Электротермические процессы и установки. Учебное пособие по теоретическому курсу. Учебное пособие по теоретическому курсу Под ред. В. Н. Тимофеева, Е. А. Головенко, Е. В
 Скачать 7.73 Mb.
|
|
можно получить следующие выражения для мощности внутренних источников тепла в дифференциальной форме 2 v q EJ E = = γ ; 2 v q EJ J = = ρ . 3.1.3 Поверхностный эффект в проводниках 3.1.3.1 Поверхностный эффект в цилиндрическом проводнике Поверхностный эффект – это неравномерное распределение плотности переменного электрического тока по сечению проводника или магнитного потока по сечению магнитопровода. Плотность тока в проводнике или магнитный поток в магнитопроводе уменьшаются в направлении от их поверхности к центральной части. При протекании через проводник постоянного тока плотность тока постоянна по сечению и определяется по формуле S I J = , где Ι - ток, протекающий в проводнике, А; S - поперечное сечение проводника , м 2 161 Иная картина наблюдается при протекании переменного тока. Для наглядности построим ее графическое изображение нарис. 3.6. а) б) Рис. 2.6. Явление поверхностного эффекта в цилиндрическом проводнике Пусть по бесконечному металлическому цилиндрическому проводнику протекает переменный ток I. Тогда направление линий магнитного поля (магнитной индукции), созданного током I, может быть определено по правилу правого винта. Обозначим такую внешнюю магнитную индукцию этого поля через в В Переменное магнитное поле в В индуцирует в проводнике вихревой ток i . Вихревой ток i создает собственное магнитное поле, характеризуемое вектором магнитной индукции c В . Согласно правилу Ленца, магнитное поле c В должно противодействовать процессу, создавшему его. То есть направление вектора магнитной индукции c В , формируемой током i, должно быть противоположно вектору магнитной индукции в В , созданной током I. Направление контура вихревого тока i, охватывающего линии магнитной индукции c В , также подчиняется закону правого винта. Поэтому, согласно изложенной физической картине, наводимые в проводнике вихревые токи i усиливают суммарную величину тока у поверхности проводника и ослабляют его в центральной части проводника, что создает неравномерное распределение плотности тока, качественное изменение которого приведено 162 нарис. 1.6. 3.1.3.2 Глубина проникновения электромагнитной волны При ярко выраженном поверхностном эффекте уменьшение плотности тока вглубь проводника происходит по экспоненциальному закону вида y e J J e − δ = , (3.1) где J - плотность тока на расстоянии y от поверхности проводника, А/м 2 ; е J - плотность тока на поверхности проводника, А/м 2 ; δ - некоторая величина, имеющая размерность длины, характеризующая степень затухания электромагнитного поля в проводнике и называемая глубиной проникновения электромагнитной волны, м. Из теории электромагнитного поля известно следующее выражение для расчета глубины проникновения электромагнитной волны в однородной проводящей среде ωμγ = δ 2 , м, (3.2) где 2 f ω = π - круговая частота электромагнитного поля, рад/с; 1 γ = ρ - удельная электропроводимость материала проводника, 1/(Ом ⋅м); ρ - удельное электросопротивление материала проводника, Ом/м. Подставим в формулу (3.2) величины 7 0 0 1 ; 2 , , 4 10 r f − γ = ω = π μ = μ μ μ = π ρ , Гн/м, где μ r – относительная магнитная проницаемость. После преобразований получим выражение для определения глубины проникновения в более удобной форме 503 r f ρ δ = μ , м. Из формулы, характеризующей распределение плотности тока, следует, что под глубиной проникновения будем понимать такое расстояние по 163 нормали от поверхности проводника, на котором плотность тока в плоском проводнике уменьшается в е = 2,718 раз по сравнению с плотностью тока на поверхности. Определим, какая часть мощности выделяется в слое, равном глубине проникновения. С этой целью рассмотрим полубесконечное металлическое тело, на поверхность которого падает электромагнитная волна. Направим внутрь проводника координату y, а координаты x, z - по его внешней поверхности (см.