нет. Учебное пособие в оронеж 2011 фгбоу впо Воронежский государственный технический университет
Скачать 0.65 Mb.
|
Латинские прямоугольники, конечные проективные плоскости и блок-схемы1.2.1. Латинские прямоугольникиПусть дано множество S из n элементов. Латинский прямоугольник, основанный на множестве S, есть прямоугольная таблица. Каждая строка – упорядоченная выборка элементов множества S длины s, каждый столбец – упорядоченная выборка элементов множества S длины r, причем , . Обозначим элементы множества S через 1,2,..,n. Предположим, что s = n. Тогда латинский прямоугольник содержит в каждой строке перестановку элементов 1,2,..,n. Эти перестановки выбраны так, что ни один столбец не содержит повторяющихся элементов. Латинский прямоугольник называется нормализованным, если его первая строка записана в естественном порядке следования элементов 1,2,..,n. Теорема 1. Для любых чиселсуществует латинский прямоугольник. Доказательство. Будем «заселять» наш m-этажный «дом» с верхнего этажа. На m-м этаже «расселим» числа 1, 2, 3,..., n в их естественном порядке. На (т—1)-м этаже «расселение» начнем с двойки: 2, 3,..., п,1; на (т—2)-м этаже — с тройки: 3, 4, ..., п, 1, 2, и так далее; наконец, на 1 -м этаже «расселение» начнем с числа т: т,т+1, ...» ", 1. 2,..., т—1. Тогда «дом» будет «заселен» так, как это сделано в таблице. При таком «заселении» не будет двух одинаковых «жильцов», находящихся на одном «этаже» или в одном «подъезде». Следовательно, перед нами — «т-этажный» латинский прямоугольник длиной п. Значит, латинские тхп-прямоугольники существуют. Таблица 2
Перейдем теперь к подсчету числа латинских прямоугольников. Особенно просто решается задача для одноэтажных прямоугольников. Теорема 2. Число латинских 1хn-прямоугольников равно Доказательство. Латинский 1хn – прямоугольник - это просто произвольная перестановка из п чисел. Таких перестановок всего п! (на первое место ставили любое из п чисел, на второе - любое из (п-1) оставшихся, на третье - любое из (п-2) оставшихся после этого и т. д.). Перейдем к 2хn - прямоугольникам. Верхняя строка этого прямоугольника - любая перестановка. Нижняя строчка - перестановка, в которой на каждом месте стоит число, не равное числу, стоящему на том же месте в первой перестановке. Если мы произвольным образом переставим столбцы нашего прямоугольника, он останется латинским, и при этом верхнюю перестановку можно сделать любой. Из этого видно, что какую бы конкретную перестановку мы ни взяли, число латинских прямоугольников, у которых верхняя строчка совпадает именно с этой перестановкой, будет одним и тем же для всех перестановок. Латинский 2хn-прямоугольник будет нормализованным, если в его верхней строчке числа стоят подряд: 1, 2, 3, ..., (п-1), п. Из этого следует, что число L(2, п) латинских 2хn-прямоугольников равно числу нормализованных латинских 2хn-прямоугольников, умноженному на число перестановок п чисел, т. е. Для числа нормализованных латинских 2хn-прямоугольников имеется несколько изящных формул. Теорема 3. (Формула Эйлера). Это, как говорят, рекуррентная формула: если мы знаем и , а, очевидно, =0 и =1, то мы можем найти с ее помощью последующие : и т. д. Доказательство. Всякую перестановку можно записать как систему циклов. Это делается так. Пусть, скажем, на 1-м месте стоит , пишем . Если на -м месте стоит , напишем . Затем и так до тех пор, пока мы снова не дойдем до единицы. Затем берем самое маленькое из чисел, не вошедших в наш цикл, и строим цикл, начиная с него. В конце концов все п чисел окажутся стоящими в циклах. Число циклов может быть любым от 1 до n, и длина цикла может быть любой от 1 до п. Наше условие - что ни одно число не стоит на своем месте - запрещает циклы длиной 1. Теперь построим по нашей перестановке перестановку длиной п-1 или п-2 и тоже без циклов длиной 1. Найдем на одном из циклов число п. Если длина этого цикла больше двух, мы просто выбросим п и соединим «накоротко» pсq. Если же п входит в цикл длиной 2, например в изображенный на рисунке 5, мы просто выбросим этот цикл и уменьшим все числа от k+1 до п-1 на единицу: , . В первом случае получится перестановка (п-1) чисел, во втором случае – перестановка (п-2) чисел. Сколькими способами у нас может получиться перестановка (п-1) чисел? Ясно, что (п-1) способами: чтобы вернуться к перестановке длиной п, мы должны разорвать любую стрелку (а их (п-1) пар) и вставить туда п: . Сколькими способами получается перестановка (п-2) чисел? Снова (п-1) способами: мы добавляем цикла , где k - любое число от 1 до (п-1), и увеличиваем на единицу числа . Значит что и требовалось. Обозначая через L(r, n) число латинских прямоугольников, а K(r, n) – число нормализованных латинских прямоугольников. Задача о перечислении латинских прямоугольников в общем случае не решена в общем случае. Однако, известно, что: Формула для K(3, n) известна, но имеет сложное выражение. Если , то латинский прямоугольник называется латинским квадратом порядка n. Латинский квадрат может рассматриваться, как таблица умножения в общих алгебраических системах. In – число квадратов порядка n, в которых элементы первой строки и первого столбца расположены в естественном порядке. Таблица 3
