Лекция 2. V над полем р называется упорядоченная система

• Название: V над полем р называется упорядоченная система
• Дата: 21.02.2022
• Размер: 337.41 Kb.
• Имя файла: Лекция 2.pdf
• Тип: Лекция; #369311

Пихтилькова О.А., кафедра ВМ-2 1 Лекция 2. Линейная зависимость и независимость системы векторов в линейном пространстве. Базис линейного пространства Понятие линейной зависимости и независимости системы векторов. Геометрический смысл линейной зависимости и независимости для системы геометрических векторов. Определение базиса и размерности линейного пространства. Теорема о разложении вектора по базису. Координаты вектора. Линейные операций над векторами в координатах. Базис и координаты в линейном пространстве Определение Базисом линейного пространства V над полем Р называется упорядоченная система
(1) элементов этого пространства, удовлетворяющая следующим условиям
1.
, такие, что
(2) То есть любой вектор пространства V есть линейная комбинация векторов системы (1).
2. Система (1) линейно независима. Если система (1) удовлетворяет только одному первому условию, то она называется системой образующих линейного пространства V. Таким образом, базис линейного пространства это его линейно независимая система образующих.
Числа в равенстве (2) называются координатами вектора в базисе, а равенство (2) – разложением вектора по базису (1). Таким образом, координаты вектора в данном базисе – это коэффициенты в разложении этого вектора по базису. Примеры
1. В пространстве свободных векторов мы назвали базисом любую упорядоченную тройку некомпланарных (те. линейно независимых) векторов и показали, что всякий вектор можно поэтому базису разложить. Таким образом, мы видим, что понятие базиса в произвольном линейном пространстве – это обобщение понятия базиса в пространстве свободных векторов.
2.
Так как
, то ( ) - линейно независима. Кроме того,
, а значит, система ( ) является и системой образующих и, поэтому, базис. Таким образом, (1,
i) – линейно-независимая система образующих в C над R. Значит – это и базис.
)
,
,
,
(
2 1
n
e
e
e




n
i
x
x
x
x
x
i
n
,
1
,
),
,
,
,
(
2 1
=
∈
∃
∈
∀
P
V


2 2
1 1
n
n
e
x
e
x
e
x
x





+
+
+
=
)
,
,
,
(
2 1
n
x
x
x

x

x

1
,
,
1
=
=
=
e
C
P
C
V
0 1
≠
e
1
e
1
ze
z
z
=
∈
∀
C
1
e
,1
,
,
2 1
i
e
e
=
=
=
=
R
P
C
V
bi
a
z
z
+
=
∈
∀
C
2 1
be
ae +
=

Пихтилькова О.А., кафедра ВМ-2 2
4.
(3) Тогда следовательно, (3) – система образующих пространства
. Эта система линейно независима, значит, она является и базисом линейного пространства
5. Базисом в пространстве является фундаментальная система решений.
6.
,
(4) Очевидно поэтому (4) – система образующих пространства
. Система (4) линейно независима , следовательно она является базисом пространства
. Этот базис будем называть каноническим. Свойства координат векторов
1. Если все координаты вектора в некотором базисе равны нулю, то этот вектор – нулевой. Доказательство очевидным образом вытекает из аксиом линейного пространства и следствий к ним
. ◄
2. Все координаты нулевого вектора в любом из базисов равны нулю. Пусть
(
) - (5) базис линейного пространства ,
(6)
=
=
×
(R)
M
V
2
2
,
,
,
,
,
R
P
R
=






∈






=
d
c
b
a
d
c
b
a
A
,
1 0
0 0
;
0 1
0 0
;
0 0
1 0
;
0 0
0 1
4 3
2 1






=






=






=






=
e
e
e
e
∈






=
∀
d
c
b
a
A
(R)
M
2
2×
,
4 3
2 1
de
ce
be
ae
A
+
+
+
=
(R)
M
2
2×
(R)
M
2
2×
реш.
V
(
)
{
}
n
i
x
x
x
x
x
i
n
,1
,
,
,
,
2 1
=
∈
=
=
=
R
R
V
n


