задачи по инфо с разбором. В жизни мы часто сталкиваемся с людьми, которые говорят только правду и с людьми, которые любят пошутить
![]()
|
В жизни мы часто сталкиваемся с людьми, которые говорят только правду и с людьми, которые любят пошутить. ![]() Чтобы узнать правдивость тех или иных высказываний можно использовать разные способы. Сегодня на уроке мы с вами научимся выяснять правду на примере некоторых задач с помощью таблицы истинности, логических операций и законов алгебры логики. Итак, давайте рассмотрим первую задачу. Ученики писали контрольную работу по физике. На контрольной работе из-за болезни не было трёх ребят: Пети, Жени и Саши. ![]() ![]() ![]() Им пришлось писать контрольную работу отдельно от всего класса. Петя сказал, что он не написал на 5 и Женя не написал на 5. Женя сказал, что Петя не написал на 5, а Саша написал на 5. Саша сказал, что он не написал на 5, а Петя написал на 5. После проверки работ стало известно, что только один из учащихся написал контрольную работу на 5. Оказалось, что один из учеников был прав, второй нет, а третий в одном утверждении прав, а во-втором – нет. Давайте узнаем кто был прав, и кто написал контрольную на пять? Перейдём к решению. Обозначим каждого из мальчиков первыми буквами их имён. ![]() ![]() ![]() Так как у нас сказано, что только один из мальчиков написал на пять, то предположим следующее: П = «Петя написал на 5». Ж = «Женя написал на 5». С = «Саша написал на 5». Давайте для решения этой задачи составим таблицу истинности. Она будет состоять из 9 столбцов, которые будут содержать имена трёх мальчиков и их высказываний. ![]() Высказываний у нас 6: П1 = «Петя не написал на 5». П2 = «Женя не написал на 5». Ж1 = «Петя не написал на 5». Ж2 = «Саша написал на 5». С1 = «Саша не написал на 5». С2 = «Петя написал на 5». Для удобства над каждым высказыванием подпишем, кто это говорил. Если какое-то высказывание является отрицательным, то его будем обозначать знаком инверсии. ![]() Далее нужно определиться с количеством строк. Так как 5 получил только один из трёх учащихся, то для того, чтобы узнать, кто это был, достаточно фрагмента таблицы. В нём будут содержаться следующие наборы входных значений: 0 0 1 0 1 0 1 0 0 Введём их в нашу таблицу. ![]() Если внимательно посмотреть на первых три столбца, то мы можем увидеть, что предполагается, что один из учащихся написал контрольную на 5, в то время, как два других не написали на 5. Идём дальше. Петя уверен, что он не написал на 5. Применяем инверсию к первому столбцу и запишем данные в четвёртый. ![]() Дальше Петя сказал, что Женя не написал на 5. В этом случае будем применять инверсию к данным из второго столбца. ![]() Шестой столбец заполним исходя из высказывания Жени, что Петя не написал на 5 и применим инверсию к первому столбцу. ![]() Далее Женя уверен, что Саша написал на 5. Перепишем данные из третьего столбца в седьмой. ![]() Аналогично заполним два оставшихся столбца. ![]() Так как у нас известно, что один из учащихся был прав, второй – нет, а третий лишь на половину, то нам нужно искать строку, в которой в любом порядке содержатся комбинации значений 00, 11, 01 или 10. Это третья строка нашей таблицы. ![]() Исходя из этой строки можно сделать вывод, что Петя получил 5 за контрольную по физике, а прав был в своих утверждениях Саша. Решим ещё одну задачу с помощью логических операций и законов алгебры логики. Три учителя решили выяснить, кто бегал по корриду на перемене и разбил вазон с цветком. Ирина Николаевна утверждает, что это был восьмиклассник в красной рубашке. ![]() Анна Семёновна сказала, что это был шестиклассник в синей рубашке. ![]() А Алексей Александрович видел, что это был учащийся седьмого класса, но точно не в красной рубашке. ![]() Когда