Конспект урока. конспект. Урок 6 Периодические десятичные дроби. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби
 Скачать 137.2 Kb.
|
|
Конспект урока Алгебра 7 класс Урок № 6 Периодические десятичные дроби. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби Перечень рассматриваемых вопросов: Понятие бесконечной периодической десятичной дроби. Примеры бесконечной периодической десятичной дроби. Представление рационального числа в видебесконечной периодической десятичной дроби. Тезаурус: Любое целое число и любую конечную десятичную дробь можно считать бесконечной периодической десятичной дробью или коротко: периодической дробью. Любое положительное рациональное число  преобразуется в положительную дробь. Любая периодическая дробь – это десятичное разложение некоторого положительного рационального числа Если в периодической дроби период начинается сразу после запятой, то такую периодическую дробь называют «чистой». Если в периодической дроби период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр, то такую периодическую дробь называют «смешанной». Основная литература: 1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с. Дополнительная литература: 1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с. 2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с. 3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с. Теоретический материал для самостоятельного изучения. На прошлом уроке мы рассмотрели условия, при которых обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной. А как поступать, когда невозможно представить её в таком виде? Введём понятие бесконечной периодической десятичной дроби. Если знаменатель q несократимой дроби p/q не имеет делителей, кроме 2 и 5, то эта дробь преобразуется в конечную десятичную дробь. Если знаменатель содержит, кроме 2 и 5, другие простые делители, то мы не сможем представить её конечной десятичной дробью. Например: 5/9 Знаменатель 9 = 33 5/9 не преобразуется в конечную десятичную дробь. Убедимся в этом, выполнив деление уголком. Разделим числитель 5 на знаменатель 9.  Процесс деления в столбик бесконечный. Приходим к выражению 0,555…, точки означают, что цифра 5 периодически повторяется бесконечно много раз. Выражение 0,555… называют бесконечной периодической десятичной дробью или коротко: периодической дробью. Записывают 0,(5) . Читают: « ноль целых и пять в периоде». Цифру (5) называют периодом дроби 0,(5). Говорят, что число пять девятых представлено в виде периодической дроби ноль целых и пять в периоде. При этом пишут: 5/9 = 0,555… = 0,(5) Выражение 5/9 и 0,(5) являются обозначениями одного и того же числа в виде обыкновенной дроби 5/9 и в виде периодической дроби 0,(5). Рассмотрим ещё пример. Рассмотрим: 4/15 Дробь четыре пятнадцатых несократимая, и её знаменатель имеет простые делители 3 и 5, поэтому деление не может быть конечным. Проверим. Делим уголком 4 на 15.  Записывают так: 0,2(6) читают: «ноль целых две десятых и шесть в периоде». (6) ‑ период дроби. В примерах мы увидели разные периодические дроби. Периодические дроби бывают двух видов: «чистые» и «смешанные». Если в периодической дроби период начинается сразу после запятой, то такую периодическую дробь называют «чистой». Например: 0,(3) 0,(6) 0,(5) Видно, что в этих дробях период начинается сразу после запятой. Если же в периодической дроби период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр, то такую периодическую дробь называют «смешанной». Например: 0,2(6), 0,46(76) Сформулируем утверждение: Если применить правило деления уголком к любой несократимой дроби p/q Где q – знаменатель, который, кроме 2 и 5 имеет другие простые делители, то получится бесконечная периодическая десятичная дробь, или коротко: периодическая дробь. Приписывая к конечной десятичной дроби бесконечно много нулей, мы её приводим в бесконечную периодическую десятичную дробь с периодом 0. Например: 45 = 45,0 = 45,000… = 45,(0) 0,673 = 0,673000 = 0,673(0). Значит, любое целое число и любую конечную десятичную дробь можно считать бесконечной периодической десятичной дробью или коротко: периодической дробью. Тогда сформулируем: Любое положительное рациональное число p/q преобразуется в периодическую дробь. Верно обратное. Любая периодическая дробь – это десятичное разложение некоторого положительного рационального числа p/q. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби Рассмотрим произвольную положительную несократимую дробь p/q Покажем, что если разделить числитель дроби на знаменатель уголком, то в частном получится либо конечное, либо бесконечное периодическое её преобразование. Нам известно, чтобы получить конечное десятичное разложение, знаменатель qне должен иметь простых делителей, кроме 2 и 5 В других случаях может быть только бесконечное десятичное разложение, которое является периодическим. Пусть нужно найти десятичное разложение несократимой дроби 15/13. Будем делить уголком 15 на 13.  Здесь одной звёздочкой отмечен этап вычислений, когда снесена последняя цифра делимого. Получаемые после этого остатки заключены в прямоугольники. Видно, что остатки, отмеченные двумя, тремя звёздочками, равны между собой. Это показывает, что процесс деления носит периодический характер и приводит к бесконечной периодической десятичной дроби, то есть:  Теперь на примере рассмотрим, как можно, зная бесконечную периодическую десятичную дробь, записать её обыкновенной дробью. Запишем периодическую дробь 0,(7) в виде обыкновенной. Для этого обозначим искомую величину х. Тогда справедливо равенство х = 0,(7) (1) Умножим это равенство на 10, получим 10х = 7,(7) (2). Вычтем из равенства (2) равенство (1). 10x – x = 7 9x = 7 x = 7 : 9 Применив к дроби 7/9 деление уголком. Снова получим периодическую дробь 0, (7.) Разбор заданий тренировочного модуля. Подберите обыкновенную дробь, равную периодической десятичной 0,(14). Варианты ответов: 14/99, 14/98 14/90 Решение. Обозначим искомую величину х. Тогда справедливо равенство: х = 0,(14) (1) Умножим это равенство на 100, получим 100 х = 14,(14) (2). Вычтем из равенства (2) равенство (1). 100x – x = 14 99x = 14 x = 14/99 Найдите десятичное разложение обыкновенной дроби 769/4950 Варианты ответа: 0,15(35); 0,155(35); 0,1(535); 0,153(5). Решение: Для решения задачи нужно выполнить деление уголком:  Ответ: 0,155(35). |