Основные понятия алгебры логики. Высказывания. Под высказыванием
![]()
|
«5 есть простое число». Это высказыванием является истинным. «4+х=6». Это уравнение не является высказыванием. Однако, придавая переменной х определенное числовое значение, получим высказывание. «роза – цветок». Это высказывание является истинным. «все углы – прямые». Это высказывание является ложным. «3+5=9». Это высказывание является ложным. Из высказываний «х>2», «х<3» при помощи связки иможно получить высказывание «x>2 и х<3»; из высказываний «у>10», «х<3» при помощи связки илиможно получить высказывание «у>10 или х<3»;
Примечание:АиВявляются высказываниями. Инверсия Пример: Дано высказываниеА=<Киев-столица Франции>. Тогда не А=«неКиев-столица Франции». Высказываниене Аозначает – не верно, что А, т.е. не верно, что <Киев-столица Франции>. Конъюнкция Результатом операции конъюнкции для высказывания АВбудет истина только тогда, когда истинны одновременно оба высказывания. Пример: Даны высказыванияА=«Москва – столица России» иВ=«Рим – столица Италии». Сложное высказывание АВ=«Москва – столица РоссиииРим – столица Италии» истинно, так как истинны оба высказывания. Дизъюнкция Результатом операции дизъюнкции для высказыванияАВбудет истина тогда, когда истинно хотя бы одно высказывание, входящее в него. Пример: Даны высказыванияА=«2+3=5» иВ=«3+3=5». Сложное высказывание АВ=«2+3=5или3+3=5» истинно, так как истинно высказываниеА. Эквиваленция Результатом операции эквиваленции для высказыванияАВбудет истина тогда, когда истинны или ложны одновременно оба высказывания. Отличие эквиваленции от конъюнкции состоит в том, что вне зависимости от смысла, равнозначными являются как истинные, так и ложные высказывания. Пример: Даны высказыванияА=«2+2=7» иВ=«1–8=5». Сложное высказывание АВ=«2+2=7тогда и только тогда, когда1–8=5» истинно, так как оба высказывания ложны. Импликация Результатом операции импликации для высказыванияАВбудет ложь только тогда, когда первое высказывание (А) истинно, а второе (В) ложно. При этомА– предпосылка, аВ– следствие. В остальных случаях результатом операции всегда будет истина. Пример: Даны высказыванияА=«2+2=4» иВ=«1–8=5». Сложное высказывание АВ=«если2+2=4,то1–8=5» ложно, так как высказывание А истинно, а В – ложно. Антиконъюнкция Результатом операции антиконъюнкции для высказывания АВбудет ложь только тогда, когда оба высказывания истинны. В остальных случаях результатом операции всегда будет истина. Пример: Даны высказыванияА=«Москва – столица России» иВ=«Рим – столица Италии». Сложное высказывание АВ=«неверно, чтоМосква–столица РоссиииРим–столица Италии» ложно, так как истинны оба высказывания. Антидизъюнкция Результатом операции антидизъюнкции для высказывания АВбудет истина только тогда, когда оба высказывания ложны. В остальных случаях результатом операции всегда будет ложь. Пример: Даны высказыванияА=«Рим – столица России» иВ=«Москва – столица Италии». Сложное высказывание АВ=«ниРим–столица России,ниМосква–столица Италии» истинно, так как ложны оба высказывания. Связки и частица «не» рассматриваются в алгебре логики как операции над величинами, принимающими значения 0 (ложь/false) и 1(истина/true), и результатом применения этих операций также являются числа 0 или 1. В алгебре логики логические операции чаще всего описываются при помощи таблиц истинности. В таблице 1.3 представлена таблица истинности для операции отрицания(инверсия). Таблица истинности для операции «отрицания» Таблица 1.3
Пример: Дана переменнаяА=1 (истина). После применения операции инверсии для переменнойАее значение станет равным0 (ложь). В таблице 1.4 представлены все наборы значений переменных АиВи значения операций на этих наборах. Таблица истинности для основных бинарных логических операций |