Упругий и неупругий удары шаров

• Название: Упругий и неупругий удары шаров
• Дата: 05.12.2021
• Размер: 0.62 Mb.
• Имя файла: м-17 2012.pdf
• Тип: Методические указания; #292807

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
УТВЕРЖДАЮ
Проректор-директор ФТИ
________
_____________ В.П.Кривобоков
« » 2012 г.
УПРУГИЙ И НЕУПРУГИЙ УДАРЫ ШАРОВ
Методические указания к выполнению лабораторных работ М–17 по курсу общей физики для студентов всех специальностей
Составитель Н.С. Кравченко, Н.И.Гаврилина
Издательство
Томского политехнического университета
2012

2
УДК 53.076
Упругий и неупругий удары шаров: Методические указания к выполнению лабораторной работы М–17 по курсу общей физики / сост. Н.С. Кравченко,
Н.И. Гаврилина; Национальный исследовательский Томский политехнический университет. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2012.–10с.
Методические указания рассмотрены и рекомендованы к изданию методическим семинаром кафедры теоретической и экспериментальной физики ФТИ.
«___»___________2012 г.
Зав. кафедрой ТиЭФ доктор физ.-мат. наук, профессор
___________
В.Ф. Пичугин
Председатель учебно-методической комиссии ___________
С.И. Борисенко
Рецензент доц. доктор, физ.-мат. наук С.И. Борисенко
© Составление. ГОУ ВПО «Национальный исследовательский Томский политехнический университет», 2012
© Н.С. Кравченко, Н.И. Гаврилина составление,
2010
© Оформление. Издательство Томского политехнического университета, 2012

3
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА М-17
УПРУГИЙ И НЕУПРУГИЙ УДАРЫ ШАРОВ
Цель работы: Ознакомиться с явлениями, связанными с движением и соударением шаров, определить коэффициент восстановления и потери энергии при ударе.
Приборы и принадлежности: лабораторная установка, набор шаров, технические весы.
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ
Общие сведения об ударе. Ударом называется явление, в результате которого скорости сталкивающихся твердых тел изменяются на конечную величину. Прямым ударом называется удар, при котором скорости тел до удара направлены параллельно общей нормали к поверхностям соударяющихся тел в точке их соприкосновения (рис.1), в противном случае удар называется косым. Общая нормаль к поверхностям соударяющихся тел в точке их соприкосновения называется линией удара.
2 1



а) Прямой центральный удар б) Косой центральный удар
С
1
С
2 1


2


Линия удара
Линия удара
С
1
С
2 n

1


2


n

Рис. 1
Если линия удара проходит через центры масс тел, то удар называется центральным. Процесс соударения состоит из двух фаз. В течение первой фазы удара тела деформируются до тех пор, пока проекции их скоростей на линию удара не станут одинаковыми. При этом кинетическая энергия тел переходит в потенциальную энергию упругих сил деформированных тел и частично расходуется на нагревание тел. Во второй фазе удара тела частично восстанавливают форму. Из-за остаточной деформации и нагревания тел их кинетическая энергия восстанавливается не полностью. Поэтому тела расходятся после удара с относительной скоростью, модуль проекции

4 которой на линию удара меньше, чем до удара. В связи с этим вводится величина, называемая коэффициентом восстановления, показывающая во сколько раз модуль проекции относительной скорости тел после удара больше модуля проекции относительной скорости тел до удара. Если до удара относительная скорость тел
отн


, а после удара
отн
u

, то
n
отн
n
отн
u
k




, где индекс n означает проекцию скорости на линию удара.
Значения коэффициента восстановления k находятся в пределах 0…1 и определяются на опыте. Например, коэффициент восстановления для стекла равен
0,94, для слоновой кости – 0,89, для стали – 0,56, для дерева – 0,6. В двух предельных идеализированных случаях удар называется абсолютно неупругим
(k=0) и абсолютно упругим (k=1).
Реальные тела являются промежуточными между телами абсолютно упругими и абсолютно неупругими, поэтому при соударении реальных тел всегда имеют место и упругие, и остаточные деформации.
В процессе удара возникают ударные
(мгновенные) силы, величина которых значительна, а время удара очень мало. Для системы соударяющихся тел ударные силы являются внутренними. Они во много раз превышают внешние силы, которые обычно имеют место при соударении тел.
Поэтому действием внешних сил за время удара можно пренебречь и считать, что система соударяющихся тел является замкнутой. Это означает, что при ударе можно применять закон сохранения импульса.
Прямой центральный удар. Рассмотрим прямой центральный удар двух шаров (рис.2), при котором скорости центров инерции шаров в начале удара
1


