Учебное пособие Москва Издательство мцнмо 2007 удк 512. 1517. 1511. 1 Ббк 22. 14122. 161 П70 Прасолов В. В
 Скачать 3.28 Mb.
|
|
3.15. Пусть x min = x i — наименьшее из чисел x 1 , . . . , x 5 , x max = = x j — наибольшее. Тогда x 2 min = x i −2 + здесь подразумевается, что x 0 = и x −1 = x 4 ) и x 2 max = x j −2 + x j −1 6 2x max Решения задач 39 Числа x min и x max положительны, поэтому x min > 2 > x max . Следовательно. Ответ число решений уменьшается до трёх при число решений уменьшается до двух при a = Из первого уравнения получаем y = ±x. Подставив это выражение во второе уравнение, получим a) 2 + x 2 = Число решений системы уменьшается до трёх, если одно из решений уравнения (1) обращается в нуль. Подставив в (1) x = получим a 2 = 1, те. Число решений системы уменьшается до двух, если уравнение (1) имеет единственный корень (те. два совпадающих корня. Приравнивая нулю дискриминант уравнения, получаем a = ± √ 2. 3.17. Ответ Запишем сначала первое уравнение, потом второе, из которого вычтено первое, потом третье, из которого вычтено второе, и т. д+ 2x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 2x 5 = 1, x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 2x 5 = 1, x 3 + 2x 4 + 2x 5 = 1, x 4 + 2x 5 = 1, x 5 = Теперь можно последовательно найти x 5 , x 4 , x 3 , x 2 , x 1 3.18. Ответ Сложив все уравнения, получим 3(x 1 + x 2 + . . . + x 8 ) = 0. Затем сложим первое уравнение, четвёртое и седьмое. В результате получим 2x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x 8 = 1, а значит, x 1 = 1. Остальные неизвестные находятся аналогично. Рассмотрим многочлен P(t) = t 3 + t 2 z + ty + x. Попарно различные числа a, b, c являются корнями многочлена P(t). Поэтому (t − a)(t − b)(t − c), а значит, x = −abc, y = ab + bc + ca, z = −(a + b + c). 3.20. Пользуясь тем, что числа a 1 , . . . , попарно различны, построим многочлен P(t), который равен 0 при t = a 2 , . . . , и равен при t = a 1 . Для этого положим P(t) = l (t − a 2 ) . . . (t − a n ), где l (a 1 − a 2 ) . . . (a 1 − a n ) = 1, те Запишем многочлен P(t) в виде P(t) = p 0 + p 1 t + . . . + Умножим первое уравнение из рассматриваемой системы на p 0 , Глава 3. Системы уравнений второе на p 1 , . . . , последнее на p n −1 . Сложив все эти уравнения, получим, те. Аналогично доказывается, что x 2 = 0, . . . , x n = Замечание. Более общее утверждение доказано в решении задачи 10.35. 3.21. Ответ произвольное число). Докажем, что указанная бесконечная система уравнений эквивалентна системе двух уравнений+ y + z = 0, 4x + 2y + z = 0. Во-первых, если мы вычтем из первого уравнения второе уравнение, умноженное на 2 n +2 , то получим е уравнение исходной системы. Во-вторых, уже из первых двух уравнений исходной системы следуют указанные два уравнения. Действительно, вычтя из первого уравнения второе, получим x/4 + y/8 + z/16 = 0. Прибавив это уравнение ко второму уравнению, получим x + y + z = 0. 3.22. Сложим все эти неравенства. Коэффициент при окажется равным 1 − 3 + 2 = 0. Таким образом, у насесть набор неотрицательных чисел a 1 − 3a 2 + 2a 3 , . . . , сумма которых равна Значит, каждое из чисел равно 0, те. у насесть система не неравенства уравнений. Эти уравнения удобно переписать в виде a 2 ) + 2(a 3 − a 2 ) = 0, (a 2 − a 3 ) + 2(a 4 − a 3 ) = 0, (a 100 − a 1 ) + 2(a 2 − a 1 ) = Из этих уравнений последовательно получаем a 2 − a 3 = (a 1 − a 2 )/2, a 3 − a 4 = (a 2 − a 3 )/2 = (a 1 − a 2 )/2 2 , . . . , a 1 − a 2 = (a 100 − a 1 )/2 = (a 1 − − a 2 )/2 100 . Последнее равенство возможно лишь при a 1 = a 2 . Но тогда a 2 = a 3 , a 3 = a 4 , . . . , a 100 = a 1 3.23. Ответ Запишем уравнения рассматриваемой системы в виде 0. Коэффициенты обладают следующим свойством |a jj | > > P i 6=j |a ij | для каждого j. Пусть x 1 , . . . , x 7 — решение рассматривае- Решения задач 41 мой системы. Предположим, что хотя бы одно из чисел x 1 , . . . , отлично от нуля. Пусть x k — наибольшее по абсолютной величине из этих чисел. Тогда |a kk x k | > ˛ ˛ ˛ P i 6=k a ik x i ˛ ˛ ˛ , поэтому равенство 0 не может выполняться. Приходим к противоречию. Если a> 0, то запишем первое уравнение в виде x 1 = x 2 + а если a < 0, то запишем его в виде x 2 = x 1 − a. Во втором случае сделаем замену x ′ 1 = x 2 , x ′ 2 = x 1 . Таким образом, можно считать, что x 2 + a и a > 0. Аналогично можно считать, что x 3 = x 4 + b и b> Поэтому если данная система имеет положительное решение, то = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 2x 2 + 2x 4 + a + b > a + b если хотя бы одно из чисел a, b отрицательное, то мы получаем неравенство 1 > Предположим теперь, что a + b < 1, причём числа a и b неотрицательные. Тогда можно положить x 2 =x 4 =(1−a−b)/4, x 1 =x 2 +a, x 3 = x 4 + b. В результате получим положительное решение данной системы. Начинающий первым ходом записывает произвольный коэффициент при z в первом уравнении. Затем на ход второго он отвечает следующим образом. Если второй записывает какой-то коэффициент при x или при y, то первый записывает в том же самом уравнении при y или при x такой же коэффициент. Если же второй записывает какой-то коэффициент при z, то первый записывает произвольный коэффициент при z в оставшемся уравнении. Полученная система имеет решение (1, −1, 0). ГЛАВА ДЕЛИМОСТЬ. Чти нечет. Можно ли в равенстве 1 * 2 * 3 * . . .* 10 = 0 вместо звёз- дочек поставить знаки плюс и минус так, чтобы получилось верное равенство. Докажите, что количество различных делителей натурального числа n включая 1 и само число) нечётно тогда и только тогда, когда это число является полным квадратом. Пусть a 1 , . . ., a 2n+1 — целые числа, b 1 , . . ., b 2n+1 — те же самые числа, но записанные в другом порядке. Докажите, что хотя бы одно из чисел a k − b k , k = 1, 2, . . ., 2n + 1, чётно. 4.4. Пусть a, b, c — целые числа, причём a6=0. Докажите, что если квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет рациональный корень, то по крайней мере одно из чисел a, b, c чётно. 4.5. Докажите, что многочлен с целыми коэффициентами+ принимающий при x=0 и x=1 нечётные значения, не имеет целых корней. Даны два многочлена от переменной x с целыми коэффициентами. Произведение их есть многочлен от переменной сч тными коэффициентами, не все из которых делятся на 4. Докажите, что водном из многочленов все коэффициенты чётные, а в другом — хотя бы один нечётный. Условия задач. В числовом треугольнике каждое число равно сумме чисел предыдущей строки, расположенных над этим числом и над его соседями справа и слева (если таких чисел нетто они считаются равными нулю 1 1 1 1 2 3 2 1 1 3 6 7 6 3 1 1 4 10 16 19 16 10 4 Докажите, что в каждой строке, начиная с третьей, найдутся чётные числа. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики Натуральное число p > 1 называют простым, если его нельзя представить в виде произведения двух натуральных чисел, каждое из которых отлично от 1. Натуральное число n > 1 называют составным, если оно непростое. Если натуральное число составное, то n = n 1 n 2 , где n 1 < n и n 2 < n. Поэтому любое натуральное число n > 1 можно разложить на простые множители. Это утверждение составляет лёгкую часть так называемой ос- новной теоремы арифметики. Трудная часть основной теоремы арифметики — однозначность такого разложения (с точностью до перестановки множителей. Чтобы её доказать, можно воспользоваться алгоритмом Евклида, который часто бывает полезен ив других ситуациях. Пусть a и b — натуральные числа, причём a 6 b. Тогда существуют целые неотрицательные числа q и r, для которых qa + r и r < a деление с остатком. Алгоритм Евклида заключается в следующем. Пусть и a 1 — натуральные числа, причём a 0 > a 1 . Поделим нас остатком a 0 = q 1 a 1 + затем поделим нас остатком a 1 = q 2 a 2 + и т. д. В конце концов получим a k −1 = q k a k . Все числа a 0 , a 1 , . . . , имеют вид+ na 1 , где m и n — целые числа. Поэтому, в частности, делится на любой общий делитель чисел и a 1 . С другой стороны+ и т. д, поэтому числа и делятся на a k . Это означает, что a k — наибольший общий делитель чисел и a 1 . В частности, наибольший общий делитель чисел и можно представить в виде ma 0 + na 1 , где m и n — Глава 4. Делимость целые числа. Алгоритм Евклида — это алгоритм нахождения наибольшего общего делителя двух чисел. Наибольший общий делитель чисел a и b мы будем обозначать НОД(a, b). 