рис. 3.7). Рис. 3.7. К определению мощности в слое δ Выделим на расстоянии y от поверхности тела xoz элементарную площадку, нормальную к вектору плотности тока J , высотой а, шириной dy. Полагаем, что модуль плотности тока J в пределах dy постоянен и определяется по формуле (3.1). Мощность в элементарном параллелепипеде, ограниченном высотой а, шириной dy и длиной l, равна ( ) 2 dP dI dr = , где n dI JdS Jady = = - действующее значение тока, протекающего по элементарному проводнику (параллелепипеду), А; n dS - площадь поперечного сечения элементарного проводника, м 2 ; dr - электрическое активное сопротивление элементарного проводника (параллелепипеда); l dr ady = ρ , Ом. Тогда активная мощность в элементарном параллелепипеде может быть рассчитана по выражению 164 ( ) ( ) 2 2 2 y e dP J a ldy J e a ldy − δ = ρ = ρ (3.3) Полная активная мощность, выделяемая в нагреваемом теле, может быть получена из выражения (3.3) посредством его интегрирования от 0 до ∞ по координате y 2 2 2 0 2 y a e e a l P J e a ldy J ∞ − δ ρ δ = ρ = ∫ (3.3а) Для того, чтобы вычислить мощность, выделяемую в слое толщиной, равной глубине проникновения электромагнитной волны δ , необходимо в выражении (3.3а) верхний предел интегрирования ограничить значением, равным глубине проникновения δ . Тогда мощность, выделяемая в таком слое, будет определяться по формуле ( ) 2 2 2 2 2 0 1 0,865 2 2 y a e e e a l a l P J e a ldy J e J δ − − δ δ ρ δ ρ δ = ρ = − = ∫ Отношение мощности, выделяемой в слое, толщиной, равной глубине проникновения электромагнитной волны, к полной активной мощности, выделяемой в проводящем полубесконечном теле, будет равно 865 , 0 = a a P P δ , т.е. в слое толщиной, равной глубине проникновения электромагнитной волны, выделяется 86,5 % активной мощности, получаемой полубесконечным проводящим телом. Такое отношение получается при экспоненциальном распределении плотности тока J по толщине тела. 3.1.3.3 Активный слой При экспоненциальном распределении плотности тока по толщине нагреваемого тела возникает ряд затруднений при исследовании его теплового состояния. В инженерной практике индукционного и электроконтактного нагрева часто приходится принимать оперативные 165 решения по расчету теплового состояния нагреваемого тела, для которого требуются достаточно простые аналитические зависимости температуры тела от времени его нагрева и мощности, выделяемой в нем. Такие выражения получаются в результате решения дифференциального уравнения теплопроводности с внутренними источниками, которое при экспоненциальном распределении мощности внутренних источников по толщине нагреваемого тела имеет сложное аналитическое решение, требующее применение методов численного моделирования. Это с одной стороны. С другой - инженерный расчет таких электрических интегральных параметров, как активное r , реактивное x и полное сопротивление z нагреваемого изделия, также сложен при условии экспоненциальной зависимости напряженности магнитного и электрического полей по толщине нагреваемого тела, особенно для случая падения электромагнитной волны на 2-хслойное тело (которое соответствует режиму нагрева ферромагнитного тела выше температуры магнитных превращений). В связи с изложенным, для практических расчетов реальное распределение плотности тока в нагреваемом теле заменяется некоторым более простым распределением, которое позволило бы получить достаточно простое аналитическое решение теплового состояния тела (температурное поле по его сечению в любой момент времени), а также рассчитать интегральные электрические сопротивления нагреваемого изделия: активное r , реактивное x и полное z При такой искусственной замене считают, что плотность ' J тока, протекающего в активном слое конечной толщины δ ′ , распределяется равномерно, а в остальной части сечения изделия ток принимается равным нулю (см. рис. 3.8). Толщина слоя δ ′ и действующее значение плотности тока ' J , определяются при соблюдении условия равенства активной мощности, выделяемой в проводнике при экспоненциальном распределении плотности тока, и активной мощности, выделяемой в эквивалентном активном