и
2


(
0 2



) направлены по линии удара (рис. 2а). Такой удар называется х
С
1
С
2
До удара а)
1


0 2



m
1
m
2
Линия удара
Рис. 2
m
2
m
1
в)
Удар (вторая фаза удара)
2
F

2
F


х
2
u

1
u

б)
1
F

m
1
m
2
х
u

Удар (первая фаза удара)
1
F

С
2
С
1

5 прямым центральным ударом. После удара скорости шаров
1
u

и
2
u

(на рисунке 2в шары разлетаются в разные стороны). Пусть в момент времени t произошло соприкосновение поверхностей шаров (рис. 2б). Возникает деформация шаров и через время τ
1
их скорости станут одинаковыми.
Общую скорость шаров в момент наибольшей деформации t
1
=t+τ
1
обозначим u

(рис. 2б). Время τ
1
- время первой фазы удара.
Если соударяющиеся тела лишены упругости, т.е. удар неупругий, то начиная с момента t
1
тела движутся вместе как одно целое, не отделяясь друг от друга, со скоростью u

. Тогда удар заканчивается на первой фазе.
Удар упругих тел не заканчивается в момент, когда скорости соударяющихся тел становятся равными. Начиная с этого момента, происходит восстановление формы тел за счет накопившейся потенциальной энергии упруго деформированных тел. И в момент t
2
=t
1
+τ
2
тела отделяются друг от друга, имея различные скорости
1
u

и
2
u

(рис. 2в). Время τ
2
–время второй фазы удара. Время τ
1
и τ
2
– ничтожно малые промежутки времени.
В момент t
1
=t+τ
1
тела имеют общую скорость u

и по закону сохранения импульса (в проекции на ось х):
u
)
m
m
(
m
m
2 1
2 2
1 1





; (то, что
0 2



, учтем позднее), отсюда
2 1
2 2
1 1
m
m
m
m
u





(1)
Рассмотрим теперь первую фазу удара.
За время τ
1
в телах возникают ударные силы взаимной реакции
(деформирующие тело) направленные по линии удара:
1
F

-средняя ударная сила реакции действующая со стороны второго тела на первое, и
1
F


- средняя ударная сила реакции, действующая со стороны первого тела на второе. По третьему закону Ньютона
1 1
F
F





они равны и противоположно направлены. Для каждого тела в отдельности ударные силы реакции являются внешними силами, тогда изменение импульса каждого тела происходит за счет этих сил. По второму закону Ньютона
F
dt
P
d



, где
P

- импульс тела. Для конечных малых приращений можно записать
t
F
P





(2), тогда
t
F


- импульс силы, t

- время ее действия, а
P


- изменение импульса тела за время t

Запишем уравнение (2) для взаимодействующих шаров (рис.2б) в первой фазе удара в проекции на ось х.













шара
второго
для
F
)
u
(
m
шара
первого
для
F
)
u
(
m
1 1
2 2
1 1
1 1
(3)
Во второй фазе удара (в проекциях на ось х (рис.2в)): время второй фазы
τ
2
; средние ударные силы реакции (упругие силы, восстанавливающие

6 форму)
2
F

и
2
F


; скорость шаров вначале второй фазы удара u, в конце второй фазы удара:
-u
1
и
u
2












шара
второго
для
F
)
u
u
(
m
шара
первого
для
F
)
u
u
(
m
2 2
2 2
2 2
1 1
(4)
Разделим уравнение (4) (для каждого шара) на уравнение (3):
1 1
2 2
1 1







