нет. Учебное пособие в оронеж 2011 фгбоу впо Воронежский государственный технический университет

• Название: Учебное пособие в оронеж 2011 фгбоу впо Воронежский государственный технический университет
• Дата: 23.12.2020
• Размер: 0.65 Mb.
• Имя файла: Teoria_avtomatov.docx
• Тип: Учебное пособие; #163524
• страница: 7 из 17

1.6. Z -–преобразование

1.6.1. Определение Z – преобразования

При анализе и синтезе дискретных устройств широко используется Z–преобразование, играющее по отношению к дискретным сигналам такую же роль, как интегральное преобразование Фурье и Лапласа по отношению к непрерывным сигналам. Рассмотрим основы теории этого функционального преобразования и некоторые его свойства.

Одностороннее Z-преобразование последовательности x(n) определяется формулой:

где z – комплексная переменная , а n интерпретируется как дискретное время. Из этого определения следует, что Z- преобразование представляет собой частный случай производящей функции, в которой в качестве базисной используется последовательность

Рассмотрим ряд примеров.

Пример 1. Найти Z-преобразование единичного импульса.

Решение. Т.к.

Пример 2. НайтиZ-преобразование единичного сигнала

Решение. В данном случае , для


Данный ряд представляет собой бесконечную сумму убывающей геометрической последовательности знаменатель который . Следовательно

сходится при

Пример 3. Найти Z– преобразование экспоненциальной последовательности

Решение. Вычисляя Z-преобразование, получим

сходится при

1.6.2. Обратное Z – преобразование

Очень важно уметь переходить не только от последовательности к ее Z – преобразованию, но и обратно отZ–преобразования к последовательности. Последний переход формально определяется соотношением

В правой части этого равенства стоит контурный интеграл в Z-плоскости по любому замкнутому контуру в области сходимости, охватывающему начало координат.

Обратное Z-преобразование можно найти несколькими способами:

1. 
   Прямым вычислением контурного интеграла с использованием теоремы о вычетах
   
2. 
   Разложением на простые дроби
   
3. 
   Обычным делителем числителя на его знаменатель.
   
4. 
   Разложением в степенной ряд.
   

Мы ограничимся рассмотрением двух первых из них.

Первый способ основан на известной теореме из курса теории функций комплексного переменного, позволяющего вычислить контурный интеграл через вычеты.

Рассмотрим пример 4, в котором

В этом случае мы имеем простой полюс в точке . Следовательно: .

При использовании второго способа Z-преобразование записывается в виде суммы простых дробей

Т.к. каждое слагаемое имеет обратное Z-преобразование вида , получим

Например, рассмотрим выражение

Его можно записать в виде

В результате получаем

1.6.3. Свойства Z-преобразования

1) Линейности -–

2) Задержки -–

где – функция единичного скачка

3) Умножения на экспоненту -–

4) Умножения на n -–

5) Опережающего сдвига -–

6) Свертки -–

Указанные свойства упрощают получение преобразований и их обращений.

1.6.4. Использование Z-преобразований для решения рекуррентных уравнений

В качестве примера рассмотрим рекуррентное уравнение первого порядка

с начальным условием

Пусть на вход поступает последовательность (правая часть рекуррентного уравнения)

Умножаем обе части рекуррентного уравнения на величину и просуммируем по n от 0 до :

Используя свойство задержки, имеем

Откуда

Т.к. , то

То

Разложив второе слагаемое на простые дроби, получим

Вычислим обратное Z-преобразование

.

Первое слагаемое в скобках представляет собой составляющую отклика, определяемую начальными условиями, а второе – переходную характеристику системы. Третье слагаемое описывает вынужденные колебания в системе.

1.6.5. Таблица односторонних Z-преобразований

Таблица 4

	1
1
	Продолжение табл. 4