слое. Оценим мощность, выделяемую в активном слое, и установим, каково может быть соотношение между толщиной активного слоя δ′ и глубиной проникновения электромагнитной волны δ, плотностью тока в эквивалентном активном слое J ′ и плотностью тока на поверхности e J при Рис. 3.8. Активный слой 166 экспоненциальном ее распределении по сечению проводника. Мощность в слое длиной l , высотой a , шириной δ′ при равномерном распределении плотности тока δ′ равна ( ) 2 a P I r ′ ′ δ δ δ = , где ' ' , a I P δ δ - значения тока, протекающего в эквивалентном поверхностном слое и активное сопротивление этого токонесущего слоя. За пределами токонесущего слоя ( y > δ′) ток равен I = 0. Тогда мощность, выделяемая в активном слое, равна ( ) ( ) δ′ ρ ′ = δ′ ρ δ′ ′ = δ′ l a J a l a J P a 2 2 По определению активного слоя активная мощность a P ′ δ , выделяемая в активном слое, должна быть равна активной мощности P a , выделяемой в нагреваемом теле при экспоненциальном распределении плотности тока по его сечению, т.е. a P ′ δ = P a , или ( ) 2 ' ' 2 2 e a l J a l J ρ δ ρ δ = или ( ) δ′ ′ = δ 2 2 2 J J e В этом равенстве существует два неизвестных параметра J' и ' δ . Так как толщина активного слоя ' δ вводится нами искусственно для упрощения инженерных расчетов, поэтому мы вправе выбрать такое ее значение, чтобы оно равнялось глубине проникновения электромагнитной волны δ. Тогда плотность тока на поверхности изделия при экспоненциальном ее распределении и плотность тока эквивалентного активного слоя будут связаны выражением J J e ′ = 2 . Еще раз обращаем внимание: понятие толщины активного слоя ' δ и плотности тока в активном слое J' вводится в результате искусственной инженерной операции. 3.1.3.4 Эффект близости Эффект близости представляет собой разновидность поверхностного эффекта и заключается в перераспределении плотности тока в определенных 167 зонах проводника в результате суммарного взаимодействия электромагнитных полей, создаваемых всеми проводниками с током, входящими в рассматриваемую систему. В отдельно взятом проводнике переменный ток распределяется неравномерно по сечению (по толщине, ширине или радиусу) и равномерно по поверхности (периметру), рис. 3.9 а. При прохождении переменного тока по двум проводникам, находящимся на близком расстоянии друг от друга, происходит перераспределение плотности тока в каждом из них. Если токи в проводниках протекают в противоположных направлениях (когда разность фаз токов равна 180°), то наибольшая плотность тока будет сосредоточена на сторонах, обращенных друг к другу (рис. 3.9 б). Если токи в проводниках имеют одинаковое направление (разность фаз токов равна 0°), то наибольшая плотность тока будет на удаленных сторонах проводников (рис. 3.9 в). б) в) Рис. 3.9, б, в. Эффект близости Рис. 3.9, а. Поверхностный эффект в одиночном проводнике 168 Для объяснения данного явления воспользуемся методическим подходом, применяемым для пояснений к поверхностному эффекту. Перераспределение плотности тока в одном из проводников вызвано влиянием магнитного поля, созданного током другого проводника. Рассмотрим случай встречно направленных токов (рис. 3.9 б). Магнитное поле, созданное током, протекающем в правом проводнике, пронизывает левый проводник в направлении, характеризуемом вектором индукции магнитного поля в В . Данное магнитное поле, являясь внешним для левого проводника, в силу закона электромагнитной индукции наводит в нем электродвижущую силу (ЭДС), под действием которой в проводнике формируется индуцированный вихревой ток i, направление которого определяется правилом Ленца. По правилу Ленца наведенный вихревой ток имеет такое направление, при котором его собственное магнитное поле c В всегда противодействует внешнему магнитному полю в В , вызвавшему его. Таким образом, в левом проводнике наводится вихревой ток i, замыкающийся вокруг линий внешнего магнитного поля, усиливая ток I у поверхности, обращенной ко второму проводнику, и уменьшая его у поверхности, удаленной от него. Рис. 3.9, г. Эффект близости Рассуждая аналогично, можно показать, что во втором (правом) проводнике направление вихревого тока i будет совпадать с направлением (или фазой) тока I у поверхности, обращенной к левому проводнику, и будет встречно у поверхности, удаленной от левого проводника. Аналогичным образом можно объяснить перераспределение плотности тока, получаемое при одинаковом направлении токов в проводниках (рис. 3.9 в). 