(
)
(
)
(
)
(
)
1,
0
,
,
0
,
0
;
0
,1
,
,
0
,
0
;
;
0
,
0
,
,1
,
0
;
0
,
0
,
,
0
,1 1
2 1









=
=
=
=
−
n
n
e
e
e
e
,
)
,...,
,
(
2 2
1 1
2 1
n
n
n
e
x
e
x
e
x
x
x
x
x
x






+
+
+
=
∈
=
∀
n
R
n
R
n
R
0 0
0 0
0 0
2 1








+
+
+
=
+
+
+
n
e
e
e
n
e
e
e




,
,
,
2 1
V
−
=
+
+
+
0 2
2 1
1





n
n
e
x
e
x
e
x

Пихтилькова О.А., кафедра ВМ-2 3 разложение нулевого вектора по базису (5). В силу линейной независимости (5) из (6) вытекает, что
. ◄
3. Координаты вектора в данном базисе определяются однозначно.
► Пусть некоторый вектор в базисе (5) имеет два разных набора координат и
. Тогда
(
)= аксиомы 1*,2* и 6* из определения линейного пространства
=
(7) Равенство (7) – это разложение по базису (5) нулевого вектора, и поэтому, все коэффициенты разложения равны нулю, следовательно,
, что противоречит условию.
◄
4. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются.
► Пусть заданы векторы своими координатами в базисе (5), и пусть
Тогда
(8) Равенство (8) – это разложение вектора по базису (5), следовательно, коэффициенты разложения – координаты вектора в базисе (5). В силу единственности координат вектора в данном базисе, получаем
◄
5. Приумножении вектора на число все его координаты умножаются на это число. Свойство доказывается точно также, как и предыдущее. Самостоятельно.
0 2
1
=
=
=
=
n
x
x
x

x

)
,
,
(
2 1
n
x
x
x

)

,

,

(
2 1
n
x
x
x

=
−
=
x
x



0
−
+
+
+
n
n
e
x
e
x
e
x




2 2
1 1
n
n
e
x
e
x
e
x







2 2
1 1
+
+
+
)

(
)

(
)

(
2 2
2 1
1 1
n
n
n
e
x
x
e
x
x
e
x
x




−
+
+
−
+
−
,

i
i
x
x =
n
i
,
1
=
)
,
,
,
(
);
,
,
,
(
2 1
2 1
n
n
y
y
y
y
x
x
x
x




).
,
,
,
(
2 1
n
z
z
z
z
y
x




=
+
=
+
+
+
+
+
+
+
=
+
=
)
(
)
(
2 2
1 1
2 2
1 1
n
n
n
n
e
y
e
y
e
y
e
x
e
x
e
x
y
x
z











)
(
)
(
)
(
2 2
2 1
1 1
n
n
n
e
y
x
e
y
x
e
y
x




+
+
+
+
+
+
=
z

z

,
1
,
n
i
y
x
z
i
i
i
=
+
=

Пихтилькова О.А., кафедра ВМ-2 4 Матричный критерий линейной зависимости и независимости Пусть в линейном пространстве V задан некоторый базис, тогда каждый вектор можно разложить поэтому базису.
Координатным столбцом вектора в заданном базисе будем называть столбец
, составленный из координат вектора в этом базисе.
Лемма. Для того чтобы векторы были линейно зависимыми необходимо и достаточно, чтобы их координатные столбцы в некотором базисе были линейно зависимыми.
► Пусть заданы векторы
, (9)
- их координатные столбцы в некотором базисе. Одновременно проводим доказательство и необходимости, и достаточности. Получаем
{(9) линейно зависима
, не все равные нулю, что
, не все равные нулю, что столбцы линейно зависимы Теорема (матричный критерий Для того чтобы система векторов была линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов в некотором базисе, был меньше количества векторов.
x

)
,
,
,
(
2 1
n
x
x
x
x


T
n
x
x
x
X
]
[
2 1

=
x

m
x
x
x




,
,
,
2 1
m
j
x
x
x
X
T
n
j
j
j
j
,
1
,
]
[
2 1
=
=

⇔
m
λ
λ
λ
∃
⇔
,
,
,
{
2 1

}
0 2
2 1
1





=
λ
+
+
λ
+
λ
m
m
x
x
x
⇔
⇔
















=
λ
+
+
λ
+
λ
=
λ
+
+
λ
+
λ
=
λ
+
+
λ
+
λ
λ
λ
λ
∃
⇔
0
,
0
,
0
,
,...,
,
2 2
1 1
2 2
2 2
2 1
1 1
1 2
2 1
1 1
2 1
что
0,
равные все не 1

