Учебное пособие Москва Издательство мцнмо 2007 удк 512. 1517. 1511. 1 Ббк 22. 14122. 161 П70 Прасолов В. В
 Скачать 3.28 Mb.
|
|
3.4. x + y + z = a, x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , x 3 + y 3 + z 3 = a 3 3.5. 1 − x 1 x 2 = 0, 1 − x 2 x 3 = 0, 1 − x 3 x 4 = 0, 1 − x n −1 x n = 0, 1 − x n x 1 = 0. 3.6. ( x 3 − y 3 = 26, x 2 y − xy 2 = 6. 3.7. 3xyz − x 3 − y 3 − z 3 = b 3 , x + y + z = 2b, x 2 + y 2 − z 2 = b 2 3.8. x 2 + y 2 − 2z 2 = 2a 2 , x + y + 2z = 4(a 2 + 1), z 2 − xy = a 2 3.2. Нахождение вещественных решений В задачах 3.9––3.14 требуется найти все вещественные решения указанных систем уравнений Глава 3. Системы уравнений+ y + xy = 2 + 3 √ 2, x 2 + y 2 = 6. 3.10. ( x 3 + y 3 = 1, x 4 + y 4 = 1. 3.11. ( x + y = 2, xy − z 2 = 1. 3.12. x + 3x − y x 2 + y 2 = 3, y − x + 3y x 2 + y 2 = 0. 3.13. (x 3 + x 4 + x 5 ) 5 = 3x 1 , (x 4 + x 5 + x 1 ) 5 = 3x 2 , (x 5 + x 1 + x 2 ) 5 = 3x 3 , (x 1 + x 2 + x 3 ) 5 = 3x 4 , (x 2 + x 3 + x 4 ) 5 = 3x 5 3.14. 2x 2 1 1 + x 2 1 = x 2 , 2x 2 2 1 + x 2 2 = x 3 , 2x 2 3 1 + x 2 3 = x 1 3.3. Положительные решения. Найдите все положительные решения (x 1 > 0, x 2 > 0, x 3 > 0, x 4 > 0, x 5 > 0) системы уравнений+ x 2 = x 2 3 , x 2 + x 3 = x 2 4 , x 3 + x 4 = x 2 5 , x 4 + x 5 = x 2 1 , x 5 + x 1 = x 2 2 3.4. Количество решений системы уравнений. Система уравнений второго порядка y 2 = 0, (x − a) 2 + y 2 = 1 Условия задач 33 имеет, вообще говоря, четыре решения. При каких значениях число решений системы уменьшается до трёх или до двух. Линейные системы уравнений. Решите систему+ 2x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 2x 5 = 1, x 1 + 3x 2 + 4x 3 + 4x 4 + 4x 5 = 2, x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 6x 4 + 6x 5 = 3, x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 7x 4 + 8x 5 = 4, x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 7x 4 + 9x 5 = 5. 3.18. Решите систему уравнений+ x 2 + x 3 = 6, x 2 + x 3 + x 4 = 9, x 3 + x 4 + x 5 = 3, x 4 + x 5 + x 6 = −3, x 5 + x 6 + x 7 = −9, x 6 + x 7 + x 8 = −6, x 7 + x 8 + x 1 = −2, x 8 + x 1 + x 2 = 2. 3.19. Пусть a, b, c — попарно различные числа. Решите систему уравнений+ ay + a 2 z + a 3 = 0, x + by + b 2 z + b 3 = 0, x + cy + c 2 z + c 3 = 0. Глава 3. Системы уравнений. Пусть a 1 , . . ., a n — попарно различные числа. Докажите, что система линейных уравнений+ . . . + x n = 0, a 1 x 1 + . . . + a n x n = 0, 7a 2 1 x 1 + . . . + a 2 n x n = 0, a n −1 1 x 1 + . . . + a n −1 n x n = имеет только нулевое решение. Найдите все решения системы уравнений − 1 2 n + y 1 − 1 2 n +1 + z 1 − 1 2 n +2 = где n = 1, 2, 3, 4, . . . 3.22. Дано 100 чисел a 1 , a 2 , a 3 , . . ., a 100 , удовлетворяющих следующим условиям 3a 2 + 2a 3 > 0, a 2 − 3a 3 + 2a 4 > 0, a 3 − 3a 4 + 2a 5 > 0, a 99 − 3a 100 + 2a 1 > 0, a 100 − 3a 1 + Докажите, что все числа равны между собой. Решите систему+ 3x 2 + 4x 3 + x 4 + x 5 = 0, 11x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 3x 5 + x 6 = 0, 15x 3 + 4x 4 + 5x 5 + 4x 6 + x 7 = 0, 2x 1 + x 2 − 3x 3 + 12x 4 − 3x 5 + x 6 + x 7 = 0, 6x 1 − 5x 2 + 3x 3 − x 4 + 17x 5 + x 6 = 0, 3x 1 + 2x 2 − 3x 3 + 4x 4 + x 5 − 16x 6 + 2x 7 = 0, 4x 1 − 8x 2 + x 3 + x 4 − 3x 5 + 19x 7 = 0. Решения задач. Докажите, что система уравнений x 2 = a, x 3 − x 4 = b, x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = имеет хотя бы одно положительное решение (x 1 > 0, x 2 > 0, x 3 > 0, x 4 > 0) тогда и только тогда, когда |a| + |b| < 1. 