Теория вероятностей и математическая статистика. Калиновский М.А. Контрольная работа. Математика. В. Г. Фарафонов должность, уч степень, звание подпись, дата инициалы, фамилия контрольная работа по дисциплине Математика Теория вероятностей и математическая статистика
 Скачать 192.92 Kb.
|
|
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения» РАБОТА ПРОВЕРЕНА С ОЦЕНКОЙ
РЕФЕРАТ ВЫПОЛНИЛ
Санкт-Петербург 2021 Контрольная работа №3 Вариант 8 1. Бросают игральную кость. Путь событие А – это выпадение нечетного числа, а событие В – выпадение числа большего 1) Что представляют собой события A, B, A𝖴B, A∩B, A\B, B\A? Какие элементы пространства элементарных исходов данного опыта им благоприятствуют? Решение: Событие 𝐴̅ – выпадение чётного числа очков. Благоприятствуют исходы: выпадение 2,4,6 очков. Событие ̅ - выпадение числа очков меньше или равно 1. Благоприятствует один исход – выпадение числа 1. Событие 𝐴 𝖴 – выпадение либо нечётного числа очков, либо числа очков больше 1. Благоприятствуют все возможные исходы при броске одной игральной кости, то есть выпадение 1,2,3,4,5,6 очков. Событие 𝐴 – выпадение нечётного числа очков, при этом данное число очков больше 1. Благоприятствуют исходы: выпадение 3 очков и выпадение 5 очков. Событие 𝐴 – выпадение нечётного числа очков, которое не больше Благоприятствует один исход – выпадение числа 1. Событие 𝐴 – выпадение чётного числа очков, больше единицы. Благоприятствуют исходы: выпадение 2,4,6 очков. Бросают две игральные кости. Найти вероятность события A, когда сумма выпавших очков равна 7, и события B, когда произведение выпавших очков равно 6. Решение: Решим данную задачу, используя формулу классического определения вероятности, которая выглядит так: 𝑚  𝑃(𝐴) =𝑛 В данной формуле: n- количество всех возможных элементарных исходов; количество благоприятствующих событию A исходов. Общее количество исходов равно: 𝑛 = 62 = 36 Событию A благоприятствуют исходы, при которых сумма выпавших очков равна 7, перечислим данные исходы: (1; 6); (6; 1); (2; 5); (5; 2); (3; 4); (4; 3) Всего таких исходов: 𝑚 = 6 Тогда искомая вероятность равна: 𝑚 6 1   𝑃(𝐴) =𝑛 = 36 = 6 Событию B благоприятствуют исходы, при которых произведение выпавших очков равно 6, перечислим данные исходы: (1; 6); (6; 1); (2; 3); (3; 2) Всего таких исходов: 𝑚 = 4 Тогда искомая вероятность равна: 𝑚 4 1Ответ: 𝑃(𝐴)  = ; 𝑃6 (𝐵) 𝑃(𝐵) = 𝑛 = .9 = 36 = 9 Случайным образом выбирают 3 шара из 10, среди которых 7 белых и 3 черных. Найти вероятность того, что среди выбранных окажется два белых шара. Решение: Пусть событие A – среди выбранных трёх шаров окажется два белых шара. Решим данную задачу, используя формулу классического определения вероятности, которая выглядит так: 𝑚 𝑃(𝐴) =𝑛 В данной формуле: количество всех возможных элементарных исходов; m- количество благоприятствующих событию A исходов. Общее количество вариантов равно количеству способов выбрать 3 шара из имеющихся 10 шаров, данное количество способов равно:  𝑛 = 𝐶3 = 10!10!  =8 * 9 * 10 720 = = = 120   10 3! (10 − 3)! 3! 7! 1 * 2 * 3 6 Благоприятствуют исходы, при которых среди выбранных окажется 2 белых шара и 1 чёрный шар, поэтому данное количество исходов равно:  𝑚 = 𝐶2 * 𝐶1 = 7!7! * 3 =6 * 7 * 3 = * 3 = 21 * 3 = 63  7 3 2! (7 − 2)! 2! 5! 1 * 2 Тогда искомая вероятность равна: Ответ: 0,525. 𝑚 𝑃(𝐴) =𝑛 63 = 120 =21 40 = 0,525Два независимых события A и B наступают с вероятностями 0,5 и 0,9 соответственно. Найти вероятность того, что наступит: а) хотя бы одно событие; б) ровно одно событие. Решение: а) Пусть событие C – наступит, хотя одно событие. Противоположным событием к данному является: 𝐶̅ - не наступит ни одно событие. Найдём вероятность противоположного события: 𝑃(𝐶̅) = (1 − 𝑃(𝐴)) * (1 − 𝑃(𝐵)) = (1 − 0,5) * (1 − 0,9) = 0,5 * 0,1 = 0,05 Тогда, учитывая связь между событиями, искомая вероятность равна: 𝑃(𝐶) = 1 − 𝑃(𝐶̅) = 1 − 0,05 = 0,95 б) Пусть событие D – наступит ровно одно событие. Выражая через события A и B, получаем: 𝑃(𝐷) = 𝑃 (𝐴𝐵̅ + 𝐴̅𝐵) = 𝑃(𝐴) * (1 − 𝑃(𝐵)) + (1 − 𝑃(𝐴)) * 𝑃(𝐵) = 0,5 * (1 − 0,9) + (1 − 0,5) * 0,9 = 0,5 * 0,1 + 0,5 * 0,9 = 0,05 + 0,45 = 0,5 Ответ: а) 0,05; б) 0,5. В группе 20 студентов: 2 отличника, 10 хорошистов, 6 троечников и 2 двоечника. Отличники учат 100% экзаменационных билетов, хорошисты – только 80%, троечники – 60% и двоечники – только 40%. Найти вероятность того, что взятый наугад студент этой группы сдаст экзамен? Если некий студент данной группы сдал экзамен, то какова вероятность того, что он являлся одним из двух двоечников? Решение: Пусть событие A – взятый наугад студент группы сдаст экзамен. Введём гипотезы: H1-студент – отличник; H2-студент – хорошист; H3-студент – троечник; H4-студент – двоечник. Исходя из условия, известны вероятности: 𝑃(𝐻1) = 2 1 20 = 1010 1 = 0,1 𝑃(𝐻2) = 𝑃(𝐻3) =20 = 2 6 3 == 0,5 = 0,3 𝑃(𝐻4) = 20 10 2 1 20 = 10= 0,1 𝑃(𝐴|𝐻1) = 1 𝑃(𝐴|𝐻2) = 0,8 𝑃(𝐴|𝐻3) = 0,6 𝑃(𝐴|𝐻4) = 0,4 Тогда по формуле полной вероятности получаем, что: 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴|𝐻1) * 𝑃(𝐻1) + 𝑃(𝐴|𝐻2) * 𝑃(𝐻2) + 𝑃(𝐴|𝐻3) * 𝑃(𝐻3) + 𝑃(𝐴|𝐻4) * 𝑃(𝐻4) = 1 * 0,1 + 0,8 * 0,5 + 0,6 * 0,3 + 0,4 * 0,1 = 0,1 + 0,4 + 0,18 + 0,04 = 0,72 Вероятность того, что сдавший экзамен студент, является студентом – двоечником, является апостериорной. Поэтому, используя формулу Байеса, получаем: 𝑃(𝐻4|𝐴) = 𝑃(𝐴|𝐻4) * 𝑃(𝐻4) |