4.8. Пусть bc делится на a и НОД(a, b) = 1. Докажите, что c делится на a. 4.9. Докажите основную теорему арифметики. Докажите, что дробь + 4 14n + 3 несократима ни при каких натуральных n. 4.11. Последовательность натуральных чисел a 1 , a 2 , . . такова, что НОД(a m , a n ) = НОД(a m −n , a n ) для любых m > Докажите, что НОД(a m , a n ) = a d , где d = НОД(m, n). 4.12. Докажите, что для любого натурального a и любых натуральных m и n НОД(a m − 1, a n − 1) = a d − 1, где НОД(m, n). 4.3. Разложение на простые множители. Пусть p/q — несократимая дробь, p и q — натуральные числа. Положим f p q = p 2 q 2 q 1 . . . q n , где q 1 , . . ., q n — различные простые делители числа q. Докажите, что f — взаимно однозначное отображение множества положительных рациональных чисел на множество всех натуральных чисел. Признаки делимости. Пусть a n a n −1 . . . a 1 a 0 — десятичная запись некоторого числа. а) Докажите, что это число делится на 3 тогда и только тогда, когда a 0 + a 1 + . . . + делится наб) Докажите, что это число делится на 9 тогда и только тогда, когда a 0 + a 1 + . . . + делится на в) Докажите, что это число делится на 11 тогда и только тогда, когда a 0 − a 1 + a 2 − a 3 + . . . + делится на 11. 4.15. В десятичной записи целого числа есть 300 единица остальные цифры — нули. Может ли это число быть полным квадратом Условия задач. Имеются семь жетонов с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, Докажите, что ни одно семизначное число, составленное посредством этих жетонов, не делится на другое. Пусть a n a n −1 . . . a 1 a 0 — десятичная запись некоторого числа. Заменим это число на a n a n −1 . . . a 1 + 2a 0 . Полученное число снова преобразуем по такому же правилу и т. д. до тех пор, пока не получится число, не превосходящее Докажите, что исходное число делится на 19 тогда и только тогда, когда в итоге получается 19. 4.18. Пусть a n a n −1 . . . a 1 a 0 — десятичная запись некоторого числа. Заменим это число на a n a n −1 . . . a 1 − 2a 0 . Докажите, что исходное число делится на 7 тогда и только тогда, когда полученное число делится на 7. 4.5. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. а) Докажите, что НОД(a, b) = ab НОК(a, б) Докажите, что НОД(a, b, c) = abc НОК(a, b, c) НОК(a, b) НОК(b, c) НОК(c, Общая формула приведена в задаче в) Докажите, что НОК(a, b, c) = abc НОД(a, b, c) НОД(a, b) НОД(b, c) НОД(c, a) 4.20. Докажите, что НОД(a, НОД(b, c)) = НОД(НОД(a, b), c) = НОД(a, b, c). 4.21. Докажите, что НОК(a, a + b) НОК(a, b) = a + b b 4.22. Натуральные числа a и b взаимно просты. Докажите, что НОД(a + b, a 2 + b 2 ) = 1 или 2. Глава 4. Делимость. Докажите, что наибольший общий делитель суммы двух чисел и их наименьшего общего кратного равен наибольшему общему делителю самих чисел. Докажите, что наименьшее общее кратное n натуральных чисел a 1 < a 2 < . . . < не меньше na 1 4.25. Функция f(a, b), определённая для всех натуральных и b, обладает следующими свойствами (1) f(a, a) = a; (2) f(a, b) = f(b, a); (3) (a + b)f(a, b) = bf(a, a + b). Докажите, что f(a, b) = НОК(a, b). 4.26. Дано несколько натуральных чисел, каждое из которых меньше натурального числа N > 4. Наименьшее общее кратное любых двух из них больше N. Докажите, что сумма обратных величин этих чисел меньше 2. 4.6. Делимость нацело. Докажите, что 7 2n − 5 делится на 24. 4.28. Докажите, что 5 + n 3 3 + 7n 15 — целое число для любого натурального n. 4.29. При каких целых n число 20 n + 16 n − 3 n − 1 делится на 323? 4.30. Докажите, что если при любом натуральном k 6= число a − делится на b − k, то a = b n . (Здесь a, b, n — фиксированные натуральные числа. Докажите, что если 2 n − 2 делится на n, то 2 2 n −1 − делится на 2 n − 1. 4.32. Пусть a, b, m и n — натуральные числа, причём взаимно просто си. Докажите, что a m + делится на+ тогда и только тогда, когда m = kn, где k — нечётное число * * 4.33. а) Докажите, что число 1/2+1/3+. . .+1/n не может быть целым Условия задач 47 б) Докажите, что число+ 1 + . . . + 1 k + n , где и n — натуральные числа, не может быть целым. Докажите, что следующие числа являются целыми: а) (m + n)! m! б (2n)! m! n! (m + в (5n)! m! n! (3m + n)! (3n + г+ 3n)! (3n)! (2m)! (2n)! (2m + 3n)! (m + 2n)! m! (n!) 2 (m + n)! |