Урок алгебры в 11 классе. Тема урока Основы комбинаторики. Размещения, перестановки, сочетания. Цели урока
 Скачать 97.01 Kb.
|
|
Урок алгебры в 11 классе. Тема урока: Основы комбинаторики. Размещения, перестановки, сочетания. Цели урока: Образовательная: познакомить с понятием «комбинаторика»; познакомить с правилами комбинаторики; обеспечить в ходе урока усвоение понятия размещений, перестановок и сочетаний; сформировать умения решать комбинаторные задачи. Воспитательная: воспитание интереса к дисциплине, честности, аккуратности, эстетического отношения к оформлению математических решений; воспитание умения слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем. Развивающая: развитие логического мышления посредством решения комбинаторных задач, сообразительности; развитие математической речи, внимания. Обучающийся должен: знать: определения трех важнейших понятий комбинаторики: размещения из n элементов по m; сочетания из n элементов по m; перестановки из n элементов; основные комбинаторные формулы уметь: отличать задачи на «перестановки», «сочетания», «размещения» друг от друга; применять основные комбинаторные формулы при решении простейших комбинаторных задач. Оборудование: проектор, дидактический материал (карточки-задания). Методы обучения: словесно-информационный (рассказ), словесно-репродуктивный(опрос), практически-репродуктивный( выполнение заданий), наглядно-иллюстративный . Структура урока Организационный момент Мотивация учебной деятельности Сообщение темы и цели урока. Объяснение нового материала. Формирование умений и навыков в решении комбинаторных задач. Домашнее задание Подведение итогов. Ход урока Организационный момент Приветствие, определение отсутствующих, проверка готовности учащихся к уроку. Мотивация учебной деятельности Задача из басни С. Крылова «Квартет» Проказница Мартышка Осёл, Козёл, Да косолапый Мишка Затеяли играть квартет … Стой, братцы стой! – Кричит Мартышка, - погодите! Как музыке идти? Ведь вы не так сидите… И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет. Вот пуще прежнего пошли у них разборы И споры, Кому и как сидеть… - Как вы думаете сколько различных вариантов расположения музыкантов возможно? (учащиеся предлагают свои варианты) - В конце урока вы узнаете кто дал правильный ответ. 3. Сообщение темы и цели урока. Тема сегодняшнего урока «Основы комбинаторики. Размещения, перестановки, сочетания». Сегодня на уроке вам предстоит рассмотреть общие правила комбинаторики, ознакомится с основными понятиями комбинаторики (размещения, сочетания, перестановки), научиться решать простейшие комбинаторные задачи. 4.Объяснение нового материала. Одним из важнейших понятий современной математики является понятие множества. Говорят о множестве учащихся в группе, о множестве букв в алфавите, о множестве изделий в упаковке и т.д. Понятие множества относится к первоначальным, простейшим, понятиям и формально через другие более простые понятия не определяется. Оно воспринимается конкретно, посредством знакомства с различными примерами множества. Множество характеризуется объединением некоторых однородных объектов в одно целое. Объекты, образующие множество, называются элементами множества. Множество будем записывать, располагая его элементы в фигурных скобка {a, b, c, … , e, f}. Во множестве порядок элементов роли не играет, так {a, b} = {b, a}. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множествоми обозначается символом ø. Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то говорят, что множество А является подмножеством множества В  Множество {a, b} является подмножеством множества {a, b, c, … , e, f}. Задача: Перечислите возможные варианты подмножества множества {3, 4, 5, 7, 9}. При решении многих практических задач часто приходится имеющиеся предметы (элементы) соединять в разные наборы (комбинации). Например - парфюмерные наборы, конфеты, инструменты, спортивные команды. Задачи которые рассматривают такие соединения и находится число различных соединений, называют комбинаторными. Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих заданному множеству. В каждой из них требуется подсчитать число возможных вариантов осуществления некоторого действия, ответить на вопрос «сколькими способами». Комбинаторика возникла и развивалась одновременно с теорией вероятностей. И первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр. Комбинаторика – раздел математики, который занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять». Термин "комбинаторика" был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, - всемирно известным немецким учёным. Комбинаторика является важным разделом математики, который исследует закономерности расположения, упорядочения, выбора и распределения элементов с фиксированного множества. При большом числе возможных последствий испытания способы прямого перебора возможных вариантов малоэффективны. На помощь приходят комбинаторные методы, в основе которых лежат два следующих правила называемых соответственно правилами умножения и сложения. ПРАВИЛО СУММИРОВАНИЯ Если два взаимоисключающие действия могут быть выполнены в соответствии  и  способами, тогда какое-то одно из этих действий можно выполнить  способами.