- элемент, расположенный на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы, полученной наложением латинских квадратов A и B. Для всех есть пары ортогональных квадратов. Для n= 6 таких пар нет. Несколько латинских квадратов одного порядка называются попарно ортогональными, если любые 2 из них ортогональные. Существует ряд методов построения ортогональных латинских квадратов. Они предназначены для получения возможно большого числа попарно ортогональных латинских квадратов порядка n. Такие латинские квадраты применяются в математической статистике, теории информации, планировании экспериментов. 1.2.2. Конечные проективные плоскостиКонечная проективная плоскость – математическая система, составленная из одних элементов, называемых «точками» и из других элементов, называемых «прямыми». Точки и прямые связаны отношением инцидентности. Предполагается, что существует определенное соотношение «точка P лежит на прямой L» или эквивалентное соотношение «прямая L проходит через точку P». Это соотношение удовлетворяет постулатам: Две различные точки лежат на одной прямой . Две различные прямые проходят через одну и только одну точку . Существует 4 различных точки плоскости , никакие 3 из которых не лежат на одной прямой. Постулаты 1 и 2 являются основными. Постулат 3 служит для того, чтобы исключить некоторые вырожденные системы, удовлетворяющие только 1 и 2. Из постулатов следует: существует 4 различных прямых , никакие 3 из которых, не проходят через одну и ту же точку. Таким образом, предложение, относящееся к проективной плоскости имеет двойственное значение, получаемое заменой слов «точка» и «прямая», а также выражений «точка P лежит на прямой L» и «прямая Lпроходит через точку P». Проективная плоскость называется конечной, если она содержит конечное число точек. Пусть – прямая на конечной проективной плоскости и пусть число всех точек, лежащих на прямой равно . Число называется порядком плоскости . Теорема. Пусть задана конечная проективная плоскость порядка n. Тогда число точек, лежащих на любой прямой плоскости также, как и число прямых, проходящих через любую точку плоскости равно (n+1). При этом плоскость имеет всего n2+ n+1 точек, и столько же прямых. Наименьшая проективная плоскость имеет порядок n= 2. Множество точек 1,2,..,7 образует 7 прямых. , , , , , , 1.2.3. Блок-схемыБлок-схема – система подмножеств конечного множества V, удовлетворяющая следующим условиям: Она задается упорядоченной парой множеств (V, B), где , Элементы множества Vназывают элементами блок-схемы. Элементы множества B называются блоками. Элемент aiи блок Bjназываются инцидентными, если . Пусть kj = |Bj|- число элементов, инцидентных блоку Bj, ri – число блоков, инцидентных ai. - количество блоков, содержащих пару элементов . Числа называются параметрами блок-схемы. Если ri = r(i = 1,2,..,v) и kj = k (j= 1,2,..,b), , то блок-схема называется уравновешенной неполной блок-схемой (BIB- схемой) с параметрами . Если среди чисел , встречаются равно m различных , то блок-схема называется частично уравновешенной неполной блок-схемой с m типами связей (PBIB(m)-схема). Всякой блок-схеме с vэлементами и b-блоками соответствует матрица инцидентности A=(cij), где cij= 1, если и в противном случае (i = 1,2,..,v), (j= 1,2,..,b) Параметры BIB-схемы связаны соотношениями: Матрица инцидентности здесь удовлетворяет основному матричному соотношению (*) где E – единичная матрица порядка v, I – матрица порядка v, состоящая сплошь из одних единиц. Существование матрицы, элементы которой 0 и 1, и удовлетворяющей условию (*) является достаточным условием существования BIB-схемы с заданными характеристиками. BIB-схема, в которой b= v(r = k) называется симметричной блок-схемой или – конфигурацией. Среди BIB схем выделяются подклассы: Система Штайнера , «система троек Штайнера» (k = 3). Адамаровы конфигурации . Проективные конечные геометрии. Блок-схемы применяются в планировании экспериментов, теории игр, теории кодировании и других областях. |