нет. Учебное пособие в оронеж 2011 фгбоу впо Воронежский государственный технический университет
Скачать 0.65 Mb.
|
1.8. Матрицы Адамара1.8.1. Определение матрицы Адамара и ее свойстваМатрица H=(hij), i,j=1,2,_,n, hij= 1 называется матрицей Адамара, если она удовлетворяет равенству HHT= nIn (1) где In – единичная матрица n n и – транспонированная матрица H. Матричное равенство (1) может быть записано в виде: = (2) Следовательно, если H1,H2,..,Hn – строки матрицы H, то эти строки, как векторы, удовлетворяют условию ортогональности ( ) = (3) где ( ) - скалярное произведение векторов и . Из матричного равенства (1) следует , что det(HHT) = (detH)2 = det(nIn) = nn и, следовательно, |detH| = nn/2. А это означает что detH 0 и, следовательно, матрица H – невырожденная. Это, в свою очередь, говорит о том, что для матрицы H существует обратная ей матрица H-1. Запишем следующую систему равенств. HTH =H-1 HHTH =H-1(nIn)H = nIn = HHT Следовательно, матрица H удовлетворяет условию нормальности, то есть HTH = HHT 1.8.2. Эквивалентные преобразованияматриц АдамараПерестановки строк или столбцов, а так же умножение строк или столбцов на (-1) переводит матрицу Адамара H в эквивалентную матрицу Адамара H1. Действительно, перестановка строк матрицы H, в соответствии, с (3) сохраняет все скалярные произведения строк. Перестановка столбцов связана с изменением порядка слагаемых в формуле (2). Аналогичным образом не изменяются в соответствии с (2) скалярные произведения строк или столбцов при умножении на (-1). С помощью эквивалентных преобразований матрицу Адамара можно привести к нормализованному виду , в котором первая строка и первый столбец состоят из положительных единиц. Нормализованными матрицами Адамара 1-го и 2-го порядков являются H1 = (1), H2 = (4) Рассмотрим нормализованную матрицу Адамара порядка n . Для этого построим матрицу , образованную первыми тремя строками матрицы . Столбцы матрицы могут быть следующих четырех видов , , , Обозначим через x, y, z и w – число столбцов матрицы каждого из 4 видов соответственно. Тогда из условия ортогональности строк (3) получаем систему уравнений x + t + z + w = n (1x1) x – y + z – w = 0 (1x2) x + y – z – w = 0 (1x3) x – y – z + w = 0 (2x3) Данная система уравнений имеет единственное решение x = y = z = w = Таким образом при n имеем n= 4 , где – натуральное число. Например, случай n=3 исключается, так как два вектора размерности 3 с координатами не могут быть ортогональными. Таким образом, матрицы Адамара могут существовать для всех порядков, кратных четырем. Для их построения используются разнообразные методы. Так, для n матрицы Адамара были построены для всех порядков, кратных 4 за исключением n= 116, 156, 188. 1.8.3. Построение матриц АдамараРассмотрим способ построения матриц Адамара исходя из матриц Адамара меньшего порядка. Кронекеровым произведением матрицы A = (aij) i,j=1,2,..,m на матрицу B = (bij) i,j = 1,2,..,n называется (mn ) матрица вида = (aijB), i,j=1,2,..,m. Имеют место следующие свойства кронекерова произведения матриц (исходя из определения): , где – скаляр. . . . . Здесь A,A1,A2,C и B,B1,B2,D – матрицы порядков m и n соответственно. Теорема. Кронекерово произведение матриц Адамара порядков m и n есть матрица Адамара порядка mn. Доказательство. Пусть Hm и Hn – матрицы Адамара порядков m и n соответственно. Тогда для их кронекерова произведения имеем = . Отсюда в соответствии с (1) следует, что Hmn есть матрица Адамара порядка mn. Следствие. Для любого матрица Адамара существует Действительно при матрица (d раз), где H2 – матрица вида (4). Согласно теореме она есть матрица Адамара. |