Теория вероятностей и математическая статистика. Калиновский М.А. Контрольная работа. Математика. В. Г. Фарафонов должность, уч степень, звание подпись, дата инициалы, фамилия контрольная работа по дисциплине Математика Теория вероятностей и математическая статистика

• Название: В. Г. Фарафонов должность, уч степень, звание подпись, дата инициалы, фамилия контрольная работа по дисциплине Математика Теория вероятностей и математическая статистика
• Анкор: Теория вероятностей и математическая статистика
• Дата: 14.05.2022
• Размер: 192.92 Kb.
• Имя файла: Калиновский М.А. Контрольная работа. Математика .docx
• Тип: Реферат; #528765
• страница: 2 из 3

𝑃(𝐴)

0,4 * 0,1

⁼ 0,72

0,04

⁼ 0,72

4

⁼ 72

1

⁼ 18

Ответ: 0,72; ¹ .

18

6. 
   Известна вероятность события A: p(A) = 0,8. Дискретная случайная величина ξ – число появлений события A в трех опытах. Требуется построить ряд распределения этой случайной величины, найти ее математическое ожидание M[ξ], дисперсию D[ξ], среднее квадратическое отклонение σ и вероятность попадания в интервал p (|ξ – M[ξ]| <σ).
   

Решение:

Случайная величина ξ может принимать значения: 0,1,2,3. Представим ряд распределения в таблице 1:

Таблица 1 – Ряд распределения случайной величины X.

ξ	0	1	2	3
p	0,008	0,096	0,384	0,512

равно:

𝑃 ⁽£ = 0⁾ = 𝐶⁰ * 0, 8⁰ * 0, 2³ = 1 * 1 * 0,008 = 0,008


3

3
𝑃 ⁽£ = 1⁾ = 𝐶¹ * 0, 8¹ * 0, 2² = 3 * 0,8 * 0,04 = 0,096


3
𝑃 ⁽£ = 2⁾ = 𝐶² * 0, 8² * 0, 2¹ = 3 * 0,64 * 0,2 = 0,384


3
𝑃 ⁽£ = 3⁾ = 𝐶³ * 0, 8³ * 0, 2⁰ = 1 * 0,512 * 1 = 0,512

Найдём математическое ожидание случайной величины ξ:

𝑀 ^[£^] = 0 * 0,008 + 1 * 0,096 + 2 * 0,384 + 3 * 0,512

= 0 + 0,096 + 0,768 + 1,536 = 2,4

Найдём дисперсию случайной величины ξ:

𝐷 ^[£^] = 0² * 0,008 + 1² * 0,096 + 2² * 0,348 + 3² * 0,512 − 2, 4²

= 0 + 0,096 + 1,536 + 4,608 − 5,76 = 0,48

Тогда среднее квадратическое отклонение случайной величины ξ






𝜎 = √𝐷 [£] = √0,48 ≈ 0,693

Найдём заданную вероятность:

𝑃 ^(|£ − 𝑀 ^[£^{] |} <𝜎⁾ = 𝑃 ^(|£ − 2,4^| <0,693⁾ = 𝑃 ⁽−0,693 <£ − 2,4 <0,693⁾

= 𝑃 ⁽−0,693 + 2,4 <£ <0,693 + 2,4⁾ = 𝑃 ⁽1,707 <£ <3,093⁾

= 𝑃 ⁽£ = 2⁾ + 𝑃 ⁽£ = 3⁾ = 0,384 + 0,512 = 0,896

7. 
   Дана плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины ξ
   

ƒ₍⁽𝑥⁾ =

𝐶 ⁽𝑥 + 4⁾, 𝑥 ∈ ^[0; 3<sup>]

{</sup>0, 𝑥 Ø ^[0; 3^]

Найти значение константы С, функцию распределения Fξ(x), вероятность попадания в интервал p (ξ∈ [1, 4]), математическое ожидание M[ξ] и дисперсию D[ξ].

Решение:

Найдём константу из условия нормировки – интеграл по всей плотности равен единице, то есть:

∞

∫ ƒ_£ ⁽𝑥⁾𝑑𝑥 = 1

−∞

Тогда:

3

_𝑥2

9 9 24 33

∫ 𝐶⁽𝑥 + 4⁾𝑑𝑥 = 𝐶 * (

2

0

+ 4𝑥) |³ = 𝐶 * (


0
2

+ 12) = 𝐶 * (₂ +

₂ ) = 𝐶 * ₂

= 1

1 2 2

𝐶 = ₃₃ = 1 * ₃₃ = ₃₃

2

Найдём функцию распределения случайной величины ξ:

𝑥

𝐹_£ ⁽𝑥⁾ = ∫ ƒ_£ ⁽𝑥⁾𝑑𝑥

−∞

0

𝐹_£ ⁽𝑥⁾ = ∫ 0𝑑𝑥 = 0, 𝑥 < 0

−∞

𝑥

2 𝑥²

8𝑥

𝐹_£ ⁽𝑥⁾ = ∫ ₃₃ * ⁽𝑥 + 4⁾𝑑𝑥 = ₃₃ + ₃₃ , 0 𝑥 3

0

𝐹_£ ⁽𝑥⁾ = 1, 𝑥 3

Тогда функция распределения окончательно выглядит так:

0, 𝑥 < 0

𝐹_£

⁽𝑥⁾

_𝑥2

= {

8𝑥

+
, 0 𝑥 3

33 33

1, 𝑥 3

Найдём заданную вероятность, используя функцию распределения случайной величины:

1 8 9 24 8

𝑃⁽£ ∈ ^[1; 4^]) = 𝐹_£⁽4⁾ − 𝐹_£⁽1⁾ = 1 − (₃₃ + ₃₃) = 1 − ₃₃ = ₃₃ = ₁₁


0
Используя функцию плотности, находим математическое ожидание и дисперсию случайной величины ξ:

𝑀^[£^] =

3

2

∫ 𝑥 * ⁽𝑥 + 4⁾𝑑𝑥 =

33

0

3

² ∫⁽𝑥² + 4𝑥⁾𝑑𝑥 =

33

0

2 𝑥³

33 ^{* (} 3
+ 2𝑥²) |³

2

⁼ 33
* ⁽9 + 18⁾ =

2

₃₃ * 27 =

54 18

33 ⁼ 11

𝐷^[£^] =

3

2	∫ 𝑥2 * (𝑥 + 4)𝑑𝑥 − (	18	2	2	∫(𝑥3 + 4𝑥2)𝑑𝑥 −	324
33		11		33		121

0

2

⁼ 33


_𝑥4

* ( ₄


4𝑥³

+ ₃
)


0
) |³ −

= 324

121

3

0

2

⁼ 33

81

* ( ₄

+ 36) −

324


121

2 225

324

177

= ₃₃ *

4 ⁻ 121 ⁼ 242

8. 
   Случайная величина ξ имеет нормальное распределение с математическим ожиданием a=15 и дисперсией σ² =400. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который равна p=0,966.
   

Решение:

Вероятность того, что модуль отклонения случайной величины ξ от своего математического ожидания меньше любого положительного числа, равна:

s