В-сплайны (1). Всплайны
 Скачать 198.35 Kb.
|
В-сплайныПри построении В-сплайна – цель найти непрерывную(p-1)(p-степень многочлена)раз дифференцируемую функцию, принимающую ненулевые значения только внутри отрезкаОснову теории В-сплайнов положили – Фергюссон, Шенберг, Уитни, Розенфельд, Гордон.В- сплайны получили свое название от Базисных функцийКлассификация В-сплайновВ-сплайны В-сплайны периодические периодические Гибкость базиса В-сплайнаКривую можно изменить:
Математическое представление В-сплайновВ-сплайны задаются с помощью базисных функций (элементарных В-сплайнов)Свойства элементарных базисных функций:
Свойства В-сплайнов
Пояснение к предыдущему пункту. Пусть p=3
Элементарные В-сплайныЭлементарный В-сплайн степени р – это сплайн , равный 0 на всех подсегментах, за исключением (р+1)-гоФормула Кокса де Бура для элементарного В-сплайнаЭлементарный В-сплайн нулевой и первой степени
Элементарный В-сплайн второй степениЭлементарный В-сплайн второй степени определен на трех интервалах параметризацииЭлементарный В-сплайн третьей степениСуществует на четырех интервалах параметризацииПолный вектор параметризации
для построения элементарного В-сплайна необходимо р интервалов параметризации и (р+1) параметр.Фиктивные и существенные интервалы (параметры)
Число существенных интервалов – intint=n-(p-1)Число существенных параметров – int+1Открытый В-сплайнa и b – кратные узлыa =0, b=1– встречаются (p+1)разp=n – порядок В-сплайна на единицу меньше числа опорных точек – базис В-сплайнов совпадает с базисом Бернштейна.При p=3, n=3, получим:Длина вектора параметризации – m=n+p+2=6Вектор параметризации: {00001111}Положение элементарных В-сплайнов на векторе параметризации открытого В-сплайнаn=3, р=3, m=n+p+2, число существенных интервалов int=n-(p-1)=1N1,3 N2,3N0,3 N3,30 0 0 0 1 1 1 1Основные свойства открытого В-сплайна
Совпадают с свойствами кривых БезьеРасчет открытого В-сплайна при неравномерной параметризации
Расчет параметров вектора параметризации открытого В-сплайна при равномерной параметризацииПериодический В-сплайнКривая получается в результате параллельного переноса элементарных В-сплайнов вдоль вектора параметризации.Положение Элементарных В-сплайнов на векторе параметризации: n=4, р=3,m=9N0,p N1,p N2,p существ. инт. N4,pN3,p0 1 2 3 4 5 6 7 8 tНормализованный периодический В-сплайнЕсли в векторе параметризации один существенный интервал и он нормализован, то такой периодический В-сплайн называется нормализованнымНормализованный периодический В-сплайн второй степениn=2,p=2, m=6Вектор параметризации Т={-2,-1,0,1,2,3}Производная:Нормализованный периодический В-сплайн 3-ей степениn=3, p=3, m=8Вектор параметризацииПроизводная:Т={-3,-2,-1,0,1,2,3,4}, Основные свойства нормализованного периодического В-сплайна 2-ой и 3-ей степени
Составные В-сплайновые кривые( на основе нормализованного периодического В-сплайна 3-ей степени)Алгоритм построения составной кривой:Для i-ого сегмента используются точки Pi , Pi+1 , Pi+2 , Pi +3 . Для i+1-ого сегмента точкиPi+1 , Pi+2 , Pi+3 , Pi +4 . И так далее.Свойства составного нормализованного периодического сплайна третьей степени
Изменение свойств составной В-сплайновой кривой 3-ей степени
P-1 = (P0 - P1 )+ P0 , Pn+1 = (Pn - Pn-1 )+ PnКривая проходит через первую и последнюю точки полигона и касается первой и последней сторон опорного многоугольника |