}
2 2
1 1
O
X
X
X
m
m
=
λ
+
+
λ
+
λ

⇔
m
X
X
X
,
,
,
2 1


Пихтилькова О.А., кафедра ВМ-2 5 Размерность линейного пространства Определение Число n называется размерностью линейного пространства V, а само пространство V называется мерным, если в V существует линейно независимая система из n векторов, а любая система из (n+1)- го вектора линейно зависима. Пространство считается мерным. Следствие. В мерном пространстве любая система из m векторов при m>n линейно зависима.
Размерность линейного пространства V сокращенно обозначается
. Если
, то пространство будем обозначать
. Линейные n – мерные пространства называются конечномерными Определение. Линейное пространство V называется бесконечномерным, если в V найдется линейно независимая система из n векторов. Примеры линейное пространство непрерывных на данном промежутке функций, множество всех многочленов. Теорема 1. Для того чтобы линейное пространство V было мерным необходимо и достаточно, чтобы в нем существовал базис, состоящий из n векторов.
► Достаточность Дано в пространстве V существует базис из n векторов
(
). (1) Тогда весть линейно независимая система из n векторов (это система (1)). Покажем, что любая система из (го вектора в этом пространстве линейно зависима. Выберем одну из них
(
). (2) Каждый вектор системы (2) можно разложить по базису (1). Обозначим
- координатные столбцы векторов системы (2) в базисе
(1). Тогда так как эта матрица имеет только n строк. По матричному критерию, система (2) линейно зависима и, таким образом, Необходимость Дано
. Согласно определению, в пространстве существует линейно независимая система из элементов. Пусть
(
) - (3)
}
0
{

V
dim
n
=
V
dim
n
V
N
∈
∀
n
n
e
e
e




,
,
,
2 1
1 2
1
,
,
,
,
+
n
n
x
x
x
x





1
,1
,
]
[
2 1
+
=
=
n
j
x
x
x
X
T
n
j
j
j
j

[
]
1
rang
1 2
1
+
<
≤
+
n
n
X
X
X
n

n
=
V
dim
n
=
V
dim
V
n
n
e
e
e




,
,
,
2 1

Пихтилькова О.А., кафедра ВМ-2 6 одна из таких систем. Но система
(
) (4) линейно зависима. Тогда вектор можно представить в виде линейной комбинации векторов системы (3), те. Таким образом, (3) – система образующих пространства V, а значит, и его базис. ◄ Замечание При доказательстве необходимости мы одновременно показали, что в n- мерном пространстве любая линейно независимая система из n векторов является базисом.
Вывод размерность линейного пространства совпадает с количеством векторов в любом из его базисов.
Используя примеры базисов, можно утверждать, что
,
,
,
,
,
. Упражнение Докажите, что
Теорема 2. В мерном линейном пространстве любую линейно независимую систему из m векторов при m<n можно дополнить до базиса пространства.
Пусть
(6) линейно независимая система пространства
. Предположим, что система линейно зависима. Тогда, на основании свойства 4º (лекция 1), вектор можно выразить через векторы системы (6), поэтому (6) - система образующих, а значит, и базис пространства
, следовательно,
, что противоречит условию. Таким образом, такой, что система
(7) линейно независима. Если m+1=n, то (7) – базис пространства
. В противном случае с системой (7) поступаем также, как и с системой (6). После конечного числа шагов получаем базис пространства
.◄
V
∈
∀
x

x
e
e
e
n





,
,
,
,
2 1
x

2 2
1 1
n
n
e
x
e
x
e
x
x





+
+
+
=
3
dim
=
3
V
1
dim над над rang dim реш
−
=
V
n
n
2
)
dim(
,
)
dim(
над над 1