F
F
u
u
u
;
1 1
2 2
2 2








F
F
u
u
u
Так как коэффициент восстановления
n
отн
n
отн
u
k




, то
k
u
u
u





1 1
и
k
u
u
u



2 2

(5).
С другой стороны,
1 1
2 2


F
F
k

показывает во сколько раз импульс силы восстанавливающей форму больше импульса силы, вызвавшей деформацию.
Из уравнения (5) имеем:














2 2
1 1
1 1


k
u
k
u
k
u
k
u
(6)
2 1
2 1





u
u
k
(7)
Коэффициент восстановления равен отношению относительных скоростей шаров (рис.2) после удара и до удара.
Тогда из (6) и уравнения (1):























)
(
m
m
m
)
k
(
u
)
(
m
m
m
)
k
(
u
2 1
2 1
1 2
2 2
1 2
1 2
1 1
1 1
(8)
Для случая, когда
0 2


, уравнение (8) упрощается:

















2 1
1 1
2 2
1 1
2 1
1 1
1
m
m
m
)
k
(
u
m
m
m
)
k
(
u
(9)
Изменение кинетической энергии при ударе. Найдем потерю кинетической энергии в результате удара. До удара суммарная кинетическая энергия системы

7 2
2 2
2 2
2 1
1 0




m
m
E
, для случая
0 2


,
2 2
1 1
0


m
E
После удара кинетическая энергия системы
2 2
2 2
2 2
1 1
u
m
u
m
E


Потеря кинетической энергии (энергия, пошедшая на остаточную деформацию и тепло):













2 2
2 2
2 2
2 1
1 2
1 0
u
m
u
m
m
E
E
E
Используя уравнение (9) получим:
0 2
1 2
2 2
2 1
2 1
2 1
1 1
2
E
m
m
)
k
(
m
)
k
(
)
m
m
(
m
m
E








(10)
Отношение энергии, потерянной в результате остаточной деформации и нагревания шаров, к начальной кинетической энергии системы для любого не идеализированного удара
2 1
2 2
0 1
m
m
)
k
(
m
E
E




(11)
Если удар абсолютно неупругий (k=0), то начальная кинетическая энергия расходуется на деформацию и тепло:
2 1
2 0
m
m
m
E
E



или
0 2
1 2
E
m
m
m
E



(12)
Из формулы (12) следует, что если масса m
2
шара, находящегося до удара в покое, велика по сравнению с массой m
1
, то
1 2
1 2


m
m
m
. В этом случае почти вся кинетическая энергия системы Е
0
расходуется на деформацию (например, молот и наковальня).
Если m
2
мало по сравнению с m
1
, то энергия, идущая на деформацию тела незначительна (молоток, забивающий гвоздь).
Закон сохранения энергии системы с учетом потери энергии на деформацию можно записать
E
E
E



0
, или
E
u
m
u
m
E










2 2
2 2
2 2
1 1
0

8
Тогда отношение
1 0
0



E
E
E
E
, или
0 0
1
E
E
E
E



Подставим уравнение (11)
2 1
2 2
1 0
m
m
m
k
m
E
E



, а
0 0
E
E
1
E
E



(13)
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ линия удара
3 4
1 2
А
l
α
4
C
2
C
1
C
1
Рис. 3 а
1
Установка представляет собой баллистический динамометр, состоящий из двух шаров (1) и (2) (рис 3а), подвешенных на нитях одинаковой длины.
Шар (1) может удерживаться в отклоненном положении электромагнитом
(3). При выключении электромагнита шар (1) ударяется о шар (2).
Происходит прямой центральный удар.
Положение шаров до и после удара фиксируется по углу отклонения их от положения равновесия по проградуированной шкале (4). Шар (1) в момент удара имеет скорость υ
1
, шар (2)–неподвижен. После удара шары имеют скорости u
1
и u
2
, направленные противоположно, что приводит к тому, что шар (2) отклоняется влево, а шар (1) вправо от положения равновесия (рис.3б). Тогда закон сохранения импульса системы шаров в момент удара можно записать
2 2
1 1
1 1
u
m
u
m
m




(14)
Чтобы проверить этот закон, необходимо определить скорости υ
1
, u
1
и
u
2
.