виновника нашли, выяснилось, что каждый из учителей описал верно только один признак, по которому можно было узнать, кто это был, а со вторым – ошибся. Из какого класса был ученик, и во что он был одет? Перейдём к решению. Для начала запишем каждое высказывание и обозначим его при помощи переменных. Получим следующее: А = «Ученик был в красной рубашке». B = «Это был учащийся восьмого класса». С = «Учащийся был одет в синюю рубашку». D = «Это был учащийся шестого класса». Е = «Это был учащийся седьмого класса». Со слов Ирины Николаевны следует, что A V B истинно, то есть A V B = 1. Со слов Анны Семёновны следует, что C V D истинно, то есть C V D = 1. А со слов Алексея Александровича следует, что Ā V E также истинно, то есть Ā V E = 1. Следовательно, будет истинна конъюнкция всех трёх выражений: (A V B) & (C V D) & (Ā V E) = 1. Раскроем первых две скобки, используя распределительный (дистрибутивный) закон, заменим конъюнкцию знаком умножения, а дизъюнкцию – знаком сложения. Получим следующее: (A · C + A · D + B · C + B · D) · (Ā + E) = 1. Раскроем оставшиеся скобки: A · C · Ā + A · D · Ā + B · C · Ā + B · D · Ā + A · C · E + A · D · E + B · C · E + B · D · E = 1. Мы получили 8 слагаемых, сумма которых равных 1. Давайте рассмотри каждое из них. Первое: A · C · Ā. Исходя из пятого закона исключённого третьего, первое слагаемое будет ложным, так как A и Ā дают сами по себе ложный результат. Соответственно всё это выражение становится ложным: A · C · Ā = 0. Аналогично и со вторым выражением: A · D · Ā = 0. Оно также ложно. Следующее выражение: B · C · Ā. В – говорит о том, что учащийся был восьмого класса. С – учащийся был одет в синюю рубашку. Ā – ученик был не в красной рубашке. Это говорит о том, что третье выражение является истинным, так как ничто и ничему не противоречит. Обведём его. Далее B · D · Ā. В – говорит о том, что учащийся был восьмого класса. D – учащийся был из шестого класса. Ученик не может одновременно учиться и в восьмом и в шестом классе. Значит наше выражение ложно: B · D · Ā= 0. A · C · E также ложно: A · C · E = 0. Учащийся не может быть одновременно в синей и красной рубашках. Выражение A · D · E = 0, то есть ложно. Ученик не может учится и в шестом и в седьмом классах. Остальные выражения также ложны: B · C · E = 0. B · D · E = 0. У нас получилось одно единственное истинное высказывание: B · C · Ā = 1. Из последнего равенства можно сказать, что: В = 1; С = 1; Ā = 1. Это говорит о том, что истинными будут выражения: «Это был учащийся восьмого класса»; «Учащийся был одет в синюю рубашку»; «Ученик был не в красной рубашке». Ответ на задачу будет такой: это был ученик восьмого класса в синей рубашке. Для закрепления давайте решим ещё две задачи. Задача три: одиннадцатиклассники Лёша, Руслан и Андрей руководили математическим кружком учащихся третьих классов. ![]() На одном из занятий они предложили ребятам решить логическую задачу, которую составил один из них. На вопрос, кто же составил задачу, каждый дал свой ответ. Андрей: «Я не составлял. Руслан не составлял». ![]() Руслан: «Андрей не составлял. Задачу составил Лёша». ![]() Лёша: «Я не составлял. Задачу составил Андрей». ![]() Известно, что один из них оба раза говорил правду (назовём его правдивым), второй оба раза сказал неправду (назовём его шутником), третий – один раз сказал правду, а второй раз – неправду (назовём его хитрецом). Необходимо назвать имена правдивого, шутника и хитреца. А также того, кто составил задачу. Перейдём к решению. И снова составим таблицу истинности. Она будет состоять из 9 столбцов, которые будут содержать первые буквы имён трёх мальчиков и их высказываний. ![]() Высказываний у нас 6: Л1 = «Лёша не составлял». Л2 = «Задачу составил Андрей». Р1 = «Андрей не составлял». Р2 = «Задачу составил Лёша». А1 = «Андрей не составлял». А2 = «Руслан не составлял». Для удобства над каждым высказыванием подпишем, кто это говорил. Если какое-то высказывание является отрицательным, то будем обозначать знаком инверсии. ![]() Количество строк в таблице будет равно 3, так как задачу составлял только один из трёх учащихся. То есть для того, чтобы узнать, кто это был, достаточно фрагмента таблицы. ![]() В нём будут содержатся следующие наборы входных значений: 0 0 1 0 1 0 1 0 0 Введём их в нашу таблицу. ![]() Так как задачу составил один из учащихся, то у каждого учащегося в столбце будет стоять одна единица и два нуля. Если посмотреть по строкам или столбцам, то единица встречается один раз, а ноль – два. Идём дальше. Лёша сказал, что не он составлял задачу. Применяем инверсию к первому столбцу и запишем данные в четвёртый. ![]() Дальше Лёша сказал, что Андрей составлял задачу. Перепишем данные из третьего столбца в пятый. ![]() Аналогично заполняем всю таблицу. ![]() Так как у нас известно, что один из учащихся был прав, второй – нет, а третий лишь на половину, то нам нужно искать строку, в которой в любом порядке содержатся комбинации значений 00, 11, 01 или 10. Это первая строка нашей таблицы. ![]() Исходя из этой строки можно сделать вывод, что Андрей составил задачу. Имя правдивого – Лёша, шутника – Руслан, а хитреца – Андрей. Мы с вами решили задачу с использованием таблицы истинности. Задача 4. Витя, Рома и Артём ходили на рыбалку. ![]() Они поймали одну рыбу. Придя домой каждый из них сказал бабушке следующее: Витя: «Это карась длиной 7 сантиметров». ![]() Рома: «Это щука длиной 10 сантиметров». ![]() Артём: «Это не карась длиной 5 сантиметров». ![]() После того, как бабушка посмотрела в ведро с рыбой, она сказала, что каждый из них сказал правду только один раз. Второе же предположение было ложно. Какую рыбу поймали мальчики и какой длины? Переходим к решению. Обозначим каждое высказывание при помощи переменных. Получим следующее: А = «Карась». B = «Семь сантиметров». C = «Щука». D = «Десять сантиметров». Е = «Пять сантиметров». Со слов Вити выходит, что A V B истинно, то есть A V B = 1. Со слов Ромы – C V D истинно, то есть C V D = 1. Со слов Артёма – Ā V E истинно, то есть Ā V E = 1. Из этого можно прийти к выводу, что будет истинна конъюнкция всех трёх выражений, и она будет равна единице: (A V B) & (C V D) & (Ā V E) = 1. Теперь давайте упростим наше выражение и раскроем первые две скобки, используя распределительный (дистрибутивный) закон, а также заменим конъюнкцию знаком умножения, а дизъюнкцию – знаком сложения. Получим следующее: (A · C + A · D + B · C + B · D) · (Ā + E) = 1. А теперь раскроем все скобки: A · C · Ā + A · D · Ā + B · C · Ā + B · D · Ā + A · C · E + A · D · E + B · C · E + B · D · E = 1. У нас получилось 8 выражений. Давайте каждое из них рассмотрим в отдельности. A · C · Ā будет ложным, так как рыба не может одновременно быть карасём и не быть им. Далее A · D · Ā также будет ложным. B · C · Ā будет истинным, так как исходя из этого выражения следует, что мальчики словили щуку, 7 сантиметров и это не карась. B · D · Ā будет ложно. Так как рыба не может быть равна 7 и 10 сантиметров одновременно. При рассмотрении оставшихся выражений мы можем увидеть, что все они ложны: A · C · E = 0. A · D · E = 0. B · C · E = 0. B · D · E = 0. Мы с вами получили выражение B · C · Ā = 1. Это говорит о том, что истинными будут выражения: «7 сантиметров»; «Щука»; «Не карась». Ответ на задачу следующий: это была щука длиной 7 сантиметров. Пришла пора подвести итоги урока. Сегодня мы научились решать логические задачи с помощью таблиц истинности, а также логических операций и законов алгебры логики. |