n
V
n
V
∈
∀
x

(
)
x
e
e
e
m




,
,...,
,
2 1
x

n
V
m
=
n
V
dim
n
V
∈
∃
+
1
m
e

(
)
1 2
1
,
,...,
,
+
m
m
e
e
e
e




n
V
n
V

Пихтилькова О.А., кафедра ВМ-2 7
Преобразования базисов и координат Определение матрицы перехода. Пусть в линейном пространстве заданы два базиса
(1) и
(2) принадлежность вектора второму базису отмечается штрихом, те, например,
- пятый вектор второго базиса. Тогда каждый из векторов второго базиса можно разложить попер- вому. В этом случае все координаты будем обозначать одной и той же ключевой буквой t с двумя индексами, нижний индекс будет обозначать номер текущего вектора, а верхний - номер координаты. Таким образом, получаем систему
(3) Систему равенств (3) можно сокращенно записать одним равенством
(4) Введем следующие обозначения
(матрицы-строки), Тогда, систему (3) можно записать в матричном виде
. (5) Матрицей перехода от базиса (1) к базису (2) называется матрица Т, столбцами которой являются координатные столбцы векторов второго базиса в первом базисе, те. матрица, удовлетворяющая системе равенств (3) или (4), либо одному матричному равенству
Пихтилькова О.А., кафедра ВМ-2 8 Свойства матрицы перехода
1. Матрица перехода от одного базиса к другому определяется однозначно. Вытекает из того, что она состоит из координатных столбцов векторов одного базиса в другом
2. Матрица перехода всегда невырождена. На основании матричного критерия линейной независимости
3. Если Т – невырожденная квадратная матрица го порядка и
- (6) некоторый базис пространства
, тов существует базис
(7) такой, что Т – матрица перехода от (6) к (7). Пусть
Положим
(то есть - вектор, чей координатный столбец в базисе (6) совпадает см столбцом матрицы Т. Тогда (7) – линейно независимая система на основании матричного критерия, а значит, в является базисом. Из определения матрицы перехода вытекает, что Т – матрица перехода от (6) к (7).◄
4. Матрица перехода от базиса к нему самому является единичной. Доказательство вытекает из равенства
.◄
5. Если Т-матрица перехода от базиса (6) к базису (а - матрица перехода от (7) к базису
, (8) то матрицей перехода от (6) к (8) является матрица Действительно,
,
, и поэтому,
, и утверждение вытекает из определения матрицы перехода
6. Если Т-матрица перехода от (6) кто матрицей перехода от (7) к (6) является
►(5)
, и утверждение опять вытекает из определения матрицы перехода
Пихтилькова О.А., кафедра ВМ-2 9 Изменение координат вектора при изменении базиса. Пусть в линейном пространстве по-прежнему заданы два базиса (6) и (7). Выберем в произвольный вектор
. Его можно разложить как по одному базису, таки по другому и Тогда
. (9) Равенство (9) - это разложение вектора по базису (1), и поэтому, в силу единственности координат вектора в данном базисе, получаем
. (10) Обозначим координатные столбцы вектора в базисах (1) и (2) соответственно
(
,
). Тогда (10) равносильно равенству
, из которого вытекает, что
. (11) Формулы (10) и (11) показывают, как изменяются координаты вектора при изменении базиса. Равенство (11) можно доказать итак Таким образом,
– координатный столбец вектора в базисе (6), и поэтому они совпадает с .
n
V
n
V
x

i
i
e
x
x

 =
i
i
e
x
x
′
′
=


( ) ( )
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
e
t
x
e
t
x
e
x
x




′
′
′
′
′
′
=
=
=
=
)]
4
[(
x

'
'
i
i
i
i
x
t
x =
[
]
[
]
−
=
=
′
′
′
T
n
T
n
x
x
x
X
x
x
x
X


2 1
2 1
'
,
x

)
(
)
(
1
i
i
x
x
X
=
=
)
(
)
(
1
i
i
x
x
X
′
′
=
=
′
1 1
i'
i
i'
i
x
t
x =
X
T
X
′
=
[ ]
( )
[ ] [ ]
(
)
[ ]
( )
X
T
e
X
T
e
X
e
x
′
=
′
=
=
′
′
=




5
( )
X
T ′
x

X