9
Шар (1), отклоненный от положения равновесия на угол α (рис.3б) обладает потенциальной энергией m
1
gH. В момент удара в точке 0 потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию
2 2
1 1

m
, т.е.
m
1
gH=
2 2
1 1

m
линия удара
l
H
1 2
А
β
α
h
2
1``
1`
2``
φ
h
1
0 0
B
Рис. 3 б
С
1
Отсюда
gH
2 1


. Из ΔАС
1
В (рис.3б)



cos
l
H
l
;
)
cos
(
l
H



1
, или
2
sin
2 2

l
H

. Тогда скорость шара (1) в момент удара
l
sin
g
2 2
1



(15)
После столкновения второй шар отклонился на угол φ, следовательно, по аналогии скорость шара в момент удара
l
sin
u
g
2 2
2


(16)
Первый шар после удара отскочил на угол β, значит модуль скорости первого шара после удара
l
sin
u
g
2 2
1


(17)
РАБОЧИЕ ФОРМУЛЫ:
ДЛЯ УПРУГОГО УДАРА:
1.
Проверка закона сохранения импульса
2 2
1 1
1 1
u
m
u
m
m




или

10 2
2 2
2 1
1






sin
m
sin
m
sin
m
2.
Определить коэффициент восстановления по формуле (7)
2 2
2 1
2 1








sin
sin
sin
u
u
k
3.
Определить долю энергии израсходованной на деформацию:
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2 1
2 2
2 1
2 1
0




m
m
m
m
E
E




, зная коэффициент восстановления k по формуле (11) найти
2 1
2 2
0
)
1
(
m
m
k
m
E
E




Сравнить результаты и сделать выводы.
4.
Определить долю кинетической энергии, оставшейся в системе после удара
2 2
2 2
2 2
2 1
2 2
2 1
2 1
1 2
2 2
2 1
1 0








sin
m
sin
m
sin
m
m
u
m
u
m
E
E
С другой стороны найти
2 1
2 2
1 0
m
m
m
k
m
E
E



, подставив k, полученное в п.2.
Сравнить результаты, сделать выводы.
5. Зная
0
E
E , можно определить коэффициент восстановления k.
Сравнить коэффициенты восстановления, найденные в п.п.2 и 4. Сделать вывод.
6.
Проверить, выполняется ли закон сохранения энергии
1 0
0



E
E
E
E
Сделать вывод.
ДЛЯ НЕУПРУГОГО УДАРА:
1. Проверить закон сохранения импульса
u
)
m
m
(
m
2 1
1 1



или

11 2
sin
)
(
2
sin
2 1
1


m
m
m


2. Проверить является ли удар абсолютно неупругим. Найти долю энергии пошедшей на деформацию.
2
sin
2
sin
)
(
2
sin
)
(
2 1
2 2
1 2
1 2
1 1
2 2
1 2
1 1
0





m
m
m
m
m
u
m
m
m
E
E







Сравнить получившиеся значения с теоретическими
2 1
2 0
m
m
m
E
E



Сделать вывод.
3. Найти долю энергии, оставшейся в системе после удара
2
sin
2
sin
)
(
)
(
2 1
2 2
1 2
1 1
2 2
1 0



m
m
m
m
u
m
m
E
E




Получившиеся значения сравнить с теоретическими
2 1
1 0
m
m
m
E
E


Сделать вывод.
4. Проверить закон сохранения энергии
1 0
0



E
E
E
E
Сделать вывод.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1.
К баллистическому динамометру подвешиваются два стальных шара, и производится центровка. Центры шаров и точка их соприкосновения должны быть в одной плоскости и находиться на одной горизонтальной прямой, параллельной плоскости шкалы прибора, по которой измеряются углы отклонения шаров. Шары должны висеть на параллельных нитях так, чтобы в состоянии равновесия их поверхности соприкасались. Центры шаров и точка их соприкосновения должны находиться на одной горизонтальной прямой (линии удара). Вертикальная плоскость, проходящая через нити, центры шаров и точку их соприкосновения должна совпадать с плоскостью шкалы прибора.
2.
Правый шар отклоняют вправо до соприкосновения с включенным электромагнитом, и по шкале берется отсчет α и записывается в таблицу.

