Умножение вектора на число

• Название: Умножение вектора на число
• Дата: 30.09.2018
• Размер: 1.1 Mb.
• Имя файла: plan-konspekturoka_umnojenievektoranachislo_ (1).doc
• Тип: Документы; #52028

МАСТЕР-КЛАСС
ГЕОМЕТРИЯ, 9 КЛАСС, УРОК: «УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО»

Предмет: Геометрия

Тема: Умножение вектора на число

Класс: 9 класс
Педагог: Аширбекова Лариса Александровна, заместитель директора по воспитательной работе, учитель математики и информатики.

Учреждение образования: МОУ Шуринская средняя общеобразовательная школа Кемеровской области
Город: Кемеровская область

Учащиеся должны:

Знать определение умножения вектора на число, свойства умножения вектора на число; знать правила действий с векторами

Уметь использовать свойства и определение при решении задач.
Ход урока.

I. Организационный момент: назвать цели урока.

II. Проверка пройденного материала:

Тестирование:

1. Вставьте пропущенное слово.

Вычитание векторов, как и вычитание чисел, - это действие, ... сложению

( обратное)
2. Что утверждает теорема о разности двух векторов?




А) Для любых векторов и справедливо равенство: - = + (-).

Б) Для любых векторов и справедливо равенство: + =+

В)Для любых и справедливо равенство: ( + )+ = + (+)

III. Объяснение нового материала.


План объяснения.

1. Произведение вектора на число.

Определив сложение двух векторов, мы можем рассмотреть суммы вида: а+а, а+а+а и т.д.. Такие суммы, как и в алгебре, обозначаются 2а,3а и т.д. (рисунок1). Этот пример показывает, что удобно ввести операцию умножения вектора на число, и подсказывает, как дать соответствующее определение.

Произведением ненулевого вектора на число k называется такой вектор, длина которого равна k*, причем векторы и сонаправлены при k 0 и противоположно направлены при k <0.

Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.
2. Следствия из определения:
1. 1 = для любого вектора.

Действительно, если 0, то по определению 1 =1 = и т.к. k=1 >0, то

1 1 =. Если =0, то1 =0 1 = для любого вектора.

2. (-1) = - для любого вектора .

Действительно, если 0, то (-1)  = -1= и т.к. k=-1 <0, то (-1) =0

(-1) = - для любого вектора .
3. Если k =0, то либо k=0, либо =0.

Действительно, если k =0, то  k= k=0, т.е. либо  k=0, либо =0, что и означает, либо k=0, либо =0.

4. Если k = k и k0, то =.

Действительно, если  k= k, то  k= k, отсюда =. Если k >0, то k, k, а т.к. k = k, .

Если же k<0, то k, k, а т.к. k = k, то.

Итак,= и , т.е. =

3. Отработка навыков с помощью тренажера.


Введите с клавиатуры недостающие числа.

4. Законы умножения вектора на число

Умножение вектора на число подчиняется тем же законам, что и умножение чисел. Докажем три закона, справедливые для любых векторов и и любых чисел k и m.
1.( k + m) = k+ m ( I распределительный закон)

2. k( + ) = k+ k ( II распределительный закон)

3. (k m) = k (m) ( сочетательный закон)
I Распределительный закон.
Доказательство:

1. Докажем, что (k + m) = k+ m для любого вектора и любых чисел k и m.

При k = m=0 справедливость ( k + m) = k+ m очевидна для любого вектора

При k = 0 m0 получается равенство m = m , верное для любого вектора и любого числа m (аналогично в случае k0 и m= 0) . При k0 и m0 предположим, что  k  m, т.е. k0 и  1, тогда вектор + .

Кроме того, = +  = (1 +).

Следовательно, согласно определению произведения вектора на число

+ = (1 +).

Умножив это равенство на k0, получим требуемое: ( k + m) = k+ m . Итак, мы доказали, что ( k + m) = k+ m для любого вектора и любых чисел k и m.



2. Докажем, что k( + ) = k+ k для любых векторов и и любого числа k.

При k=0 справедливость k( + ) = k+ k очевидна для любых векторов и .

При k0 ( случай рассматривается аналогично).

Отложим от произвольной точки О вектор = , затем от точки А вектор =. Тогда вектор = + .. т.к. , то  +  =   + . По определению произведения вектора на число что k( + ) = k+ = k+ k. Если k , то, т.к. >0 , получим k( + ) и k+ k. Отсюда k( + ) k+ k, следовательно, k( + ) = k+ k. Если k<0, то k( + ), k, k. Тогда k( + ) k+ k. Следовательно, k( + ) = k+ k

Пусть теперь векторы и неколлинеарные. Отложим от произвольной точки О векторы = и = k, а от точки А₁ и А - векторы = и = k. Случаю k >0 соответствует представленный рисунок. Т.к., согласно определению произведения вектора на число, векторы k и коллинеарные, то прямые АВ и А₁В₁ параллельны. Тогда  ОАВ   ОА₁В₁ по двум углам ( ОАВ =ОА₁В₁ как соответственные при АВА₁В₁ угол при вершине О - общий) , причем k - коэффициент подобия. Следовательно, = k

По правилу треугольника = + . Тогда =k ( + ). С другой стороны, = + = k+ k. Итак, k( + ) = k+ k.