3.25. Имеется система уравнений+ *y + *z = 0, *x + *y + *z = 0, *x + *y + *z = Два человека поочерёдно вписывают вместо звёздочек числа. Докажите, что начинающий всегда может добиться того, чтобы система имела ненулевое решение. Решения 3.1. Данная система линейна относительно неизвестных x 1 = yz, y 1 = xz, z 1 = xy. Чтобы найти x 1 , нужно сложить два последних уравнения и вычесть из них первое уравнение. В результате получим. После этого находим y 1 = 15 и z 1 = Итак, yz = 12, xz = 15, xy = 20. Поэтому x 2 = (xy)(xz) yz = 20 · 15 12 = = 25, те. Кроме того, y = 20/x = ±4 и z = 15/x = ±3. В итоге получаем два решения (5, 4, 3) и (−5, −4, −3). 3.2. Данную систему можно переписать в виде x 1 y 1 = 20, y 1 z 1 = = 12, x 1 z 1 = 15, где x 1 = x + 1, y 1 = y + 1, z 1 = z + 1. Поэтому, y 1 , z 1 ) = (5, 4, 3) или (−5, −4, −3), те, или (−6, −5, −4). 3.3. Вычтя из первого уравнения второе, получим 2(y − x) = = y 2 − x 2 = (y − x)(y + x). Значит, либо y = x, либо y + x = Если y = x, тот. е. x = −1 ± √ 5. Если y + x = 2, тот. е. x 2 = 2x. В результате получаем четыре решения. Ответ) и (a, 0, Тождество (x + y + z) 2 − (x 2 + y 2 + z 2 ) = 2(xy + yz + xz) показывает, что+ yz + xz = 0. (1) Глава 3. Системы уравнений Тождество (x + y + z) 3 − (x 3 + y 3 + z 3 ) = 3(x + y)(y + z)(z + x) показывает, что (x + y)(y + z)(z + x) = 0. Учитывая равенство (получаем xyz = (xy + yz + xz)(x + y + z) − (x + y((y + z)(z + x) = Если x = 0, то равенство) показывает, что yz = 0. Поэтому либо 0 и z = a, либо z = 0 и y = a. Аналогично разбираются остальные варианты. В итоге получаем следующие решения (0, 0, a), (0, a, 0) и (a, 0, 0). 3.5. Ответ при нечётном n, x 1 = x 3 = . . . . . . = x n −1 = a и x 2 = x 4 = . . . = x n = 1/a (a 6= 0) прич тном Пусть n нечётно. Ясно, что x 2 6= 0, поэтому из первого и второго уравнений получаем x 1 = x 3 . Из второго и третьего уравнений получаем x 2 = и т. д. Кроме того, из первого и последнего уравнений получаем x n = x 2 . В итоге получаем x 1 = x 3 = . . . = x n = x 2 = = x 4 = . . . = x n −1 . Поэтому из первого уравнения получаем x 2 1 = те. Очевидно, что оба указанных в ответе набора значений неизвестных действительно являются решениями системы. При чётном n точно также получаем x 1 = x 3 = . . . = x n −1 , x 2 = = x 4 = . . . = и x 2 = x n . Очевидно, что такие наборы чисел являются решениями данной системы уравнений. Пусть y = kx. Сразу отметим, что k 6= 1. Из уравнений k 3 x 3 = 26, kx 3 y − k 2 x 3 = получаем x 3 = 26 1 − и x 3 = 6 k − k 2 . Следовательно 1 − k 3 = 6 k − Это уравнение можно умножить на 1 − k. В результате получим 1 + k + откуда k = 3 или 1/3. Поэтому x 3 = −1 или x 3 = 27. В итоге получаем следующие решения (−1, −3), “ 1 ± i √ 3 2 , 3 2 (1 ± i √ 3) ” , (3, 1), “ −3 ± 3i √ 3 2 , 1 2 ( −1 ± i √ 3) ” 3.7. Рассмотрим сначала случай, когда b = 0. В этом случае последние два уравнения запишутся в виде z = −x− y и z 2 = x 2 + Возведя первое из них в квадрат, получим xy = 0. Значит, x = 0, z = −y или y = 0, z = −x. Первое уравнение исходной системы при этом выполняется Решения задач 37 Рассмотрим теперь случай, когда b 6= 0. Воспользуемся тождеством Из первого и второго уравнений следует, что xy + yz + xz − x 2 − y 2 − − z 2 = b 2 2 . Возведя в квадрат уравнение x + y + z = 2b, получим+ y 2 + z 2 + 2xy + 2yz + 2xz = 4b 2 . Следовательно, x 2 + y 2 + z 2 = и xy + yz + xz = 3 2 b 2 . Сравнивая первое из этих уравнений с последним уравнением исходной системы, получаем z = 0. Таким образом, x 2 + y 2 = и xy = 3 2 b 2 . Решая эту систему уравнений, находим x = „ 1 ± r −1 2 « b, y = „ 1 ∓ r −1 2 « b. 3.8. Запишем эти уравнения следующим образом+ y 2 = 2z 2 + 2a 2 , x + y = 4(a 2 + 1) − 2z, −xy = a 2 − Второе уравнение возведём в квадрат, прибавим к нему третье уравнение, умноженное на 2, и вычтем первое уравнение. В результате получим = 16(a 2 + 1) 2 − 16(a 2 + те. Теперь второе и третье уравнения записываются так+ y = 2(a 2 + 1), xy = a 4 + a 2 + Решение этой системы сводится к решению квадратного уравнения решая его, находим a 2 ± a + 1, y = a 2 ∓ a + 1. 3.9. Пусть u = x + y и v = xy. Тогда u + v = 2 + 3 √ 2 и u 2 − 2v = поэтому u 2 + 2u = 6 + 2(2 + 3 √ 2) = 10 + 6 √ 2. Значит, u = −1 ± ± p 11 + 6 √ 2 = −1±(3+ √ 2), те или −4− √ 2. При этом 2 + 3 √ 2 − u = 2 √ 2 или 6 + 4 √ 2. Если u = −4 − √ 2 и v = 6 + то (x − y) 2 = (x + y) 2 − 4xy = (4 + √ 2) 2 − 4(6 + 4 √ 2) < 0. Поэтому+ y = 2 + √ 2 и xy = 2 √ 2. Эта система уравнений имеет два решения) или ( √ 2, 2). Оба они являются решениями исходной системы уравнений Глава 3. Системы уравнений. Из второго уравнения следует, что если x = 0 или ±1, то ±1 или 0. Ясно также, что x 6= −1 и y 6= −1. Поэтому решений такого вида ровно два x = 0, y = 1 и x = 1, y = 0. Покажем, что других решений нет. Нас интересует случай, когда 0 < |x|, |y| < 1. В таком случае+ |y| 3 < x 4 + y 4 = 1. Поэтому если числа x и y оба положительны, то решений нет. Если оба эти числа отрицательны, то решений тоже нет. Пусть теперь, например, x > 0 и y < 0. Тогда x 3 + В этом случае решений тоже нет. Из второго уравнения следует, что xy > 1. Числа x и не могут быть оба отрицательны, поскольку их сумма равна Значит, числа x и y положительны и x + y > 2√xy > 2, причём равенство x + y = 2 возможно лишь в том случае, когда x = y = В таком случае z = 0. 3.12. Умножим первое уравнение на y, второе на x и сложим полученные уравнения. В результате получим 2xy − 1 = В частности, y 6= 0, поэтому x = 3 2 + 1 2y . Подставив это выражение во второе уравнение, после несложных преобразований получим 3y 2 − 1 = 0. Учитывая, что y 2 > 0, получаем y 2 = 1, те и y 2 = −1. Этим значениям y соответствуют x 1 = 2 и x 2 = 1. 3.13. После циклической перенумерации неизвестных можно считать, что x 1 > x i (i = 2, 3, 4, 5). Функция f(x) = монотонно возрастающая, поэтому 3x 2 = (x 4 + x 5 + x 1 ) 5 > (x 3 + x 4 + x 5 ) 5 = Значит, x 1 = и x 3 = x 1 . Кроме того, 3x 4 = (x 1 + x 2 + x 3 ) 5 > > (x 5 + x 1 + x 2 ) 5 = 3x 3 . Значит, x 4 = и x 5 = Мы получили, что x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x. Это число x должно удовлетворять уравнению (3x) 5 = 3x. Получаем три решения x = или ±1/3. 3.14. У рассматриваемой системы есть решение x 1 = x 2 = x 3 = Ясно также, что если одно из чисел x 1 , x 2 , равно нулю, то равны нулю и остальные два числа. Поэтому будем предполагать, что 6= 0. Тогда уравнения можно записать в виде 1 + 1 x 2 1 = 2 x 2 , 1 + 1 x 2 2 = 2 x 3 , 1 + 1 x 2 3 = 2 x 1 . Сложив эти уравнения, получаем − 1 x 1 ” 2 + “ 1 − 1 x 2 ” 2 + “ 1 − 1 x 3 ” 2 = Значит, x 1 = x 2 = x 3 = 1. |