12 3.
При помощи ключа размыкается цепь электромагнита и делается по шкале отсчет угла φ, на который отклонился левый шар после удара и одновременно угла β, на который отскочил правый шар после этого же удара. Эта часть работы повторяется не менее 10 раз для уточнения значений углов φ и β.
Внимание! В работе рассматривается только один удар правого
шара о левый. Удар левого шара о правый не рассматривается.
4.
Массы шаров определяются взвешиванием на технических весах.
5.
Полученные данные используются для вычисления коэффициента восстановления и доли энергии, израсходованной на деформацию и тепло.
6.
Проверить закон сохранения импульса.
7.
Сделать выводы для этой пары шаров.
8.
Стальные шары заменить алюминиевым и пластмассовым шарами. Произвести центровку и проделать аналогичные опыты и измерения
(согласно пунктам с 1 по 7) и записать в таблицу 2.
9.
Подвесить пластмассовый и пластилиновый шары. Провести центровку и проделать аналогичные опыты и измерения (согласно пунктам 1
- 7). Обратить внимание на тот факт, что после столкновения оба шара движутся вместе, а так как нити, на которых они висят, параллельны, то и угол отклонения у них один и тот же. Результаты измерений записать в таблицу 3.
Таблица 1 и 2
Правый шар изготовлен из________ m
1
=



sin
2

= sin
2 2

=
Левый шар изготовлен из ______
m
2
=
k
ср
№ п\п


ср


№ п\п


ср


1 sin
2
ср

= sin
2 2
ср

=
1 sin
2
ср

=
sin
2 2
ср

=
2 2
3 3
…
…
10 10
Таблица 3
Правый шар изготовлен из________ m
1
=



Левый шар изготовлен из ______
m
2
=
№ п\п


ср


1 sin
2
ср

=
2

13 sin
2

= sin
2 2

=
3 sin
2 2
ср

=
…
10
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.
Чем отличается абсолютно упругий удар от абсолютно неупругого?
2.
Какой удар называется прямым центральным ударом?
3.
Как определить скорости шаров после абсолютно упругого удара, если до удара они двигались навстречу друг другу?
4.
Как определить скорости шаров после абсолютно упругого удара, если шары двигались в одну сторону, причем скорость первого шара до удара больше, чем скорость второго шара?
5.
Как определить скорости шаров после абсолютно неупругого удара, если шары двигались навстречу друг другу?
6.
Что такое коэффициент восстановления? Каков его физический смысл?
7.
Выполняются ли законы сохранения (энергии и импульса) при абсолютно упругом ударе?
8.
Выполняются ли законы сохранения (энергии и импульса) при абсолютно неупругом ударе?
9.
Выполняются ли законы сохранения (энергии и импульса) при ударе реальных тел?

14
Учебное издание
УПРУГИЙ И НЕУПРУГИЙ УДАРЫ ШАРОВ
Методические указания к выполнению лабораторной работы М-17
Составители: Надежда Степановна Кравченко
Нина Ивановна Гаврилина
Отпечатано в Издательстве ТПУ в полном соответствии
с качеством предоставленного оригинал-макета
Подписано к печати _____ ___ 2012. Формат 60х84/16. Бумага «Снегурочка».
Печать XEROX. Усл.печ.л. 9,01. Уч.-изд.л. 8,16.
Заказ . Тираж ____ экз.
Национальный исследовательский Томский политехнический университет
Система менеджмента качества
Томского политехнического университета сертифицирована
NATIONAL QUALITY ASSURANCE по стандарту
ISO 9001:2008
. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30
Тел./факс: [phone], www.tpu.ru