II Распределительный закон.

На рисунке рассмотрен случай: когда k<0. Тогда аналогично  ОАВ  ОА₁В₁ по двум углам ( ОАВ =ОА₁В₁ как накрест лежащие при АВ А₁В₁,  ВОА = В₁ ОА₁ как вертикальные) причем k - коэффициент подобия. Следовательно, = k. По правилу треугольника = + . Тогда =k ( + ). С другой стороны, = += k+ k. Итак, мы доказали, что k( + ) = k+ k.

Сочетательный закон.

Докажем, что k(m) = (km) для любого вектора и любых чисел k и m. При k=0 или m=0 или =0 справедливость k(m) = (km) очевидна для любого вектора и любых чисел k и m.

При k0, m0 и 0, получим, что km) = km=km= k m= k(m).

Если km>0, то (km) и k(m).

Если km <0, то(km) и k(m).

В каждом случае (km) k(m) и  (km) = k(m), следовательно, k(m) = (km) . Итак, мы доказали, что k(m) = (km) для любого вектора и любых чисел k и m.

В силу доказанных свойств умножения вектора на число можно составлять векторные выражения, аналогичные многочленам первой степени в алгебре. Эти выражения можно преобразовывать так же, как преобразуются соответствующие алгебраические выражения, т.е. приводить подобные члены, раскрывать скобки, выносить за скобки общий множитель, переносить члены из одной части равенства в другую с обратным знаком действия и т.д.

Например, 2(3а-4b +c) -3(2a +b -3c) =6a -8b +2c -6a -3b +9c = -11b +11c=11(c-b).

5. Векторный метод.

Операции с векторами составляют основу векторной алгебры - раздела математики, изучающего векторы и действия с векторами. Векторы могут использоваться для решения геометрических задач и доказательства теорем.

Далее, вы увидите, как применяется векторный метод на примере доказательства уже известных вам теорем о средней линии треугольника и трапеции.

Решение задач и доказательство теорем состоит из трех этапов подобно тому, как это происходит при решении текстовых задач. Сначала условие задачи надо записать в векторном виде, введя подходящим образом векторы (аналогично составляются алгебраические уравнения). Потом с помощью известных вам действий над векторами исходное условии задачи, записанное в векторной форме, нужно преобразовать, т.е. привести к такому виду, который дает решение задачи в векторном виде ( аналогично решению алгебраического уравнения). Наконец, на последнем этапе на основании полученных векторных соотношений ответ формулируется уже в исходных терминах ( аналогично дается ответ на текстовую задачу, исходя из решений алгебраического уравнения).
6. Средняя линия треугольника.
Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна ее половине.
Пусть в  АВС: D АВ, Е АС, причем АD = DB, BE =EC.

Докажем, что DE ВС и 2 DE = ВС.

Запишем условия задачи в векторной форме: = - = - = ( - ) =

Отработка навыков с помощью тренажера.



Укажи векторы, которые являются коллинеарными.



Введите недостающее число в формуле

7. Свойство средней линии трапеции.

Теорема: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.




Доказательство:

Пусть в трапеции АВСD, EF - средняя линия.

Докажем, что EF АD, EFВС и EF=

Запишем условие задачи в векторной форме: , = - , = -

Т.к. по правилу многоугольника =++ и =++. Сложим эти равенства и сгруппируем слагаемые следующим образом:

2=(+)+(+)+(+). Т.к. при сложении противоположных векторов в сумме получается нулевой вектор, то 2 =0+++0 , отсюда EF=. Теорема доказана.
Выводы по теме:

1. Произведением вектора 0 на число k0 называется такой вектор k, для которого выполняются два условия:

1) модуль вектора k равен произведению модуля числа k и модуля вектора , т.е.  k= k

2) вектор k сонаправлен с вектором , если k >0, и направлен противоположно вектору , если k<0.
2. Для любого вектора и любых чисел k и m выполняется первый распределительный закон: (k+m) = k+ m

3. Для векторов и и любого числа k выполняется второй распределительный закон:

k( + ) = k+ k.

4. Для вектора и любых чисел k и m выполняется сочетательный закон k(m) = (km)

5. Теорема: Средняя линия треугольника параллельна одной из сторон и равна половине этой стороны.

6. Теорема: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

IV. Закрепление полученных знаний:

Тестирование:

1. Каким условиям удовлетворяет произведение k ненулевого вектора на число k?



А) вектор k сонаправлен с вектором , если k >0 и направлен противоположно вектору

Б) вектор k сонаправлен с вектором

В) вектор k направлен противоположно вектору

2. №793. Боковые стороны трапеции равны 23см и 15 см, а периметр равен 48 см. Найдите среднюю линию трапеции

а) 12 см б) 10см в) 14см
3. №799. Дана равнобедренная трапеция АВСD . Перпендикуляр, опущенный из вершины В на большее основание AD делит это основание на два отрезка, больший из которых равен 7 см. Найдите среднюю линию трапеции.

а) 8см б) 6см в) 7см
V. Подведение итогов.

VI. Задание на дом: п.76-85, №№781,782,784