Пример №1 Из города А в город В можно добраться 12 поездами, 3 самолетами, 23 автобусами. Сколькими способами можно добраться из города А в город В? Решение. Проезд из А в В на поезде, самолете или автобусе являются событиями, которые не могут выполняться одновременно одним человеком (взаимоисключающими), поэтому общее количество маршрутов можно вычислить суммированием способов передвижения N=12+13+23=38 Пример № 2 В ящике имеется n разноцветных шариков. Произвольным образом вынимаем один шарик. Сколькими способами это можно сделать? Решение. Конечно, n способами. Теперь эти n шариков распределены по двум ящикам: В первом m шариков, во втором k. Произвольно из какого-нибудь ящика вынимаем один шарик. Сколькими разными способами это можно сделать? Решение. Из первого ящика шарик можно вытянуть m различными способами, из второго k различными способами, всего N = m + k способами. ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ Пусть две выполняемые одно за другим действия могут быть осуществлены в соответствии и способами. Тогда обе они могут быть выполнены  способами.Пример № 3 В турнире принимают участие 8 хоккейных команд. Сколько существует способов распределить первое, второе и третье места? Решение. Первое место займет одна из 8 команд, второе - одна из 7, третье - одна из 6, так как каждая из них не может претендовать одновременно на два призовых места. Поэтому таких способов будет ровно N=8  7 6 =336Пример № 4 Сколько можно записать двузначных чисел в десятичной системе счисления? Решение. Поскольку число двузначное, то число десятков (m) может принимать одно из девяти значений: 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Число единиц (k) может принимать те же значения и может, кроме того быть равным нулю. Отсюда следует, что m = 9, а k= 10. Всего получим двузначных чисел N = m ·k = 9·10 =90. Пример № 5 В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать, для выполнения различных заданий, двух студентов одного пола? Решение. По правилу умножения двух девушек можно выбрать 14 ·13 = 182 способами, а двух юношей 6·5 = 30 способами. Следует выбрать двух студентов одного пола: двух студентов или студенток. Согласно правилу сложения таких способов выбора будет N =182 + 30 = 212. Типы соединений Множества элементов называются соединениями. Различают три типа соединений: перестановки из n элементов; размещения из n элементов по m; сочетания из n элементов по m (m < n). Перестановки. Число перестановок На практике часто возникают задачи, связанные с установлением порядка во множестве. Например, число мест равно количеству людей, на которых мы должны разместить их. Такая ситуация встречается часто – рассадить n человек на n мест, или приписать каждому человеку номер. Первый человек может выбрать любое из n мест, второй человек выбирает из (n - 1) оставшихся мест, третий человек может выбрать из уже (n - 2) мест, …, предпоследний человек выбирает из 2 мест, последний человек получает последнее место. Мы получаем произведение всех целых чисел от n до 1. В общем виде произведение всех целых чисел от 1 до n включительно обозначают n! = 1·2·3…(n – 2) · (n – 1) · n. Установленный в конечном множестве порядок называют перестановкой его элементов. Определение: Перестановкой из n элементов называется любое упорядоченное множество из n элементов. Иными словами, это такое множество, для которого указано, какой элемент находится на первом месте, какой – на втором, какой- на третьем, …, какой – на n-м месте. Перестановки можно образовывать из элементов любого конечного множества. Число перестановок из n элементов обозначают Рn. Возьмем одноэлементное множество {a}. Ясно, что один элемент можно упорядочить единственным образом, следовательно, Р1 = 1. Перестановки– это такие соединения по n элементам из данных элементов, которые отличаются одно от другого порядком элементов. Возьмем двух элементное множество {a, b}. В нем можно установить два порядка: {a, b} или {b, a}. Следовательно, число перестановок из двух элементов Р2 = 2. Три буквы во множестве {a, b, c} можно расположить, по порядку шестью способами: {a, b, c}{a, c, b}{b, a, c}{b, c, a}{c, b, a}{c, a, b}. Следовательно, общее число способов упорядочения трех элементов множества Р3 = 3 · Р2 = 3 · 2 · 1 = 6. Рn = n · (n - 1) · (n – 2) · … · 2 · 1 = n! Определение: Пусть n - натуральное число. Через n! (читается "эн факториал") обозначается число, равное произведению всех натуральных чисел 1 от до n: n! = 1 · 2 · 3 · ... · n. В случае, если n = 0, по определению полагается: 0! = 1. Пример № 6 Найдем значения следующих выражений: 1! = 1 2! = 1 · 2 = 2 3! = 1 · 2 · 3 = 6 Пример № 7 Чему равно а)Р5 ; б) Р3. Решение. Рn = n! =n · (n - 1) · (n – 2) · … · 2 · 1 Р5=5! = 5 · 4 · 3 · 2 ·1 = 120 Р3=3! = 1 · 2 · 3 = 6 Пример № 8 Упростите а) 7! · 8 = 8! б) 12! · 13 ·14 = 14! в) κ! · (κ + 1) = (κ + 1)! Пример № 9 Сколькими способами можно расставить 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках? Решение. n =8 Р8=8! = 8·7·6·5 · 4 · 3 · 2 ·1 =40320 Размещения. Размещениями из m элементов по n элементов ( n ≤ m ) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m данных разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения. Определение. Размещением из n элементов по m называется любое упорядоченное множество из m элементов, состоящее из элементов n элементного множества. Число размещений из m элементов по n обозначают  (от французского «arrangement» - «размещение») и вычисляют по формуле: Пример № 9 Учащиеся 11-го класса изучают 9 учебных предметов. В расписании учебных занятий на один день можно поставить 4 различных предмета. Сколько существует различных способов составления расписания на один день? Решение. Имеем 9-элементное множество, элементы которого учебные предметы. При составлении расписания мы будем выбирать 4-элементное подмножество (урока) и устанавливать в нем порядок. Число таких способов равно числу размещений из девяти по четыре, то есть A94:  Пример № 10 Сколькими способами из класса, где учатся 24 ученика, можно выбрать старосту и помощника старосты? Решение. Имеем 24-элементное множество, элементы которого ученики класса. При выборах старосты и помощника старосты мы будем выбирать 2-элементное подмножество (ученика) и устанавливать в нем порядок. Число таких способов равно числу размещений из девяти по четыре(m=24, n=2), то есть A242:  Сочетания. Сочетаниями из m элементов по n элементов ( n ≤ m ) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m данных элементов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом. Определение. Сочетанием без повторений из n элементов по m -называется любое m элементное подмножество n -элементного множества Число сочетаний из n элементов по m обозначают  (от французского «combination» - «сочетание») и вычисляют по формуле: Пример № 11 Сколькими способами из класса, где учатся 24 ученика, можно выбрать два дежурных ? Решение. n =24, m=2  5.Формирование умений и навыков в решении комбинаторных задач. При решении комбинаторных задач и выборе типа соединений важно ответить на следующие вопросы: Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? Все ли элементы входят в соединение?
Определить к какому типу относится соединений относится задача. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков? Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? ( да) Все ли элементы входят в соединение? (да) Вывод: перестановка В 9«Б» классе 12 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде? Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (нет) Все ли элементы входят в соединение? (на этот вопрос ответ не нужен) Вывод: сочетания 3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными? Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? ( да) Все ли элементы входят в соединение? (нет) Вывод: размещение Решить задачи: У нас имеется 5 книг. Известно, что у нас всего одна полка, и на ней вмещается лишь 3 книги. Сколькими способами можно расставить на полке 3 книги? Решение. Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? ( да) Все ли элементы входят в соединение? (нет) Вывод: размещение n =5, m=3  Сколькими способами можно расставить 3 тома на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 5 книг? Решение. Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (нет) Все ли элементы входят в соединение? (на этот вопрос ответ не нужен) Вывод: сочетания n =5, m=3  Сколькими способами могут занять I, II, III места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м? Решение. Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (да) Все ли элементы входят в соединение? (нет) Вывод: сочетания n =8, m=3  Вернемся к решению задачи о музыкальном квартете Проказница Мартышка Осёл, Козёл, Да косолапый Мишка Затеяли играть квартет … Стой, братцы стой! – Кричит Мартышка, - погодите! Как музыке идти? Ведь вы не так сидите… И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет. Вот пуще прежнего пошли у них разборы И споры, Кому и как сидеть… Сколько различных вариантов расположения музыкантов возможно? Решение. Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? ( да) Все ли элементы входят в соединение? (да) Вывод: перестановка Рn = n! =n · (n - 1) · (n – 2) · … · 2 · 1 n =4 Р4 = 4! = 4 · 3 · 2 ·1=24 Работа в группе В результате решения заданий учащиеся ответят на вопрос: кто является автором высказывания «Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле»? (русский математик, физик, механик, кораблестроитель Алексей Николаевич Крылов). Задания для групп Первая группа
Вторая группа
Третья группа
Четвертая группа
Таблица кодов  Результаты вычислений
 Ответы к заданиям Задания для первой группы:
Задания для второй группы:
Задания для третьей группы:
Задания для четвертой группы:
6. Домашнее задание Выучить конспект и формулы. С. 321 № 1062 С. 325 №1074,1075 С. 329 №1081 7. Подведение итогов урока Какие типы соединений вы знаете? В чем отличие перестановок и размещений? В чем отличие размещений и сочетаний? | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
-2168
- 3
(подсказка 0!=1)
-3=5
-3=12
