Г лава. Многочлены — II 434 32.1. Разделение корней (434). 32.2. Неприводимые многочлены. Симметрические многочлены (439). 32.4. Многочлены Чебышева (442). 32.5. Алгебраические и трансцендентные числа (444). 32.6. Присоединение корня многочлена (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Алгоритмы и вычисления. Вычисления некоторых чисел (460). 33.2. Арифметические операции. Многочлены (460). 33.3. Сортировка. Криптография с открытым ключом (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Функциональные уравнения. Метод подстановки (470). 34.2. Функциональные уравнения для произвольных функций (470). 34.3. Функциональные уравнения для непрерывных функций (471). 34.4. Функциональные уравнения для дифференцируемых функций (472). 34.5. Функциональные уравнения для многочленов (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Цепные дроби. Определение и основные свойства (484). 35.2. Наилучшие приближения (486). 35.3. Цепные дроби и уравнение Пелля (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Формальные ряды и производящие функции. Формальные ряды. Формальная производная (494). 36.3. Корень из формального ряда (494). 36.4. Экспонента и логарифм (494). 36.5. Тождества для формальных рядов. Производящие функции. Числа и многочлены Бернул- ли (497). 36.8. Число разбиений (497). 36.9. Формулы Варинга (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 Оглавление 11 Г лава. Исчисление конечных разностей. Свойства конечных разностей (510). 37.2. Обобщён- ная степень (511). 37.3. Формула суммирования Эйлера (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Кривые на плоскости. Полярные координаты (516). 38.2. Огибающая семейства кривых (516). 38.3. Кривизна (519). 38.4. Соприкасающаяся окружность (520). 38.5. Фокальные точки. Эволю- та (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Теория множеств. Конечные множества (531). 39.2. Операции надмножествами. Равномощные множества (532). 39.4. Счётные множества (533). 39.5. Мощность континуума. Свойства мощности (534). 39.7. Парадоксы теории множеств (Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Дополнение. Рациональная параметризация окружности. Суммы квадратов многочленов (543). 3. Представление чисел в виде суммы двух квадратов (546). 4. Построение правильного 17-угольника (549). 5. Построения циркулем и линейкой (553). 6. Хроматический многочлен графа (561). 7. Трансцендентность чисел e и p (565). 8. Разрешимость уравнений в радикалах (570). 9. Дио- фантовы уравнения для многочленов (584). 10. Теорема Ван дер Вардена об арифметической прогрессии (589). 11. Происхождение математических терминов (Указатель имён 597 Предметный указатель ПРЕДИСЛОВИЕ Книга состоит из 39 глав и Дополнения, которое содержит очерки, посвящённые избранным темам алгебры, арифметики и анализа. В конце книги приведён предметный указатель. Структура книги во многом схожа со структурой моей книги Задачи по планиметрии, в четвёртом издании которой тоже появились Дополнение и предметный указатель. Книга предназначена для школьников, обучающихся в классах с углублённым изучением математики, и для преподавателей математики. В ней представлены практически все темы алгебры, арифметики и анализа, которые сейчас изучаются в математических классах. Некоторая часть изложенного материала выходит за рамки школьной программы, ноне за рамки программ математических классов. В основном это те темы, которые традиционно вызывают большой интересу школьников свойства простых чисел, решение уравнений в целых числах, задачи о взвешивании монет, решение кубических уравнений, невозможность трисекции угла. Для удобства читателя в книге принята подробная рубрикация. Задачи распределены по 39 главам, каждая из которых разбита на несколько параграфов. За основу классификации приняты методы решения задач, хотя по необходимости существенную роль играют и внешние признаки (уравнения, неравенства, многочлены, тригонометрические функции и т. п Предисловие 13 Основное внимание в книге уделено тем идеям, которые находят применение в современной математике или в других областях науки физике, экономике и т. д. «Дополнение» состоит из отдельных очерков, посвящён- ных избранным темам алгебры, арифметики и анализа рациональная параметризация окружности суммы квадратов многочленов представление чисел в виде суммы двух квадратов построение правильного угольника построения циркулем и линейкой хроматический многочлен графа; трансцендентность чисел e и p ; неразрешимость в радикалах общего уравнения пятой степени диофантовы уравнения для многочленов теорема Ван дер Вардена об арифметической прогрессии. В конце приведён словарик, в котором объяснено происхождение некоторых математических терминов. По поводу незнакомых терминов следует обращаться к предметному указателю. Там можно узнать, на какой странице определяется соответствующее понятие. Если же вам встретилось незнакомое обозначение, то следует обратиться к списку обозначений нас НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ НОД — наибольший общий делитель НОК — наименьшее общее кратное — целая часть числа x, наибольшее целое число, не превосходящее дробная часть числа x, разность между числом x и его целой частью 1 · 2 · 3 · . . . · n (2n)!! = 2 · 4 · 6 · . . . · 2n (2n + 1)!! = 1 · 3 · 5 · . . . · (2n + 1) C k n = n! k! (n − k)! — биномиальный коэффициент — сравнимо по модулю n — d делит n lim — предел — знак суммирования — знак произведения min{a 1 , . . . , a n } или min(a 1 , . . . , a n )— наименьшее из чисел, . . . , a n max{a 1 , . . . , a n } или max(a 1 , . . . , a n ) — наибольшее из чисел, . . . , a n lg — логарифм по основанию 10 ln — логарифм, основанием которого служит число e натуральный логарифм — знак перестановки Некоторые обозначения — гиперболический синус ch — гиперболический косинус th — гиперболический тангенс cth — гиперболический котангенс — ареасинус гиперболический — ареакосинус гиперболический — ареатангенс гиперболический — ареакотангенс гиперболический) — производная функции f(x) ] — интеграл ГЛАВА КВАДРАТНЫЙ ТРЁХЧЛЕН |