нет. Учебное пособие в оронеж 2011 фгбоу впо Воронежский государственный технический университет
![]()
|
2.2. Эквивалентности в автоматах2.2.1. Основные определенияПусть на вход конечного автомата подается последовательность символов из входного алфавита . Эту последовательность обозначают , и называют строкой или вектором. На выходе конечного автомата печатается выходная строка , состоящая из символов алфавита . Строка внутренних состояний . Для некоторого автомата по любой входной строки длины , и по любому начальному состоянию однозначно определяется строка длины внутренних состояний. , которая получается применением отображения , т.е. Аналогично, выходная строка определяется последовательным применением отображения , т.е. Поэтому рассматривая конечный автомат, как устройство, перерабатывающее пары и в строки и , Можно определить функции Эти функции рекурсивно строятся по известным φ и ψ, задающихся в описании автомата M. Здесь Ar – множество всех строк длины r из алфавита A, а Br и Sr – множества всех строк длины r из алфавитов B и S соответственно Пример. Рассмотрим автомат с двумя устойчивыми состояниями, изображенный на рисунке Рис. 6 Здесь заданы: входная строка и начальное состояние . Отсюда получим: . В реальных устройствах увеличение числа внутренних состояний автомата приводит к росту числа электронных схем и следовательно, к уменьшению надёжности, к усложнению ремонта и т.д. Поэтому число необходимых состояний автомата стремятся уменьшить, не ограничивая его возможностей. В связи с этим важна следующая задача. Пусть фиксированы входной и выходной алфавиты. Можно ли заменить автомат автоматом с меньшим числом состояний , но с той же функцией, переводящей входы в выходы. Определение. Автомат покрывает автомат , если входной и выходной алфавиты у этих автоматов общие и существует функция , такая что для любого положительного числа r Указанный факт записывается в виде . Автомат, который нельзя покрыть меньшим автоматом называется минимальным. Можно проверить, что отношение покрытия является рефлексивным и транзитивным. Автоматы и называются эквивалентными, если покрывает и одновременно с этим покрывает . В этом случае пишут . Эквивалентность автоматов означает, что существуют функции f и g такие, что со свойством со свойством . Следствие Отношение эквивалентности автоматов симметрично, транзитивно, рефлексивно. 2.2.2. Покрытия и морфизмыОтношения покрытия и эквивалентности тесно связаны с понятием морфизма. Пусть имеются автоматы и с общими входными и выходными алфавитами. Морфизмом называют отображение , такое, что и Если θ сюрьективно, то морфизм называется эпиморфизмом. Если θ биективно, то морфизм называется изоморфизмом (автоматом). Пусть отображение θ – эпиморфизм автомата на . Тогда для любой входной строки и начального состояния выходная строка автомата совпадает с выходной строкой , если начальное состояние удовлетворяет условию . Таким образом, любой эпиморфизм автоматов определяет покрытие автомата автоматом . Определение. Автоматы и , имеющие общие алфавиты и изоморфны, если: 1) у них одинаковое число внутренних состояний и 2)существует биекция такая, что любая входная строка перерабатывается в одну и ту же выходную строку автоматами и с начальными состояниями и . соответственно. Например, автоматы, представленные на рисунке изоморфны, так как имеет место биекция и . Рис. 7 2.2.3. Эквивалентные состояния автоматовПусть дан автомат . Требуется построить новый автомат , который: 1) покрывает (возможно, даже, эквивалентен ему); 2) имеет наименьшее число состояний среди всех автоматов, покрывающих . Считается, что функции φ и ψ всюду определены. Далее следует определить эквивалентные друг другу состояния автомата . Затем следует склеить все эквивалентные состояния в одно. Определение. Состояния автоматов и называются r-эквивалентными, если для любой входной строки длины r ( ) имеет место . В этом случае используется запись . Если это не так, то используется запись . Если для любого r, то говорят, что состояния и эквивалентны и записывают . Отношения Er и E представляют собой отношения эквивалентности. Классы эквивалентности отношения E1 являются множествами всех пар состояний, перерабатывающих каждый входной символ в фиксированный выходной символ. То есть запись означает, что . В этом равенстве легко убедиться по таблице состояний. Например, для автомата, заданного таблицей состояний: Таблица 7
В данном случае имеем . Таким образом, отношение эквивалентности состоит из следующих элементов: Дополнение отношения обозначается как . Тогда запись означает, что . Таким образом: Задача минимизации сводится к определению попарно эквивалентных состояний и последующему их склеиванию. При этом, оказывается эффективнее всего выявить в начале неэквивалентные состояния. Вводятся функции φ* и ψ* Определение: Функция , задаваемая выражением указывает на то, что –есть конечное состояние, в которое переходит автомат, начав работу из состояния s0 и считав строку длины r. Определение: Функция , задаваемая выражением указывает на то, что - есть последний символ выходной строки, которую печатает автомат, начав работу из состояния s0 и считав строку длины r. Например, для первого автомата, изображенного на рисунке ( ) при имеем: . |