Главная страница
Навигация по странице:

  • 1.4.2. Решение линейного однородного рекуррентного уравнения

  • 1 (2) .4.3. Решение линейного неоднородного рекуррентного уравнения

  • нет. Учебное пособие в оронеж 2011 фгбоу впо Воронежский государственный технический университет


    Скачать 0.65 Mb.
    НазваниеУчебное пособие в оронеж 2011 фгбоу впо Воронежский государственный технический университет
    Дата23.12.2020
    Размер0.65 Mb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаTeoria_avtomatov.docx
    ТипУчебное пособие
    #163524
    страница5 из 17
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17

    Рекуррентные уравнения




    1.4.1. Определение рекуррентного уравнения



    Рекуррентным соотношением (уравнением, рекуррентной формулой) называется соотношение вида

    ,

    которое позволяет вычислить все члены последовательности a0,a1,a2,.., если заданы её первые kчленов.

    k – порядок рекуррентного уравнения.

    Примеры. 1) an+1 = an + d -–арифметическая прогрессия.

    2) an+1 = qan -–геометрическая прогрессия.

    3) an+2 = an + an+1 -–последовательность чисел Фибоначчи.
    1.4.2. Решение линейного однородного рекуррентного уравнения
    В
    (1)
    случае, когда рекуррентное уравнение линейно и однородно, то есть выполняется соотношение вида

    Последовательность a0,a1,a2,.., удовлетворяющая данному уравнению называется возвратной.

    М
    (2)
    ногочлен

    называется характеристическим многочленом для возвратной последовательности .

    Корни этого многочлена называются характеристическими. Множество всех последовательностей, удовлетворяющих рекуррентному уравнению (1) называется его общим решением.

    Общее решение однородного линейного рекуррентного уравнения имеет аналогию с решением линейного дифференциального уравнения. А именно, справедливы теоремы.

    Теорема 1. Пусть - корень характеристического многочлена (2), тогда последовательность , где cпроизводная константа, удовлетворяет уравнению (1).

    Теорема 2. Если - простые корни характеристического многочлена (2), то общее решение рекуррентного уравнения (1) имеет вид:

    ,

    где c1,c2,..,ck – произвольные константы.

    Теорема 3. Если - корень кратности (i= 1,2,..,s) характеристического многочлена (2), то общее решение рекуррентного уравнения (1) имеет вид:

    где cij– произвольные константы.

    Зная общее решение рекуррентного уравнения (1), по начальным условиям a0, a1,.., ak-1, можно найти неопределенные постоянные cij, и, тем самым, получить частное уравнении (1) с данными начальными условиями.

    Пример. Найти последовательность {an}, удовлетворяющую рекуррентному уравнению

    Характеристический многочлен


    1
    (2)
    .4.3. Решение линейного неоднородного рекуррентного уравнения

    Рассмотрим линейное неоднородное рекуррентное уравнение

    an+k + p1an+k-1 + … + pkan = f(n), (n = 0, 1, 2,…) (3)

    Пусть {bn} – общее решение однородного уравнения (1). {cn} – частное (конкретное) решение неоднородного уравнения (3).

    Тогда последовательность {bn + cn} образует общее решение уравнения (3). Таким образом, справедлива теорема.

    Теорема 4. Общее решение линейного неоднородного рекуррентного уравнения представляется в виде суммы общего решения соответствующего линейного однородного рекуррентного уравнения и некоторого частного решении неоднородного уравнения.

    В результате, задача нахождения общего решения неоднородного уравнения (3) сводится к нахождению его частного решения. В отдельных случаях имеются рецепты нахождении частного решения.

    1сли f(n) = βn, (где β не является корнем характеристического уравнения), то частное решение следует искать в виде cn = Cβn. Тогда, подставляя его в (3), получаем:



    .

    Отсюда

    В результате, частное решение задаётся формулой


    2) Пусть f(n)–многочлен степени rот переменной n, и число 1 не является характеристическим корнем. Тогда и частное решение следует искать в виде

    Подставляя cn в (3) вместо an, получаем

    Сравнивая коэффициенты левой и правой частей полученного равенства, найдём соотношения для чисел di, позволяющие эти числа определить.

    Пример. Найти решение рекуррентного уравнения

    с начальным условием .

    Решение. Рассмотрим характеристический многочлен данного рекуррентного уравнения

    .

    Его корень . Тогда по теореме 1 общее решение соответствующего однородного рекуррентного уравнения
    задаётся формулой , где – произвольная константа.

    Так как , т.е. единица не является корнем характеристического многочлена, а правая часть есть многочлен первой степени, то частное решение неоднородного уравнения ищется в виде полинома первой степени с неопределёнными коэффициентами , где и – неизвестные коэффициенты. Подставив вместо в исходное уравнение, получим или . Приравнивая коэффициенты левой и правой части последнего равенства, получаем систему уравнений для определения неизвестных и :

    .

    Отсюда, находим: и . Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид . По теореме 4 получаем общее решение неоднородного рекуррентного уравнения . Из начального условия . В результате, окончательно имеем: .
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17


    написать администратору сайта