В настоящее время главное направление модернизации Российского образования обеспечить его новое качество
 Скачать 0.71 Mb.
|
 , и мгновенное ускорение в момент: В стандартных математических обозначениях  , т.е. мгновенная скорость, есть производная от перемещения по времени, а мгновенное ускорение — производная от скорости по времени. Второй закон Ньютона в уточненной редакции утверждает: ускорение, с которым движется тело в данный момент времени, пропорционально действующей на него в этот момент силе и обратно пропорционально имеющейся в данный момент у тела массы: (1)разные записи этого утверждения. Приведенное рассуждение является типичным для этой темы обоснованием перехода от дискретного к непрерывному. Далее отмечаем, что при реальных физических движениях тел в газовой или жидкостной среде трение накладывает огромный отпечаток на характер движения. Очевидно, что предмет, сброшенный с большой высоты (например, парашютист, прыгнувший с самолета), вовсе не движется равноускоренно, так как по мере набора скорости возрастает сила сопротивления среды. Поясните учащимся, что закономерности, связывающие силу сопротивления со скоростью движения тела, носят эмпирический характер и отнюдь не имеют столь строгой и четкой формулировки, как второй закон Ньютона. Приведите эти закономерности (при этом вполне достаточно ограничиться линейной и квадратичной по скорости составляющими силы сопротивления:  Рассмотрим свободное падение с учетом сопротивления среды. Математическая модель движения — это уравнение второго закона Ньютона с учетом двух сил, действующих на тело — силы тяжести и силы сопротивления среды, движение является одномерным; проецируя векторное уравнение на ось, направленную вертикально вниз, получаем:  (2)При выводе уравнения целесообразно изобразить на рисунке силы, действующие на тело; это будет способствовать наилучшему восприятию полученного уравнения и не вызовет дополнительных вопросов. Вопрос, который следует обсуждать на первом этапе, таков: каков характер зависимости скорости от времени, если все параметры, входящие в последнее уравнение, заданы? При такой постановке модель носит сугубо дескриптивный характер. На этом этапе возникает вопрос о способах решения дифференциальных уравнений. Очевидный ответ: универсальные методы их решения — численные. для начала вполне достаточно ограничиться методом Эйлера. Проводим следующее рассуждение: если на основании определения производной заменить ее в уравнении (2) конечно-разностным отношением  то, зная скорость v0 в начальный момент времени t = О и обозначив ее как v1 в момент Δt, перепишем уравнение в виде (3)Если далее понимать под v1 приближенное значение скорости в момент Δt, то получим формулу для вычисления v 1:  (4)Это и есть формула метода Эйлера. далее рассуждение ведется по индукции. Располагая значением v1 можно, отталкиваясь от него, найти v2 и т.д. Общая формула метода Эйлера применительно к данной задаче такова:  (5)Возникает следующая проблема: до каких пор проводить расчеты? В данной задаче естественным представляется ответ: до падения тела на землю. для обнаружения этого события необходимо рассчитывать не только скорость, но и пройденный путь. Поскольку перемещение связано со скоростью соотношением  , то, проводя схожие с приведенными выше рассуждения, приходим ко второму разностному уравнению  , решаемому одновременно с первым. Иначе говоря, мы применили метод к системе дифференциальных уравнений. Решая эту систему при заданных начальных условиях  , получим таблицу значений функций v(t), s(t).Важные, тесно связанные между собой методическая и содержательная проблемы — это контроль точности и выбор шага времени Δt. Казалось бы, чем меньше шаг, тем точнее решение но, во-первых, это утверждение не является вполне верным (причины обсудим ниже), а во-вторых, при очень мелком шаге расчетов «результатов» слишком много и они становятся необозримыми. Отсюда возникает еще одна методическая проблема: как выбрать шаг повремени для вывода значений перемещения и скорости на экран. Этот шаг выбирается из соображений разумной достаточности информации и обозримости представления результатов на экране; из практических соображений удобно, если он кратен Δt (реально шаг вывода может составлять десятки и сотни Δt). Кроме того, ставится задача: представить полученные результаты в наиболее удобном для восприятия виде. Это могут быта графики зависимостей v(t), s(t), изображение процесса падениям динамике (здесь возможны вариации). |