169 При рассмотрении токонесущего проводника у поверхности электропроводного тела, по которому первоначально ток не протекает (случай индукционной поверхностной закалки стальных изделий), проводящее тело пронизывается внешним магнитным молем, созданным током I1 и характеризуемым вектором магнитной индукции в В . Переменное внешнее магнитное поле создает в электропроводящем теле ЭДС, появление которой наводит вихревой ток i2, направление которого определяется правилом Ленца. По правилу Ленца собственное магнитное поле c В вихревого тока должно противодействовать внешнему магнитному полю в В . Тогда, по правилу правого буравчика (правого винта) направление вихревого тока i2, наведенного в проводящем теле, должно быть противоположным направлению тока I1 в токоведущем проводнике. Таким образом, фаза тока, протекающего в токоведущем проводнике (например, плоском индукторе), и фаза вихревого тока, индуцированного в проводящем теле (например, нагреваемом изделии), отличаются на 180°. Как в токоведущем проводнике – индукторе, так и нагреваемом теле получается неравномерное распределение плотности тока, соответствующее эффекту близости по варианту направления токов в двух параллельных проводниках (рис. 1.9 в), когда максимум плотности тока находится на поверхностях индуктора и нагреваемого тела, обращенных друг к другу. Эффект близости проявляется тем сильнее, чем ближе проводники будут находиться друг к другу (т.е., чем больше отношение b/a нарис. 1.9.б) и чем сильнее проявляется поверхностный эффект (т.е., чем больше отношение толщины проводника к глубине проникновения). 3.1.3.5 Эффект кольцевой Если прямолинейный проводник свернуть в кольцо, или спираль, и пропустить через него переменный ток, то наибольшая плотность тока будет на внутренней поверхности кольца или спирали (см. рис. 3.10 а, б). Это явление называется кольцевым, или катушечным, эффектом, являющимся также разновидностью поверхностного эффекта. Наличие такого неравномерного распределения можно объяснить асимметрией магнитного поля кольцевого витка или соленоида, относительно тела проводника, их образующего. Во внутренней полости кольца магнитное поле намного сильнее, чем снаружи, поэтому основная часть электромагнитной энергии поступает в проводник через его поверхность, обращенную внутрь кольца (или соленоида). 170 Рис. 3.10, а. Эффект кольцевой Рис. 3.10, б. Эффект кольцевой Явление кольцевого эффекта можно объяснить, также, иначе. Ток концентрируется у внутренней поверхности кольца, проходя по сечению проводника, обладающему наименьшим реактивным (и активным) сопротивлением. Кольцевой эффект тем сильнее, чем больше по отношению к радиусу кольца R 0 радиальная толщина проводника b (т.е., чем больше отношение b/ R 0 – для проводника прямоугольного сечения, и чем больше отношение R 1 / R 0 - для проводника круглого сечения). 3.1.3.6 Эффект паза На распределение плотности тока в проводнике оказывает существенное влияние магнитопровод. Если проводник разместить в 171 открытом пазу магнитопровода (рис. 3.11), то можно наблюдать явление одностороннего поверхностного эффекта – эффекта паза. Наибольшая плотность тока будет получаться в той части проводника, которая находится у открытой стороны паза. В присутствии магнитопровода область проводника, которая находится в глубине паза, охватывается полным магнитным потоком, созданным током, протекающим в проводнике. Поэтому в этой части индуцируется наибольшая величина противоэлектродвижущей силы самоиндукции и создается наибольшее реактивное сопротивление. Вследствие этого ток проходит в части проводника, обладающей наименьшим реактивным сопротивлением, т.е. в зоне открытой стороны паза. Рис. 3.11. Эффект паза |